2021-2022学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1―10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，102．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝43．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝AC，∠ACD＝70°，则∠B的度数是（）A．40° B．60° C．70° D．80°5．（3分）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相平分 D．每一条对角线平分一组对角6．（3分）一次函数y＝x﹣2的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）如图，若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点（0，﹣1），（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞18．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：组员甲乙丙丁戊平均成绩众数得分8177■808280■则被遮盖的两个数据依次是（）A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，29．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（）A． B． C． D．10．（3分）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72 B．52 C．80 D．76二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）二次根式有意义的条件是．12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE＝．13．（2分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝1.2，s乙2＝1.1，s丙2＝0.6，s丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）．14．（2分）如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为km．15．（2分）如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为．16．（2分）若点A（x1，1），B（x2，2）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2的大小关系是x1x2．（填“＞”“＝”或“＜”）17．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为．18．（2分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．三、解答题（本题共54分，19题5分，20题7分，21-22题每题5分，23题4分，24-26题每题5分，27题7分，28题6分）19．（5分）下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在Rt△ABC中，ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于AC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；④连接AD，CD．则四边形ABCD是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝．又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）．20．（7分）计算：（1）﹣3+；（2）（﹣1）2+（+2）．21．（5分）如图，在▱ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．22．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，1）和B（3，﹣1）．（1）求该一次函数的解析式；（2）在图中画出该函数的图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．23．（4分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为8+2的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．24．（5分）为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：年级平均数众数中位数七年级7.5n7八年级m8p请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）上表中m＝，n＝，p＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．25．（5分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的值大于一次函数y2＝x﹣3的值，结合图象，直接写出k的取值范围．26．（5分）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．（1）直接写出方案二中的底薪是多少元；（2）求y2与x的函数解析式；（3）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过200千克，但其3月份的工资超过5000元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的3月份工资，并说明你的理由．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），点D关于直AE的对称点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF．（1）在图1中补全图形，∠AFD∠BAP（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）猜想∠APB和∠DFP的数量关系，并证明；（3）用等式表示线段PA，PB，PF之间的数量关系，并证明．28．（6分）已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形W关于点M的倍点．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．（1）若点M的坐标为（2，0），则在P1（3，0），P2（4，2），P3（5，1）中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是；（2）点N的坐标为（2，t），若在直线y＝x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；（3）点G为正方形ABCD边上一动点，直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．

2021-2022学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1―10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10【解答】解：∵1+2＝3，故选项A中的三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意；∵22+32≠42，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；∵42+52≠62，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；∵62+82＝102，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝3 B．4﹣＝4 C．×＝ D．÷＝4【解答】解：A、原式＝2，所以A选项的计算错误；B、原式＝3，所以B选项的计算错误；C、原式＝＝，所以C选项的计算正确；D、原式＝＝＝2，所以D选项的计算错误．故选：C．3．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：.0.2是小数，含有分母，故选项A不是最简二次根式；符合最简二次根式的定义，故B是最简二次根式；.＝，，被开方数里含有能开得尽方的因式（数），故选项C、D不是最简二次根式．故选：B．4．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝AC，∠ACD＝70°，则∠B的度数是（）A．40° B．60° C．70° D．80°【解答】解：∵AD＝AC，∠ACD＝70°，∴∠ACD＝∠D＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝70°，故选：C．5．（3分）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相平分 D．每一条对角线平分一组对角【解答】解：由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；而平行四边形不具备这样的性质；其他A，C，B均是菱形和平行四边形共有的性质．故选：D．6．（3分）一次函数y＝x﹣2的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵一次函数y＝x﹣2中k＝1＞0，b＝﹣2＜0，∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．7．（3分）如图，若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点（0，﹣1），（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．8．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：组员甲乙丙丁戊平均成绩众数得分8177■808280■则被遮盖的两个数据依次是（）A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2【解答】解：根据题意得：80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），则丙的得分是80分；众数是80，故选：A．9．（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随x的增大而减小，符合一次函数图象，故选：A．10．（3分）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72 B．52 C．80 D．76【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）二次根式有意义的条件是x≥1．【解答】解：二次根式有意义的条件是：x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝2，∴DE＝AD﹣AE＝3．故答案为：3．13．（2分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝1.2，s乙2＝1.1，s丙2＝0.6，s丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是丙（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）．【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，∴S丙2＜S丁2＜S乙2＜S甲2，∴射击成绩最稳定的是丙，故答案为：丙．14．（2分）如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为1km．【解答】解：∵M是公路AB的中点，∴AM＝BM，∵AC⊥BC，∴CM＝AB＝1km，∴M，C两点间的距离为1km．故答案为：1．15．（2分）如图，分别以数轴的单位长度1和3为直角边的长作直角三角形，以数轴上的原点O为圆心，这个直角三角形的斜边长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为．【解答】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，直角三角形的斜边＝＝，则OA＝，∵如图，点A是以原点O为圆心为半径作弧与数轴的交点，∴点A表示的数为．故答案为：．16．（2分）若点A（x1，1），B（x2，2）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2的大小关系是x1＞x2．（填“＞”“＝”或“＜”）【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（x1，1），B（x2，2）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，且1＜2，∴x1＞x2．故答案为：＞．17．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，∴OC＝3，OD＝5，∵∠OCD＝90°，∴CD＝，∵E是BC边的中点，O是BD的中点，∴2OE＝CD，∴OE＝2．故答案为：2．18．（2分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝60°°，△BEF面积的最小值为．【解答】解：如图，连接BD，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；∴△ABD与△BCD为正三角形，∴∠FDB＝∠EAB＝60°，∵AE+CF＝2，DF+CF＝2，∴AE＝DF，∵AB＝BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝，∴边BE上的高为，△BEF面积的最小值为：．故答案为：．三、解答题（本题共54分，19题5分，20题7分，21-22题每题5分，23题4分，24-26题每题5分，27题7分，28题6分）19．（5分）下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在Rt△ABC中，ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①分别以点A，C为圆心、大于AC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，交AC于点P；③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；④连接AD，CD．则四边形ABCD是矩形．根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AP＝CP．又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）（填推理的依据）．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：连接AE，CE，AF，CF，∵AE＝CE，AF＝CF，∴EF是线段AC的垂直平分线，∴AP＝CP，又∵BP＝DP，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）．故答案为：CP；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．20．（7分）计算：（1）﹣3+；（2）（﹣1）2+（+2）．【解答】解：（1）原式＝2﹣+2＝2+；（2）原式＝5﹣2+1+5+2＝11．21．（5分）如图，在▱ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．22．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，1）和B（3，﹣1）．（1）求该一次函数的解析式；（2）在图中画出该函数的图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1）将点A（1，1）和B（3，﹣1）代入y＝kx+b得，，解得：，∴该一次函数的解析式为：y＝﹣x+2．（2）图象如图所示：当x＝0时，y＝2，与y轴交点（0，2），当y＝0时，x＝2，与x轴交点（2，0），∴该图象与坐标轴围成的三角形的面积＝×2×2＝2，故该图象与坐标轴围成的三角形的面积为2．23．（4分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为8+2的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；（2）如图2中，正方形AEBF即为所求．24．（5分）为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：年级平均数众数中位数七年级7.5n7八年级m8p请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）上表中m＝7.5，n＝7，p＝7.5；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．【解答】解：（1）m＝＝7.5（分），七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即n＝7，将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5（分），因此中位数是7.5分，即p＝7.5，故答案为：7.5，7，7.5；（2）八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；（3）400×＝360（名），答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．25．（5分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的值大于一次函数y2＝x﹣3的值，结合图象，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，解得x＜；（2）当x＝﹣1时，y＝x﹣3＝﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y1＝kx+2得﹣k+2＝﹣4，解得k＝6，由图象可知当1≤k≤6时，y1＞y2；故k的范围为1≤k≤6．26．（5分）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．（1）直接写出方案二中的底薪是多少元；（2）求y2与x的函数解析式；（3）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过200千克，但其3月份的工资超过5000元．请你判断这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付的3月份工资，并说明你的理由．【解答】解：（1）由图象可得，方案二中的底薪是800元；（2）设y2＝k2x+b，根据题意，得，解得，∴y2与x的函数解析式为y2＝10x+800（x≥0）；（3）设y1＝k1x，根据题意得40k1＝1200，解得k1＝30，∴y1＝30x（x≥0）；当x＝200时，y1＝30×200＝6000＞5000；y2＝10×200+800＝2800＜5000；∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），点D关于直AE的对称点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF．（1）在图1中补全图形，∠AFD＝∠BAP（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）猜想∠APB和∠DFP的数量关系，并证明；（3）用等式表示线段PA，PB，PF之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）补全图形如图1，由对称得AD＝AF，AE⊥DF，∴∠ADF＝∠AFD，∠DAP+∠ADF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠DAP+∠BAP＝90°，∴∠ADF＝∠BAP，∴∠AFD＝∠BAP，故答案