大学计算方法复习资料

计算方法复习资料数值计算中的误差主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。1.利用秦九韶算法计算多项式在处的值 1-20-34-16-1 2200-6-4–10-8 100-3-2-5-4-92.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）；（2）；（3）。解：有效数字位数分别为：3，4，53.下面计算的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：3个。3个。5.表中各都是对准确值进行四舍五入得到的近似值。试分别指出其绝对误差限、相对误差限及有效数字位数。绝对误差限相对误差限有效数字位数0.3012

30.12

30.120

解：

绝对误差限相对误差限有效数字位数0.3012位有效数字30.12位有效数字30.120位有效数字参考过程：（1）作为数的近似值时，不一定为的有效数字。但是用四舍五入取准确值的前位作为近似值，则必有个有效数字。因为各0.3012,30.12=0.3012都是对准确值进行四舍五入得到的近似值，所以0.3012,30.12都有位有效数字3012而30.120=0.30120有位有效数字30120。（2）根据有效数字的定义：设数的近似值，其中（）是到之间的任一个正整数，且，是正整数，是整数，如果绝对误差的则称为的具有位有效数字的近似值，准确到第位，为的有效数字。所以，具有四位有效数字的数0.3012,30.12=0.3012的绝对误差限分别为，。具有五位有效数字的数30.120=0.30120的绝对误差限分别为。（3）根据定理：设数的近似值具有位有效数字，则的相对误差满足下列不等式所以，具有四位有效数字的数0.3012,30.12=0.3012的相对误差限都为。而具有五位有效数字的数30.120=0.30120的相对误差限都为6．近似值关于真值有(2)位有效数字；7.为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。8.改变函数()的形式，使计算结果较精确。9.用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入10.取计算，下列方法中哪种最好？（C）(A)；(B)；(C)；(D)。第二章插值法主要内容：拉格朗日插值，牛顿插值。 1.，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，2.已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；3.设,则，的二次牛顿插值多项式为。4.设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-25.由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为(A)(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。6.已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。答案：差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-107.取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。解：又故截断误差。8.已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f(1，5)的近似值，取五位小数。解：9.已知函数表-10121117试构造插商表，写出的三次牛顿插值多项式，并由此求的近似值。（1）已知，，，构造插商表一阶差商二阶差商三阶差商

，，因为函数在点的一阶差商为，所以，，，，，，，，，因为在点的二阶差商为，所以一阶差商二阶差商三阶差商

根据，得得阶牛顿插值多项式将，，，，，，，代入上式，得因此，=2.8750

10.已知下列函数表：012313927(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：（1）均差表：11.是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则(1)，()，当时()。第三章曲线拟合的最小二乘法1.用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.3解：解方程组其中解得：所以，2.教材169页例5－1.第四章数值积分主要内容：代数精度，梯形公式，辛普森公式以及复化公式。1.计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。2.已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求≈(12)。3.数值积分公式的代数精度为2。4.求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。答案：是精确成立，即得求积公式为当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。5.n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：，时，至少有两位有效数字。6.用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。解：7.数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为。其代数精度为1。8.10.4667510.466758.030146.042414.425693.12014f(x)(x)2.62.42.22.01.8x（1）用复化梯形公式计算积分的近似值；解：用复化梯形公式计算取（2）用复化Simpson公式计算积分的近似值。(要求计算结果保留到小数点后六位).解：用复化辛甫生公式计算取9.分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值xi00.511.52f(xi)10.0.0.0.(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：第五章非线性方程的数值解主要内容：区间二分法，迭代发，牛顿迭代法。1.用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。解：令，则有，，，所以函数在上严格单调增且有唯一实根。本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。用二分法计算结果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.-0.0066471.1.1251.0.81.1.1.-0.91.1.1.0.101.1.1.0.111.1.1.-0.121.1.1.5-0.131.51.1.75-0.141.751.1.3750.由上表可知原方程的根该问题得精确解为，故实际误差为2.判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近区间来考察。（A），显然当时，单调递减，而， ，因此，当时，。又当时，，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（B），则， ， ，所以当时， 。又当时，，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（C），由于当时，有，所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式发散。3.建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，，，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。4.建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。5.教材39页，例2－15和例2－16.6.用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为()；7.用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。8.如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。9.用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，则f(x)=0的根是(B)。 (A)y=j(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=j(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=j(x)的交点10.已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是(C)(A)；(B)；(C)；(D)。11.构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。答案：解：令.且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为则当时，故迭代格式收敛。取，计算结果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足.所以.12．用Newton迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。解：，，故，方程的近似根为1.8974第六章方程组的数值解法主要内容：高斯消去法，三角分解法，雅可比迭代，高斯－赛德尔迭代。1.设有线性方程组（1）写出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解该方程组的迭代公式；（2）用Gauss消去法解该方程组。

解：（1）写出用Jacobi迭代法解该方程组的迭代公式为用Gauss-Seidel迭代法解该方程组的迭代公式。（2）用Gauss消去法解该方程组将方程（1）乘以-2加到方程（2），再将方程（1）乘以-3加到方程（3），得将方程（2）乘以5加到方程（3），得将方程（3）除以-24，得将代入方程（2），得，在将，代入方程（2），得。

2.用雅可比迭代或高斯—塞德尔迭代求解，取初值，迭代两次。解将方程组改写为（1）雅可比迭代（2）取初值，代入右端后从左端得到，再将这组值代入右端计算，可得。高斯—塞德尔迭代（3）用这两种方法计算的结果为：kxT(雅可比)xT(高斯—塞德尔)0(0,0,0)(0,0,0)1(1.4,0.5,1.4)(1.4,0.78,1.026)2(1.11,1.20,1.11)(0.9234,0.99248,1.1092)3.利用矩阵的LU分解法解方程组。解：令得，得.4.用列主元素消元法求解方程组。解：回代得。5.用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.5266.已知方程组，其中，列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，7.已知方程组，其中，，（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为，，，Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为，，，Gauss-Seidel迭代法发散8.，则A的LU分解为。答案：9.解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。10.求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。11.写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。12.设,则9。13.设矩阵的，则。14.Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。A．A的各阶顺序主子式不为零B．C．D．15.设，则为(C)．A．2B．5C．7D．316.求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(D)。A．对称阵B．正定矩阵C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零17.用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019第七章常微分方程的数值解法主要内容：欧拉法。1.解初值问题的改进欧拉法是2阶方法2.已知初值问题：，取步长h=0.1，（1）用（显式的）Euler方