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文档简介
高考函数压轴题训练(含具体答案)1.近日,国家经贸委发出了有关进一步开展增产节省运动,大力增产市场适销对路产品的告知,并公布了现在国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录.为此,一公司举办某产品的促销活动,经测算该产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足(其中,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件.
(1)将该产品的利润y万元表达为促销费用x万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.2.已知函数,.
(1)若,与否存在、,使为偶函数,如果存在,请举例并证明你的结论,如果不存在,请阐明理由;
(2)若,,求在上的单调区间;
(3)已知,对,,有成立,求的取值范畴.3.已知.
(Ⅰ)当时,判断的奇偶性,并阐明理由;
(Ⅱ)当时,若,求的值;
(Ⅲ)若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范畴.4.(本小题满分12分)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量(单位:微克)与时间(单位:小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(Ⅰ)写出第一次服药后与之间的函数关系式;
(Ⅱ)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于微克时,治疗有效.问:服药多少小时开始有治疗效果?治疗效果能持续多少小时?(精确到0.1)(参考数据:).5.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度(分贝)由公式(为非零常数)给出,其中为声音能量.
(1)当声音强度满足时,求对应的声音能量满足的等量关系式;
(2)当人们低声说话,声音能量为时,声音强度为30分贝;当人们正常说话,声音能量为时,声音强度为40分贝.当声音能量不不大于60分贝时属于噪音,普通人在100分贝~120分贝的空间内,一分钟就会临时性失聪.问声音能量在什么范畴时,人会临时性失聪.6.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某公司在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月解决成本y(元)与月解决量x(吨)之间的函数关系能够近似的表达为:
且每解决一吨“食品残渣”,可得到能运用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.
(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月最少需要补贴多少元才干使该项目不亏损;
(2)该项目每月解决量为多少吨时,才干使每吨的平均解决成本最低?7.设函数.
(1)求函数在上的值域;
(2)证明对于每一种,在上存在唯一的,使得;
(3)求的值.8.已知在区间上是增函数.
(1)求实数的值构成的集合;
(2)设有关的方程的两个非零实根为、.试问:与否存在实数,使得不等式对任意及
恒成立?若存在,求的取值范畴;若不存在,请阐明理由.9.设函数.
(Ⅰ)若函数在上为增函数,求实数的取值范畴;
(Ⅱ)求证:当且时,.10.己知函数f(x)=ex,xR.
(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数图象相切,求实数k的值;
(2)设x﹥0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m﹥0)公共点的个数;
(3)设,比较与的大小并阐明理由。11.已知函数,点、在函数的图象上,
点在函数的图象上,设.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和为;
(3)已知,记数列的前项和为,数列的前项和为,试比较与的大小.12.已知函数(其中是实数常数,)
(1)若,函数的图像有关点(—1,3)成中心对称,求的值;
(2)若函数满足条件(1),且对任意,总有,求的取值范畴;
(3)若b=0,函数是奇函数,,,且对任意时,不等式恒成立,求负实数的取值范畴.13.已知函数
⑴当时,若函数存在零点,求实数的取值范畴并讨论零点个数;
⑵当时,若对任意的,总存在,使成立,求实数的取值范畴.14.已知函数满足:对任意,都有成立,且时,.
(1)求的值,并证明:当时,;
(2)判断的单调性并加以证明;
(3)若在上递减,求实数的取值范畴.15.设函数
().
(1)若为偶函数,求实数的值;
(2)已知,若对任意都有恒成立,求实数的取值范畴.参考答案解析:(1)由题意知,,
将代入化简得:
,(),6分
(2),
当且仅当时,上式取等号.9分
当时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;
当时,在上单调递增,因此在时,函数有最大值.促销费用投入万元时,厂家的利润最大.
综上述,当时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元时,厂家的利润最大.12分2.解析:(1)存在使为偶函数,证明以下:
此时:,,为偶函数,
(注:也能够
(2),
当时,,在上为增函数,
当时,,令则,
当时,在上为减函数,
当时,在上为增函数,
总而言之:的增区间为,减区间为;
(3),
,成立。
即:
当时,为增函数或常数函数,
总而言之:.3.解析:(Ⅰ)当时,既不是奇函数也不是偶函数
∵,∴
因此既不是奇函数,也不是偶函数3分
(Ⅱ)当时,,由得
即或
解得或(舍),或.
因此或8分
(Ⅲ)当时,取任意实数,不等式恒成立,
故只需考虑,此时原不等式变为
即
故
又函数在上单调递增,因此;
对于函数
当时,在上单调递减,,又,
因此,此时的取值范畴是13分4.解析:(Ⅰ)根据图象知:当时,;
当时,,由时,得
因此,即
因此
(Ⅱ)根据题意知:
当时,;
当时,
因此
因此,
因此服药小时(即分钟)开始有治疗效果,治疗效果能持续小时.
5.解析:(1)
2分
4分
6分
(2)由题意得8分
10分
13分
答:当声音能量时,人会临时性失聪.14分6.解析:(1)当时,设该项目获利为,则
,因此当时,.因此,该项目不会获利.当时,获得最大值,∴政府每月最少需要补贴元才干使该项目不亏损.
(2)由题意可知,食品残渣的每吨平均解决成本为:
①当时,,∴当时,获得最小值240;
②当时,.当且仅当,即时,获得最小值200.∵200<240,∴当每月解决量为400吨时,才干使每吨的平均解决成本最低.7.解析:(1),由令,.
,在上单调递增,在上的值域为.4分
(2)对于,有,,从而,,,在上单调递减,,在上单调递减.
又.
.7分
当时,
(注用数学归纳法证明对应给分)
又,即对于任意自然数有
对于每一种,存在唯一的,使得11分
(3).
当时,.
.14分
当且时,.
18分8.解析:(1)由于在区间上是增函数,
因此,在区间上恒成立,
,
因此,实数的值构成的集合;
(2)由得,即,
由于方程,即的两个非零实根为、,
、是方程两个非零实根,于是,,
,
,,
设,,
则,
若对任意及恒成立,
则,解得或,
因此,存在实数或,使得不等式对任意及恒成立.9.(Ⅰ)依题意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.当时.在上为增函数.当x>1时有f(x)>f(1)=0.即.取.则,.即有.因此.10.解析:(1)f(x)的反函数.设直线y=kx+1与相切于点,则.因此4分
(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数.5分
由,令,
则在上单调递减,这时;在上单调递增,这时;因此是的最小值.6分
因此对曲线y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论以下:
当m时,有0个公共点;
当m=,有1个公共点;
当m有2个公共点;8分
(3)设
9分
令,则,
的导函数,因此在上单调递增,且,因此,在上单调递增,而,因此在上.12分
当时,且即,
因此当时,14分11.解析:(1)由题有:
3分
(2),
8分
(3),,
由知
,而,因此可得.
于是
.
当时;
当时,
当时,
下面证明:当时,
证法一:(运用组合恒等式放缩)
当时,
∴当时,13分
证法二:(数学归纳法)证明略
证法三:(函数法)∵时,
构造函数,
∴当时,
∴在区间是减函数,
∴当时,
∴在区间是减函数,
∴当时,
从而时,,即∴当时,12.解析:(1),
.
类比函数的图像,可知函数的图像的对称中心是.
又函数的图像的对称中心是,
(2)由(1)知,.
根据题意,对任意,恒有.
若,则,符合题意.
若,当时,对任意,恒有,不符合题意.
因此,函数在上是单调递减函数,且满足.
因此,当且仅当,即时符合题意.
综上,所求实数的范畴是.
(3)根据题设,有解得
于是,.
由,解得.
因此,.
考察函数,可知该函数在是增函数,故.13.解析:⑴令,
函数图象的对称轴为直线,要使在上有零点,
则即
因此所求实数a的取值范畴是.3分
当时,2个零点;当或,1个零点7分
⑵当时,
因此当时,,记.
由题意,知,当时,在上是增函数,
,记.
由题意,知
解得9分
当时,在上是减函数,
,记.
由题意,知
解得11分
总而言之,实数m的取值范畴是..12分14.解析:(1)令,则,
即,解得或
若,令,则,
与已知条件矛盾.
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