2023学年完整公开课版间接证明

间接证明—反证法综合法

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。条件结论数学推理条件定理公理定义PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…由因导果复习回顾一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）成立。这种证明的方法叫做分析法.QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件…执果索因【分析法】要证：

只要证：

只要证：

而

显然成立且上述各步均可逆推所以结论成立格式1.常用的直接证明的方法:(1)比较法:作差比较法;作商比较法;(2)综合法:(3)分析法:2.一般地，对于“没有特别要求的证明题”:

用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程.间接证明在证明一个命题时，先假设命题不成立，从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.反证法定义:

否定结论(得到原命题的“非”)

“制造”矛盾

“非”命题不成立

原命题成立

运用正确的推理方法用反证法证明问题的思维模式:“非”例题1.求证在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,

l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.l1l2l3Pl3与l2不相交l3∥l2l1∥l2

经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行假设____________,

那么______.这与“_____________________________________________”矛盾.证明:因为已知______,所以___________,

即求证的命题正确.所以过直线l2外一点P,

有两条直线和l2平行,制造矛盾假设不成立原命题成立反证法的步骤一、否定结论二、推理论证得出矛盾三、肯定结论以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论.这与“……”矛盾.所以假设不成立，因此原命题成立.假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.【即时测试】1.写出下列各结论的“非”：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于ba∥b2.用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°.已知：如图，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角，求证：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.证明：假设所求证的结论不成立，即∠Ａ＿＿60°，∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜1800这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假设＿＿＿＿，所以，所求证的结论成立．＜＜＜三角形三个内角的和等于180°不成立ＡＢＣ假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P3.已知：如图,直线l1,

l2,

l3在同一平面内,

且l2∥l1,

l3∥l1，l3∥l2求证：而l1∥l2,l3∥l1这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立，因此，l3∥l2证明：l1l3l2P假设T是正弦函数的周期则对任意实数x都有:即令x=0,得从而对任意实数x都应有这与矛盾.因此,原命题成立.解:例题2.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.假设这个数是奇数,可以设为2k+1,证:则有而不是偶数，这与原命题条件矛盾.所以，假设是错误的，因此，原命题成立.例题3.练习:2.求证:不可能是同一个等差数列中的三项.3.已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不

能都大于1/44.已知：，求证：（2）中至少有一个不小于.（1）；假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,由(1-a)b>1/4且a>0得:同理可得:b<c,c<a.所以:a<b<c<a.这显然是不可能的,所以原命题成立.3.已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a

至少有一个小于1/4.证：用反证法证题时,应注意的事项

:

（1）周密考察原命题结论的否定事项，