福建省三明一中高一下学期期中数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省三明一中高一（下)期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）1．y轴对应直线的倾斜角为（)A．0° B．180° C．90° D．不存在2．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是（）A．圆台 B．圆锥 C．圆柱 D．球3．如图，△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B’=A’C’，那么△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形4．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．(0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0）,2 D．（2,0)，25．在△ABC中，已知三边a=3，b=5，c=7，则三角形ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定6．已知α，β是平面，m，n是直线,给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β,则α⊥β．②若m⊂α，n⊂α,m∥β，n∥β，则α∥β．③如果m⊂α,n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β,则n∥α且n∥β．其中正确命题的个数是(）A．4 B．3 C．2 D．17．过直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且垂直于直线x﹣2y=0的直线方程是（）A．2x+y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．2x+y+8=0 D．2x﹣y+8=08．⊙A,⊙B，⊙C两两外切，半径分别为2,3，10,则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形9．空间四边形ABCD中,AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=2，QR=,PR=3，那么异面直线AC与BD所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°10．在△ABC中,a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣ B． C．﹣ D．11．《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵"的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A．4+2 B．2 C．4+4 D．6+412．空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、F分别是AB、CD的中点,且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4,则该球的半径等于()A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的位置上)．13．如图，棱长为2的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，点M在B′C′上，且M为B′C′的中点，若以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为．14．若A（﹣2，3），B（3,﹣2），C（1,m)三点共线，则m的值为．15．直线kx+y+2=0与圆（x﹣1)2+(y+2）2=16的位置关是．16．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0。39，sin37°≈0。60,cos37°≈0.80，≈1。73）三、解答题（本大题共6小题,共52分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17．已知直线l经过点P(﹣2，5），且斜率为﹣(1)求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程．18．如图在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点,底面ABCD是菱形,（1）求证：MN∥平面PAD;（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．19．△ABC中，a，b，c分别是角A,B，C所对的边,2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC(1）求∠B的大小;（2）若a=4，A=45°,求c的值．20．已知圆C过P（2,6），Q（﹣2,2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．(2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．21．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=，AD=1，A=（1）求sin∠ADB（2）若∠BDC=，求四边形ABCD的面积．22．已知线段PQ的端点Q的坐标是（4,0)，端点P在圆(x+2）2+y2=4上运动，点M是线段PQ的中点，（1）求点M的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）设A（0,t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2)，若点M的轨迹与△ABC的相切，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

2016—2017学年福建省三明一中高一（下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中,仅有一个选项是正确的．)1．y轴对应直线的倾斜角为（)A．0° B．180° C．90° D．不存在【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】根据直线的倾斜角的定义并结合y轴与x轴相互垂直，即可得到y轴对应直线的倾斜角为90°．【解答】解：∵y轴与x轴互相垂直,∴y轴与x轴所成角为90°．∵当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是直线位于交点以上的射线与x轴正向所成的最小正角．∴y轴对应直线的倾斜角为90°．故选：C2．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是（）A．圆台 B．圆锥 C．圆柱 D．球【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【分析】由AD⊥BC可得旋转后几何体为圆锥．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC绕AD旋转后所得几何体为以BC为底面直径，以DA为高的圆锥，故选：B．3．如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中A'B’=A'C'，那么△ABC是（)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=45°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：∵水平放置的△ABC的直观图,∠x′O′y′=45°，A′B′=A′C′，∴AB⊥AC，AB≠AC，∴△ABC是直角三角形,故选：B．4．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为()A．(0，2）,2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0)，2 D．(2,0），2【考点】J1:圆的标准方程．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后,即可得到圆心与半径．【解答】解:把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4,所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选D5．在△ABC中，已知三边a=3,b=5,c=7，则三角形ABC是(）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【考点】HR：余弦定理．【分析】由题意可得,c边为最大边，由于cosC==﹣,可得C=120°，可得三角形ABC是钝角三角形．【解答】解：△ABC中,∵已知三边a=3,b=5，c=7,∴c边为最大边,由于cosC===﹣，∴C=120°，故三角形ABC是钝角三角形，故选：C．6．已知α，β是平面，m,n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β．②若m⊂α，n⊂α，m∥β,n∥β，则α∥β．③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线,那么n与α相交．④若α∩β=m，n∥m,且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确命题的个数是(）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】2K：命题的真假判断与应用；LJ：平面的基本性质及推论．【分析】根据线面垂直的判定定理，可判断①的对错;根据面面平行的判定定理，可得到②的真假；根据空间线面关系的定义及判定方法，可以得到③的正误，根据线面平行的判定方法，易得到④的对错；结合判断结果，即可得到答案．【解答】解：根据面面垂直的判定定理，我们易得①正确；根据面面平行的判定定理,我们可得由于m与n不一定相交,则命题②为假命题；如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交或平行，故③也为假命题;若若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，根据线面平行的判定定理，我们可得④为真命题；故选C7．过直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且垂直于直线x﹣2y=0的直线方程是（）A．2x+y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．2x+y+8=0 D．2x﹣y+8=0【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】设过直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点的直线方程为2x﹣y+4+λ（x﹣y+5)=0，依题意可求其斜率k=﹣2，从而可求得λ．【解答】解：设过直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点的直线方程为2x﹣y+4+λ（x﹣y+5）=0，即（2+λ）x﹣（1+λ）y+4+5λ=0，∵该直线与直线x﹣2y=0垂直，∴k==﹣2，∴λ=﹣．∴所求的直线方程为：（2﹣）x﹣（1﹣）y+4+5×(﹣）=0，即2x+y﹣8=0．故选A．8．⊙A，⊙B,⊙C两两外切，半径分别为2，3，10,则△ABC的形状是（)A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【考点】GZ:三角形的形状判断．【分析】由勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，可得答案．【解答】解：∵⊙A，⊙B，⊙C两两外切，它们的半径分别为2，3,10,∴AB=2+3=5,BC=3+10=13，AC=2+10=12，∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形．故选：C．9．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R,且PQ=2，QR=,PR=3,那么异面直线AC与BD所成的角是（)A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】首先分别在△BCD和△ABC利用中位线定理，证出QR∥BD且PQ∥AC，从而PQ、QR所成的锐角或直角就是异面直线AC与BD所成的角．然后在△PQR中，利用勾股定理逆定理，得到∠PQR=90°，所以异面直线AC与BD所成的角为90°．【解答】解：∵△BCD中，Q、R分别是BC、CD的中点，∴QR∥BD同理可得：△ABC中，PQ∥AC，因此PQ、QR所成的锐角或直角就是异面直线AC与BD所成的角．∵△PQR中，PQ=2，QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=9=PR2，可得∠PQR=90°∴异面直线AC与BD所成的角为90°故选A10．在△ABC中，a=15,b=10，A=60°，则cosB=()A．﹣ B． C．﹣ D．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解:根据正弦定理可得，，解得,又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴,故选D．11．《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵"的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为（）A．4+2 B．2 C．4+4 D．6+4【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4,故选：D．12．空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、F分别是AB、CD的中点,且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4,则该球的半径等于(）A． B． C． D．【考点】LG:球的体积和表面积．【分析】由题意,球心O必在EF上,则OF2+22=R2=（4﹣OF）2+42,即可得出结论．【解答】解：由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R2=（4﹣OF）2+42，∴OF2=,R=．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的位置上）．13．如图，棱长为2的正方体OABC﹣D′A′B′C′中,点M在B′C′上,且M为B′C′的中点，若以O为坐标原点,建立空间直角坐标系，则点M的坐标为（1，2，2)．【考点】JH:空间中的点的坐标．【分析】由图形可知，M点在正方体的上底面上，M点的纵标同B′的纵标相同，M在面BCC′B′上,得到点的竖标为2，根据M点在棱上的位置，写出M点的横标．【解答】解:由图形可知，M点在正方体的上底面上，∴M点的纵标同B′的纵标相同,M在面BCC′B′上，得到点的竖标为2，∵C′M=MB′，∴M点的横标是1，∴M点的坐标是（1，2，2），故答案为：（1,2,2）．14．若A(﹣2，3）,B（3，﹣2），C(1，m)三点共线，则m的值为0．【考点】I6：三点共线．【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线AB与直线AC的斜率，而A、B、C三点共线，故直线AB与直线AC的斜率相等，由此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵A（﹣2，3)，B（3，﹣2),∴直线AB的斜率k1==﹣1同理可得：直线AC的斜率k2=∵A、B、C三点共线,直线AC的斜率∴直线AB与直线AC的斜率相等,即k1=k2，得=﹣1，解之得m=0故答案为:015．直线kx+y+2=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=16的位置关是相交．【考点】JE:直线和圆的方程的应用．【分析】判断直线系经过的定点与圆的关系即可定点结果．【解答】解：直线kx+y+2=0恒过（0,﹣2），圆(x﹣1）2+（y+2）2=16,圆的圆心（1,﹣2），半径为4，可得：(0，﹣2）与（1，﹣2）的距离为1＜4，说明定点在圆的内部，直线与圆的位置关系是相交．故答案为：相交；16．如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39,sin37°≈0。60，cos37°≈0.80，≈1.73)【考点】HS：余弦定理的应用；HP:正弦定理；HQ:正弦定理的应用．【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长，从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度．【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D,则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理,，得BC===60m．故答案为：60m．三、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣（1)求直线l的方程;（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程．【考点】IG：直线的一般式方程；I3：直线的斜率．【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5=﹣（x+2），化为一般式．(2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式求得待定系数c值，即得所求直线方程．【解答】解:（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5=﹣（x+2），化简为3x+4y﹣14=0．(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0,由点到直线的距离公式,得,即,解得c=1或c=﹣29，故所求直线方程3x+4y+1=0,或3x+4y﹣29=0．18．如图在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥平面ABCD,M，N分别是AB，PC的中点，底面ABCD是菱形，（1）求证：MN∥平面PAD;（2)求证：平面PAC⊥平面PBD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】(1)取CD中点E，连接ME，NE,结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥AD，NE∥PD，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PAD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PAD；（2）由已知中底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD,结合正方形的性质及线面垂直的性质，可得AC⊥BD,PD⊥AC,由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD,再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；【解答】证明:(1）取CD中点E,连接ME，NE，由已知M，N分别是AB，PC的中点，∴ME∥AD，NE∥PD又ME,NE⊂平面MNE,ME∩NE=E，所以,平面MNE∥平面PAD，所以，MN∥平面PAD(2）ABCD为菱形，所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD19．△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C所对的边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a)sinC(1）求∠B的大小；（2）若a=4,A=45°，求c的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】(1）由正弦定理化简已知可得b2=a2+c2+ac，进而利用余弦定理得cosB=﹣,结合范围0°＜B＜180°，可求B的值．(2）利用三角形内角和定理可求C，由正弦定理即可计算得解c的值．【解答】解：（1）由正弦定理，又由已知2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，可得：b2=a2+c2+ac，①…由余弦定理得：cosB=，②①代入得②,可得：cosB=﹣，…又0°＜B＜180°，…所以有∠B=120°,…（2）由（1)得B=120°，又A=45°，∴C=15°．…由正弦定理得,即，…∴c=4××=2﹣2．…20．已知圆C过P（2，6),Q（﹣2，2）两点,且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．(2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】(1)把点P、Q的坐标和圆心坐标代入圆的标准方程,利用待定系数法求得系数的值；(2）分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况．①当直线l的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为：y﹣5=kx,由点到直线的距离公式求得k的值．【解答】解：（1）方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有，解得，故所求圆的方程为x2+y2+4x﹣12y+24=0．（2）如图所示，|AB|=4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴｜AD|=2，｜AC｜=4．在Rt△ACD中，可得｜CD|=2．当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为x=0．当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为:y﹣5=kx，即kx﹣y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=，此时直线l的方程为3x﹣4y+20=0．∴所求直线l的方程为x=0或3x﹣4y+20=0．21．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=，AD=1，A=（1）求sin∠ADB（2）若∠BDC=，求四边形ABCD的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1)在△ABD中,AB=，AD=1，A=，由余弦定理得BD=．在△ABD中,由正弦定理得=，解得sin∠ADB．（2）设∠CBD=α，由AD∥BC,可得∠ADB=∠CBD=α，可得sin．可得cosα=，由∠BDC=，可得sinC=sin．在△BCD中,由正弦定理得=，解得BC．由S△BCD=sinα，S△ABD=sinA，可得四边形ABCD的面积S．【解答】解:（1）在△ABD中,AB=，AD=1，A=，由余弦定理得BD2=cos，解得BD=．在△ABD中，由正弦定理得=，即=，解得sin∠ADB=．（2)设∠CBD=α，因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD=α，所以sin．因为,所以cosα=,…因为∠BDC=,所以sinC=sin==,6分)在△BCD中，由正弦定理得=，解得BC=．…所以S△BCD=sinα=××=，…S△AB