华师版数学九年级上册 22.2一元二次方程的解法

第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第1课时

直接开平方法和因式分解法华师版数学九年级上册一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？（a≠0）回顾与思考解：所以方程

x2

=9

有两个根，x1

=

3，

x2

=

-3.直接开平方解方程例

解方程x2

=9.

一般地，对于形如

x2

=

a

(a≥0)

的方程，根据平方根的定义，可解得，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.知识回顾2.用直接开平方法解下列方程：(1)3x2－27

=

0；(2)(2x－3)2

=9.1.方程的根是方程

的根是方程的根是

x1

＝

0.5，x2

＝

－0.5x1

＝

3，x2

＝

－3x1

＝

2，x2

＝

－1练一练x1＝3，x2＝－3x1＝0，x2＝3因式分解：

把一个多项式化成几个整式的积的形式.在学习因式分解时，我们知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程问题

什么是因式分解？问题引导

例解下列方程：（1）x2－3x＝0；(2)25x2＝16解：（1）将原方程的左边分解因式，得x(x-3)＝0；

则

x=0，或

x-3=0，解得

x1

=0，x2

=3.（2）将方程右边常数项移到左边，再根据平方差公式因式分解，得

x1

=0.8，x2

=-0.8.像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例精析若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若

A·B=0，则

A=0或

B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.因式分解法的基本步骤是：解：方程的两边同时除以

x，得

x=1.故原方程的解为

x=1.这样解是否正确呢？交流讨论：不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为

x=0.x²

=x1.填空：（1）方程

x2

+

x

=

0

的根是_________________；（2）x2

-

25

=

0

的根是________________.x1

=

0，

x2

=

-1x1

=

5，x2

=

-5练一练2.解方程：x2

-

5x

+

6

=

0

解:把方程左边分解因式，得 (x-2)(x-3)=0

因此

x-2=0或

x-3=0. ∴x1

=2，x2

=3.1.用因式分解法解下列方程：(1)4x2

=12x； (2)(x

-

2)(2x

-

3)

=

6；(3)x2

+

9

=

-6x； (4)9x2

=

(x

-

1)2.解:(1)移项得4x2

-12x=0，即

x2

-3x=0，x(x

-3)=0，得

x1=0，x2=3；(2)原方程可以变形为2x2

-7x=0，分解因式为

x(2x

-7)=0，解得

x1=0，x2=3.5；(3)原方程可以变形为(x+3)2=0，解得

x=-3；(4)移项得

9x2

-

(x

-

1)2

=

0，变形得(3x

-

x

+

1)(3x

+

x

-

1)

=

0，解得

x1

=

-0.5，x2

=

0.25.

解方程：(x+4)(x-1)=6.解:把原方程化为一般形式，得

x2

+

3x

-

10

=

0

把方程左边分解因式，得

(x-2)(x+5)=0

因此

x-2=0或

x+5=0.∴x1

=2，x2

=-5解：(1)化简方程，得3x2－17x=0.将方程的左边分解因式，得x(3x－17)=0，∴x=0或3x－17=0.解得x1

=0，x2

=解下列一元二次方程：（1）(x－5)(3x－2)=10；(2)(3x－4)2=(4x－3)2.(2)(3x－4)2

=(4x－3)2.(2)移项，得(3x－4)2－(4x－3)2

=0.将方程的左边分解因式，得[(3x－4)+(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0，

即(7x－7)(－x－1)=0.∴7x－7=0或

－x－1=0.∴x1

=1，

x2

=－1.注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.因式分解法解一元二次方程的基本步骤（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若

A·B=0，则

A=0或

B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第2课时

配方法华师版数学九年级上册读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)

大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.

十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为

x，则十位数字为

x-3

x2

-

11x

+

30

=

0x2

=10(x-3)+x思考这种方程怎样解？变形为的形式．（a

为非负常数）变形为x2－4x＋1＝0(x－2)2

=3用配方法解一元二次方程像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－4x＋

=(x－

)2(3)x2－___x＋9=(x－

)2配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方166342例用配方法解下列方程:(1)

x2

-4x

-

1

=

0；(2)

2x2

-

3x

-

1

=

0.典例精析用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；开方：根据平方根意义,方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解.(1)x2＋12x=－9；

(2)－x2＋4x－3=01.用配方法解下列方程：解：(1)两边同时加上36，得

x2＋12x＋36

=－9＋36，配方得(x＋6)2

=27，解得

(2)原方程可变形为

x2－4x＋3=0，

配方得(x－1)(x－3)=0，解得

x1

=1，x2

=

3.2.用配方法说明：不论

k取何实数，多项式

k2－3k＋5的值必定大于零.解：k2－3k＋5=(k－)2＋

，∵(k－)2≥0，∴k2－3k＋5＞0.3.先用配方法解下列方程：（1）x2－2x－1＝0；（2）x2－2x＋4＝0；

（3）x2－2x＋1＝0；

然后回答下列问题：（4）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（5）对于形如

x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？解：(1)左右两边同时加2，得

x2-2x+1=2，配方得

(x

-

1)2

=2，解得（2）左右两边同时减去3，得

x2-2x+1=-3，配方得(x

-1)2=-3，很明显此方程无解；（3）原方程配方得(x

-1)2=0，解得

x=1；

（4）略；（5）

1.一般地，对于形如

x2

=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得

，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

2.像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.

注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第3课时

公式法华师版数学九年级上册1.

化1：把二次项系数化为

1；2.

移项：把常数项移到方程的右边；3.

配方：

方程两边同加一次项系数一半的平方；4.

变形：化成

(x

+

m)2

=a(a≥0)；5.

开平方，求解.“配方法”解方程的基本步骤：回顾与思考解：两边同时除以2，得

x2

+

6x

-

1

=

0，

两边同时加上

10，得

x2

+

6x

+

9

=

10，

配方得

(x

+

3)2

=

10，

解得用配方法解下面这个一元二次方程：你还会其他的解法吗？一起用配方法解下面这个一元二次方程吧并模仿解一解一般形式的一元二次方程一元二次方程的求根公式(a≠0)两边同除以

a移项两边同时加上整理开方解得步骤

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；将一元二次方程中系数的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识要点用公式法解下列一元二次方程：解：（1）用公式法解一元二次方程用公式法解下列一元二次方程：解：将原方程化为一般形式，得运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定

a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把

a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此时方程无实数解.1.

用公式法解下列一元二次方程：解:（1）原方程即为，练一练解方程：.（精确到0.001）解：用计算器求得：2.用公式法解一元二次方程：解：去括号，得，化简，得，即1.用公式法解方程，得到（）AA.C.D.B.2.

用公式法解下列方程：解：3.选择恰当的方法解下列方程：解：当

x=0时，原方程成立；当

x≠0时，两边同时除以

x，得

2x-7=2，解得

x=4.5.

综上原方程的解为

x1=0，x2=4.5.4.关于

x的一元二次方程

当

a，b，c

满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为

k，-k，

由求根公式得

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定

a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把

a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此时方程无实数解.第22章

一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第4课时

一元二次方程根的判别式华师版数学九年级上册1.了解一元二次方程根的判别式；（重点）2.会判断一元二次方程根的情况；(难点)3.掌握一元二次方程根的判别式的应用.（难点）学习目标1）把方程化为一般形式确定

a，b，c的值用公式法求下列方程的根：观察与思考导入新课2）计算

的值用公式法解一元二次方程的一般步骤:3）代入求根公式

计算方程的根温故而知新

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为配方法如何把一元二次方程

写成(x+

h)2

=k的形式？一元二次方程根的判别式问题引导讲授新课当

时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根：当

时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根：当

时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根，方程没有实数根：思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?3.当方程没有实数根时，有

.

1.当方程有两个不相等的实数根时，有

；2.当方程有两个相等的实数根时，有

；反过来，对于一元二次程：我们把

叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“Δ”来表示.反之，同样成立！当

Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当

Δ

=

0时，方程有两个相等的实数根；当

Δ＜0时，方程没有实数根.即一元二次方程

ax2

+bx+c=0(a≠0)，例

下列一元二次方程根的个数：方程有两个不相等的根.方程有两个相等的根.方程没有实数根.典例精析按要求完成下列表格：Δ的值根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式

与根练一练0=0-15<017>0一般步骤：3.判别根的情况，得出结论.2.计算

Δ的值，确定

Δ的符号.不解方程，判别下列方程根的情况.1.化为一般式，确定的值.有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根当堂练习不解方程，判别关于

x

的方程的根的情况.分析：系数含有字母的方程不解方程，判别关于

x的方程的根的情况.解：故该方程有两个不相等的实数根.反之，同样成立！当

Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当

Δ

=

0时，方程有两个相等的实数根；当

Δ＜0时，方程没有实数根.对于一元二次方程

ax2

+bx+c=0(a≠0)，课堂小结第22章一元二次方程22.2

一元二次方程的解法第5课时

一元二次方程的根与系数的关系华师版数学九年级上册2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？知识回顾

方程

x1

x2

x1

+x2

x1∙x2

x2

-3x+2=0x2

-

2x

-

3

=

0x2

-

5x

+

4

=

0问题：你发现这些一元二次方程的两根

x1+x2，x1•x2

与对应的一元二次方程的系数有什么关系？2

132

-

1

3

2

-

31

4

54一元二次方程的根与系数的关系方程

-

2x1

+x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系？猜想：当二次项系数为1时，方程x2

+

px

+

q

=

0

的两根为x1，

x2.9x2

-6x

+

1

=

03x2

-

4x

-

1=03x2

+7x

+

2

=

0

如果

ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)的两个根为

x1，x2，则 b2-4ac≥0.由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得猜想解：任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程

ax2

+

bx

+

c

=

0

(a

≠

0)

的两个根是

x1，x2，那么（韦达定理）注：能用