《向量数乘运算及其几何意义》4

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义AEDCB1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，始到终特点:共起点的对角线BAO特点：同起点，异终点，指向被减向量2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:向量数乘问题的实际背景

在物理中：位移与速度的关系：S=vt，力与加速度的关系：F=ma.

其中位移、速度，力、加速度都是向量，

时间、质量都是数量练习1:-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)=3a=-2a探究:相同向量相加以后，和的长度与方向，相对于产生了什么变化？aOAPB定义:(2)方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；(1)长度|λa|=|λ|·|a|

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（或不改变）的方向，就得到了λa|λ|aa

已知：向量试从大小和方向两个角度，说说下面各向量与的关系说说看2练习2:结论:2a+2b=2(a+b)结论:

3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。①λ(μa)=(λμ)a

运算律:

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb结合律第一分配律第二分配律练习3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ,

恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b思考:定理:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？

对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。

若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且向量a（a≠0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.定理：思考:1)a为什么要是非零向量?2)b

可以是零向量吗?向量a（a≠0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.点C在线段AB上，且AC︰CB=2︰5则共线定理小练习25例1:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴

A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴AC=2AB又

AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线AEDCB证明：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，证明A、C、E三点共线。又∵AC与AE有公共点A∴

A、C、E三点共线试一试

ADBMC

如图:

ABCD的两条对角线交于点M,且,你能用，表示吗？例2:表示，=，在ABCD中，设对角线=试用，ADBMC试一试思考题：

如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+

bMC=…=a+

b（C

）分析:由所以

在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿(1)(2)ABCD练习小结回顾:

二、知识应用：

1.证明向量共线；

2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线；

3.证明两直线平行: