《高等数学与经济数学》课件第四章 导数的应用

第四章导数的应用(一)

本章内容小结(二)

常见问题分类及解法(三)

思考题(四)

课堂练习(一)

本章内容小结一、内容提要1、拉格朗日中值定理及特例，定理的几何解释。2、一阶导数的符号和曲线单调性的关系。3、极值存在的必要条件及利用一阶导数或二阶导数判断极值。4、求函数在闭区间上最大值和最小值，求最值应用题。*5、利用洛必达法则，求未定式极限。6、边际分析，弹性分析及其在经济上的应用。二、重点和难点中值定理的应用.曲线的单调性与极值.导数在经济分析中的应用是本章重点；而导数在经济分析中应用又是本章难点.三、基本要求1、拉格朗日定理是利用导数来研究函数的性质的理论基础，必须熟记定理的条件和结论及几何意义。2、熟练应用一阶导数，判断曲线的增减性，牢固掌握极值存在的必要条件，运用一阶导数和二阶导数来判定极值。清楚极值与最值的联系与区别。4、应熟练掌握边际分析，弹性分析的概念及其在经济分析上的应用。四、对学习的建议

拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的性质的基础理论，因而十分重要，必须弄清它的条件与结论以及几何意义。

函数的极值和最大(小)值问题是本章的一个中心内容。要掌握极值和最大(小)值的处理方法，首先必须掌握用一阶导数判断函数在某一区间上单调性的方法，这是因为函数的极值点的判别是由函数在该点处某一邻域内的单调情况而确定的.其次应了解极值和最大(小)值的联系与区别，极值是局部性质.而最大(小)值是整体性质.极值不一定是最大(小)值，而最大(小)值一定是在极值和端点处的函数值中取得.

要注意掌握利用最大(小)值处理问题的方法，解决实际应用问题，特别是求解经济分析中最大(小)值问题.如求使平均成本的最小产量，求收入、利润的最大销售量等.另外，还应理解导数在经济分析中的一些相应概念，如边际和需求弹性的概念以及求法.

偏导数是二元函数的一个主要概念，要正确理解，注意它与一元函数导数的相似之处.求二元函数的偏导，完全可以借用求一元函数导数的方法.应掌握利用偏导解决二元函数在经济分析中的最大(小)值问题.

洛必达法则是本章的选学内容，它是求极限的一个有力工具，在应用中须注意：五、本章关键词中值定理极值最大值与最小值洛必达法则③、使用法则后，若有因式其极限可以确定，则应及时剥离求出极限，以利继续使用法则。④、使用洛必达法则中，在适当的环节上可结合其他求极限的方法，以便极限较快求出。另外，法则有时会失效，但不能因此确定函数无极限，可另换他法。②、使用法则前，函数中若有因式可用无穷小代换，则代换，以便简化计算。(二)

常见问题分类及解法一、利用洛必达法则求未定式例1

求下列极限：解二、利用导数判断函数的单调性并求其极值

函数在某区间内的单调性可以用此函数的一阶导数的正负来判定，进而可以求出函数在其定义域内的极大值和极小值。需注意的是：①有些导数不存在的点也可能是极值点；②在单调区间内的某些离散点处导数也可能为零。例2

求函数的单调区间并求其极值：解见表4-1.表4-1

极值表见表4-2.不存在极小值0极小值0表4-2

极值表三、求函数的最大值和最小值

对于由解析式表示的连续函数在闭区间上的最大值和最小值问题，可利用比较函数在驻点和不可导点及区间端点处的函数值的大小来求。而对于由实际问题得到的函数的最值问题，只要函数在某区间内只有一个驻点，则可以肯定函数在此驻点处取得最值。解例4

欲用围墙围成面积为216m2的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？解图4-1例4示意四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点

根据函数二阶导数在某区间内的正负，可以判断函数曲线的凸凹，进而可以求出函数曲线在整个定义域内的拐点。解凹拐点(0,1)凸拐点(1,0)凹表4-3

曲线凸凹表

五、利用函数的单调性证明不等式

对于某些不等式，可以先将其转化为一个函数，再利用函数的单调性证明不等式。证(三)思考题答案答案答案答案1、一阶导数的符号与曲线单调性的关系是什么？2、利用一、二阶导数能研究曲线的什么特性？(四)课堂练习题答案答案答案答案返回1、一阶导数的符号为正号，曲线单调增加；一阶导数