高考数学(考点解读-命题热点突破)专题17-统计与统计案例-文

PAGEPAGE5专题17统计与统计案例文【命题热点突破一】抽样方法某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样法，设甲产品中应抽取的产品件数为x，某件产品A被抽到的概率为y，则x，y的值分别为()A．25，eq\f(1,4)B．20，eq\f(1,6)C．25，eq\f(1,600)D．25，eq\f(1,6)【答案】D【特别提醒】三种抽样方法均是等概率抽样，当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．【变式探究】从编号分别为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．【答案】74【解析】每8件产品抽取一件，编号为58的产品在样本中，则样本中产品的最大编号为58＋16＝74.【命题热点突破二】用样本估计总体【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【变式探究】(1)将某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图18­3所示)，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是()图18­3A．91，91.5B．91，92C．91.5，91.5D．91.5，92(2)2014年6月，一篇关于“键盘侠”(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)的时评引发了大家对“键盘侠”的热议．某地区新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可度做出调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有9600人，则估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．【答案】（1）C（2）6912【解析】（1）中位数为eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均数为90＋eq\f(－2－3＋1＋7＋4＋2＋0＋3,8)＝91.5.（2）根据样本估计总体的思想，可知该地区群众对“键盘侠”持反对态度的概率约为eq\f(36,50)，所以该地区9600人中对“键盘侠”持反对态度的大约有9600×eq\f(36,50)＝6912（人）.【特别提醒】统计的基本思想之一就是以样本估计总体．以样本的频率估计总体的概率、以样本的特征数估计总体的特征数．【变式探究】(1)某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出的频率分布直方图如图18­4所示，则原始的茎叶图可能是()图18­4图18­5(2)高三年级上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图18­6所示，数据分组依次如下：[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]．估计该班数学成绩的平均分数为()图18­6A．112B．114C．116D．120【答案】（1）B（2）B【命题热点突破三】统计案例例3、某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均参加体育运动时间情况，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均参加体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少名女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均参加体育运动时间的频率分布直方图(如图18­7所示)，其中样本数据分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均参加体育运动时间超过4个小时的概率．(3)在样本数据中，有60名女生每周平均参加体育运动的时间超过4个小时，请画出每周平均参加体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”．P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)【解析】：（1）300×eq\f(4500,15000)＝90，所以应收集90名女生的样本数据.（2）由频率分布直方图得每周平均参加体育运动超过4小时的频率为1－2×（0.100＋0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均参加体育运动时间超过4小时的概率约为0.75.（3）由（2）知，300名学生中有300×0.75＝225（名）学生每周平均参加体育运动的时间超过4小时，其余75名学生每周平均参加体育运动的时间不超过4小时.又因为抽取的300名学生中有210名男生、90名女生，所以每周平均参加体育运动时间与性别的列联表如下：男生女生总计每周平均参加体育运动的时间不超过4小时453075每周平均参加体育运动的时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可得K2的观测值k＝eq\f(300×（165×30－45×60）2,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”.【特别提醒】在计算K2时要注意公式中各个字母的含义，分子上是总量乘2×2列联表中对角线数字乘积之差的平方，分母上是四个分和量的乘积．【变式探究】为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系.时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4(1)求小李这5天的平均投篮命中率；(2)用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则由公式可得eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(（－2）×（－0.1）＋（－1）×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×（－0.1）,（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22)＝0.01，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝0.5－0.01×3＝0.47，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝0.01x＋0.47.当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.53，故小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.【特别提醒】回归直线一定过样本点的中心(x，y)，当已知回归直线方程两个系数中的一个时，可以直接代入样本点中心的坐标求得另一个系数．正相关和负相关是根据回归直线方程的斜率判断的：正相关时回归直线方程的斜率为正值；负相关时回归直线方程的斜率为负值．回归直线方程斜率的符号与相关系数的符号是一致的．【高考真题解读】1.【2016年高考四川】（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000．（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．2.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有（人），选D.1．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．167 B．137 C．123 D．93【答案】B【解析】由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.2．(2015·安徽，6)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8B．15C．16D．32【答案】C3．(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()01228925800033812A．19 B．20 C．21.5 D．23【答案】B【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D5．(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元 B．11.8万元C．12.0万元 D．12.2万元【答案】B【解析】回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，＝11.8万元．故选B.6．(2014·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8 C．12 D．18【答案】C7．(2014·陕西，9)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A．1＋a，4 B．1＋a，4＋aC．1，4 D．1，4＋a【答案】A【解析】8．(2014·湖南，2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3【答案】D【解析】因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.9．(2014·广东，6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10【答案】A【解析】由题图可知，样本容量等于(3500＋4500＋2000)×2%＝200；抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20，故选A.10．(2014·天津，9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．【答案】60【解析】eq\f(4,20)×300＝60(名)．11．(2015·江苏，2)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．【答案】6【解析】这组数据的平均数为eq\f(1,6)(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.12．(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：1314150034566889111222334455566780122333若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则