北师大版数学九年级上册 5.1 投影

5.1

投影第五章

投影与视图第1课时

投影的概念与中心投影情境引入

物体在太阳光或灯光等光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，可见影子与物体有密切的关系.投影的概念观察与思考物体和它的影子关系如此密切，在数学中影子是物体的什么呢？投影面投影物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面．概念学习把下列物体与它们的投影用线连接起来：练一练

皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？中心投影问题：你可以表示出形成皮影戏的光线的路径吗？物体影子灯光照射投影面灯光与太阳光线有什么不同？手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的.例如：物体在灯泡发出的光的照射下形成影子就是中心投影．

如果光线从一点发出(如灯泡、电影放映机、幻灯机的光线)，这样的投影称为中心投影．概念学习例1确定图中路灯灯泡所在的位置.解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线交于一点

O.点

O就是路灯灯泡所在的位置.O例2一个广场中央有一盏路灯.（1）高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗？如果不一定，那么什么情况下他们的影子一样长？不一定一样长，只有当两人与路灯的距离相等时影子才会一样长.（2）高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗？在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时，影子短；离光源远时，影子长.结论有可能同步练习如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由

A处径直走到

B处这一过程中，他在地上的影子( )A.逐渐变短B.先变短后变长C.先变长后变短D.逐渐变长BAB1.在下列各图中，两根木棒的影子是在同一时刻、一盏灯下形成的中心投影吗？是是不是不是2.小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置，已知小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较______.(填“远”或“近”)

.近3.同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子.

ABCDEFMHNO投影投影的概念中心投影物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影概念：点光源的光线形成的投影变化规律：垂直于地面的物体离点光源距离近时，影子短；离光源远时，影子长作图寻找光源已知光源作投影5.1

投影第五章投影与视图第2课时

平行投影与正投影问题引入

下图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子,你能将它们按时间先后顺序进行排列吗？东北（1）（2）(3)（4）东北东北东北

→

→

→

.(2)(3)(1)(4)平行投影与正投影观察下列图片，你认为太阳光线有什么特征？太阳离我们很遥远，其光线可以看成平行光线.观察与思考

太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影.概念学习

在平行投影中，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.想一想，图形的正投影有什么规律？

例如，物体在太阳光的照射下形成的影子

(简称日影)就是平行投影．

日影的方向可以反映时间，我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．准备素材：铅笔，矩形纸板，长方体纸盒问题1

用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔，改变铅笔的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现线段正投影的规律吗？合作探究HABABAB铅笔可看作线段

ABA'B'A'B'A'(B')H为投影面A'B'=ABA'B'＜ABA'B'=0平行倾斜垂直线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.知识要点2.在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光下，但它们的影长相等，则它们的相对位置是

（）A．两根垂直于地面B．两根都平行斜插在地面上C．两根木杆不平行D．一根倒在地上C1.木棒长为

1

m，则它的正投影的长一定

（）A．大于

1

m

B．小于

1

mC．等于

1

m

D．小于或等于

1

mD练一练H问题2

用一束平行光垂直于水平桌面照射一张矩形纸板

ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现矩形

ABCD

正投影的规律吗？ABDCHABDCA'B'C'D'A'B'C'D'ABDC平行倾斜垂直D'(A')C'(B')ABDC四边形

ABCD与四边形

A'B'C'D'重合四边形

A'B'C'D'

在大小和形状上已发生改变四边形

A'B'C'D'变为线段

C'D'(或

A'B')平面图形的正投影有如下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.知识要点1.皮皮拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，该纸板在投影面上形成的投影不可能是

（）ABCDD练一练2.小明同学拿着一个三角形木架在太阳光下玩，他不断变换着木架的位置，则该木架在地上出现的影子可能

是______（填序号）.①点；②线段；③三角形；④四边形．②③H问题3

根据平面图形正投影的规律，你能说出长方体ABCD-A1B1C1D1在投影面

H

上的正投影是什么图形？A1B1C1D1ABCDA'B'C'D'长方体在投影面

H上的正投影就是矩形

A'B'C'D'HA1B1C1D1ABCD想一想：若将长方体

ABCD-A1B1C1D1倾斜放置，它在投影面

H上的正投影是什么图形？长方体的两个面ABB1A1与

DCC1D1垂直于投影面，故这两个面在投影面上的投影为两条线段.长方体的另外四个面在投影面上的投影都是平面图形.几何体的正投影有如下规律：

一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.

一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.（下节课学习）知识要点1.如图，箭头表示投射的方向，则图中圆柱的正投影是（）A．圆

B．圆柱

C．梯形

D．矩形D2.底面与投影面垂直的圆锥的正投影是

（）A．圆B．三角形C．矩形D．正方形B练一练例1下图中三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄.（1）在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由.（甲）（乙）（丙）

→

→

.(乙

)(甲

)(丙

)（2）在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流.在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度成比例.例2某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（甲）（乙）ADD´BEE´(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？（甲）（乙）ADD'BEE'(3)在(2)的情况下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m和1m，那么你能求出甲木杆的高度吗?（甲）（乙）ADD'BEE'解：因为△ADD'∽△BEE'，所以即，甲木杆的高度为

1.86m.1.5m圆柱的高为4例

圆柱的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为4的正方形，则这个圆柱的表面积是______.44圆柱的底面直径为4练一练1.圆形物体在阳光下的投影不可能是（）A．圆形B．线段C．矩形D．椭圆形C2.一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正投影为线段CD，则AB_____CD(填“＝”“＜”“＞”“≥”或“≤”).≥3.下列说法正确的有（）①线段

a

垂直于投影面

P，则线段

a

在投影面

P

上的

正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，

则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体

的一侧面与投影面平行，则该正方体有

4

个面的正投

影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在

投影面上的正投影是等腰三角形．A．1

个

B．2

个

C．3

个

D．4

个D4.一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长为3m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上.经测量，留在墙上的影高

CD=1.2m，地面部分影长

BD=5.4m，求树高

AB.ABDCE解：过点

D作

DE∥AC交

AB于点

E.∴四边形

AEDC为平行四边形，∴AE=CD=1.2.∴AB=AE+EB=3.9.