2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学三调试卷（学生版+解析版）（三模）

2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学三调试卷（三模）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.（5分）设。，〃€/?,则集合2=｛犬|*-1）2（》-4）=0｝,。="|（》+1）（》-〃）2=0｝,若/>=。，

则a-〃=（）

A.0B.2C.-2D.1

2.（5分）已知复数z满足|zbl,且有z"+z=l,求z=（）

A1,^3,R旧「._-Ji.抑木

A.一±—iB.—±一iC.—土—inD.省I，小刈*

222222

3.（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除

问题:将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排

成一列，构成数列则数列｛a,,｝各项的和为（）

A.137835B.137836C.135809D.135810

4.（5分）古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分

割率，黄金分割率的值也可以用2sinl8。表示.若实数〃满足4$也218。+〃2=4,则

1-sin18°

8”2s>18°—

A.-B.-C.—D.—

4242

5.（5分）电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道：三百条狗交

给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？舟妹唱道；九十九条坪上卖,

九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个

奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300条狗分成4群，每群都是单数，

1群少，3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分？舟妹

已唱出其中一种分法，即｛3,99,99,99｝,那么，所有分法的种数为（）

A.6B.9C.10D.12

6.（5分）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百

般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（）

2+cosx

7.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市

和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举

办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全

满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体

育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图

所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点8

分别向内层椭圆引切线AC,BD（如图），且两切线斜率之积等于-2,则椭圆的离心率

16

为（）

8.(5分)已知=(x-1)"+ahix在(―,+co)上恰有两个极值点不，%,且不＜x?,则“‘

4々

的取值范围为()

A.(-3,--/n2)B.(l-/n2,l)

22

113

C.(-oo,—InZ)D.(—ln2,—ln2)

224

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.（5分）2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产.学校开始

以网课的方式进行教学.为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教

学成果进行测试.高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z服

从正态分布N（82.5,5.4?）,则（人数保留整数）（）

参考数据：若Z~,则-a<Z</j+a)=0.6827

-2<y<Z<p+2cr）=0.9545,-3cr<Z<〃+3cr）=0.9973.

A.年级平均成绩为82.5分

B.成绩在95分以上（含95）人数和70分以下（含70分）人数相等

C.成绩不超过77分的人数少于150人

D.超过98分的人数为1人

10.（5分）YxwR,[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=T,[2.1]=2.十八世纪，

函数/（x）=[幻被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函

数则下列命题中是真命题的是（）

A.Hrs/?,x..[x]+1B.Vx,yeR,[x]+[>>l,[x+y]

C.VxeR,X-1<[X]<X<[X]+1D.函数/（x）=x-[x]的值域为[0,1）

11.（5分）如图，在边长为4的正方形他8中，点£、尸分别在边他、BC上（不含端

点）且BE=BF,将ADCF分别沿DE,OF折起，使A、C两点重合于点儿，则

A.A.DA.EF

B.当BE=8尸=时，三棱锥A-OEF的外接球体积为卡不

C.当==时，三棱锥A-OEF的体积为W

D.当3E=3F=L3C时，点A到平面AEr的距离为生叵

12.（5分）一般地，若函数/（X）的定义域为[a,b],值域为[如，kb],则称为的“4倍跟

随区间”；若函数的定义域为团，切，值域也为［“，切，则称3,切为f(x)的“跟随区间”.下

列结论正确的是()

A.若［1,句为/(*)=/-2x+2的跟随区间,则6=2

B.函数/(x)=l+2存在跟随区间

X

C.若函数/(x)="-^/^R存在跟随区间，则〃?e(-,，0］

4

D.二次函数/(x)=-gd+x存在“3倍跟随区间”

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

fy11一

13.(5分)已知向量1=(3,2cos,)，b=(~~>Q)，且贝!Jcosa=.

14.(5分)已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点，。是圆(x+2『+(>-4)2=1上任意

一点，贝iJ|PQ|+x的最小值为.

15.(5分)若非负实数x,y满足》2+4丫2+49+4/丁=32,则x+2y的最小值为,

>f7(x+2y)+2xy的最大值为.

16.(5分)如图，在四面体A88中，AB=CD=2,AC=BD=g,AD=BC=M,E,

F分别是AD,BC的中点若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每个面都相交的平面a去

截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为一.

17.若数列｛七｝满足％=1,且存在常数4>1,使得对任意的都有即川ka,则

kn

称数列为“左控数列”.

(1)若公差为"的等差数列他“｝是“2控数列”，求d的取值范围；

(2)已知公比为q(q+1)的等比数列也,｝的前〃项和为S,,,数列｛b„｝与5“都是“k控数列”,

求q的取值范围(用左表示).

18.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,请在①6+bcosC=指csinB；

②(2Z?-a)cosC=ccosA；③/+62-/=生?这三个条件中任意选择一个，完成下列

问题：

(1)求NC；

(2)若a=5,c=7,延长到。，使cosNAOC=且，求线段83的长度.

7

19.数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”问题，题意如下：“如图

1,两塔，相距**步，高分别为**步和**步.两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟.两鸟同时自

塔顶出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达(假设两鸟速度相同).求两塔与喷泉中心之距.”如

图2,现有两塔AC、BD,底部A、B相距12米，塔AC高3米，塔班)高9米.假设塔

与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.

(1)若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所

在点例，求喷泉距塔底A的距离；

(2)若塔底A、B之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C出发，飞抵水面A、

8之间的某点尸处饮水之后，飞到对面的塔顶。处.求当小鸟飞行距离最短时，饮水点P到

塔底A的距离.

20.最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除

颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与

绿色球各I个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2

分、红球每个记3分、绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：

①只能一个人摸球;②摸出的球不放回;③摸球的人先从袋中摸出1球;若摸出的是绿色球，

则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两

次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.

(1)若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；

(2)如果乙先摸出了红色球，求乙得分J的分布列和数学期望EC)；

(3)第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.

21.己知函数/(%)="优-cos(n-l),a&R.

(1)若。=1,求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/(x)-/"(x+1),若g(x)..O,求。的取值范围.

22

22.已知椭圆C:与+马=1(。>〃>0)的左、右顶点分别为A,B,£为C上不同于A,B

ab2

的动点，直线他，的斜率心£,怎£满足砥£山跖=-3，亚•丽的最小值为T.

(1)求C的方程；

(2)O为坐标原点，过。的两条直线乙，4满足4〃A£,4//8E，且4,4分别交C于例，

N和P,Q.试判断四边形MPAQ的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明

理由.

2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学三调试卷（三模）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.（5分）设。"€/?,则集合「=｛"|瓮一1）2（》-4）=0｝,。=｛刈（、+1）（》-»2=0｝,若「=。，

则a-人=（）

A.0B.2C.-2D.1

【解答】解：因为P={x[(x-l)2(x-a)=0}={l,a},0={x|(x+l)(x-fe)2=0)={-1,b},

若P=。，贝Ua=-1,b=1,

a-b=-2.

故选：C.

2.（5分）已知复数z满足|z|=1,且有z"+z=l,求z=（）

A\/31.V2V2.封（不如

A.一±—iBn.—士—iC.—士—iD.不弄广

222222

【解答】解：设z=cosa+isin。，

由于z17+z=cosl7a+isinl7a+cosa+isina=cos17cr4-cosa+z（sin17a+sina）=1,

所以cosl7a+cosa=l,sin17。+sin。=0,

所以8s17a=-cosa+l,sin17a=-sintz，

两边平方相加得cosa=',sina=±—,

22

故z，土乌.

22

故选：A.

3.（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除

问题:将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排

成一列，构成数列｛为｝,则数列｛〃〃｝各项的和为（）

A.137835B.137836C.135809D.135810

【解答】解：由于数列中的数能被3除余1且被5除余1的数,

故。〃=15/7-14,

当“=135时，aB5=15x135-14=2011,

所以%=叩0+2。-）

1352=135810.

故选：D.

4.（5分）古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分

割1率，黄金分割率的值也可以用2sinl8。表示.若实数〃满足4•218。+〃2=4,则

l-sinl8°,、

-i—i=（）

8岛加18°

A.-B.-C.—D.—

4242

【解答】解：根据题中的条件可得:n*2=*564-4sin218°=4cos2180,

则

1-sin18°_1—sin18°_1-sin18°_1-sin18°_l-sinl8°_l-sinl8°_

Sn2sin218°-8-4cos218°sin2180-8s加?36°一。1-cos72°14（1-cos72。）-4（1-sin180）一4

ox--------

2

故选：A.

5.（5分）电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道：三百条狗交

给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？舟妹唱道；九十九条坪上卖,

九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个

奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300条狗分成4群，每群都是单数，

1群少，3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分？舟妹

已唱出其中一种分法，即{3,99,99,99},那么，所有分法的种数为（）

A.6B.9C.10D.12

【解答】解：根据题意，设“三多”的狗有x条，则“一少”的狗有3OO-3X条，

皿-f300-3x>05r.

则有L,c>解可得75Vx<100，

300-3x<x

又由x为奇数，则x可取的值有77、79、81、99,共12个，

则有12种分法，

故选：D.

6.（5分）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百

般好，隔离分家万事休.”函数〃》）=亚士2的部分图象大致为（）

2+cosx

【解答】解：/•（-x）=x（e'+e'）=_/.）,则函数/（x）是奇函数，图象关于原点对称，排

2+cos（-x）

除A,B,

当x>0时，/(x)>0,排除O,

故选：C.

7.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市

和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举

办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全

满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体

育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图

所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点8

分别向内层椭圆引切线AC,BD（如图），且两切线斜率之积等于-2,则椭圆的离心率

16

【解答】解：设内层椭圆方程为因为内外椭圆离心率相同’所以外

层椭圆,

可设成，一+—^—7=1("7>1)»

(ma)-(mb)

设切线的方程为y=K(x+a),

丫2v2

与1T+-=1联立得，耐+/婷)x24-2tna3k^x+)n2a2；-crb1=0,

ab

由△=(),贝ij婷=4x「i—,同理&，=Mw-i)，

ar{m-1)a~

所以忏修=与=(_2)2,因此e=五.

a164

故选：B.

8.(5分)已知/(x)=(x-l)2+a/nx在(L”)上恰有两个极值点大，招，且$<尢2，则"')

4x2

的取值范围为()

A.(-3,--/n2)B.(l-/n2,l)

22

C.(-oo,--/n2)D.-In2,--ln2)

224

12r2v

【解答】解：f{x}={x-Vj+alnx,WlJf'{x)=2x-2+-=-t£(x>0),

XX

令r(x)=0,得2f—2x+a=0,

由题意知Zd-Zx+q：。在（■!■,+»）上有2个根

X，

42

a>0

11Q1

故<2x(—2x—F>0,解得：—<ci<—>

4482

△=4-8a>0

+X2=1

一a

…2=5

由求根公式得五2=1土年五,

1+J1-2a

X}<X2y/.x2=---------，

3113

*.*—<<一，一<x<一，

822-74

则/（X）=（XT）2+。附=勾+2砧％

—X2+2(1—x?)/n(l—%2)=%2—1+2(1—马)/〃(1—马)+1(—vx2V—)

令/二1一乂，则!<，<!，

~42

设g（，）=一，++1（；<，<；）,则g\t）=1+2lnt,

易知夕⑺在（1,；）上单调递增，

故g"）=1+21m<1—21n2=ln^<0,

故当时，函数g⑺为减函数，

gQ）—+2x—//?—+1=；—In2,且g（/）—+2X//?—/A?—+1=——In2,

..”^晶-/〃2,--/n2）.

马24

故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.（5分）2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产.学校开始

以网课的方式进行教学.为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教

学成果进行测试.高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z服

从正态分布M82.5,5.42）,则（人数保留整数）（）

参考数据：若Z~N（〃,/）,则尸（〃一b<Z<〃+b）=0.6827,

P（N一2crvZv4+2b）=0.9545,P卬-3cr<Z<//+3cr）=0.9973.

A.年级平均成绩为82.5分

B.成绩在95分以上（含95）人数和70分以下（含70分）人数相等

C.成绩不超过77分的人数少于150人

D.超过98分的人数为1人

【解答】解：选项A：因为Z~N（82.5,54）,所以〃=82.5,cr=5.4,

由正态分布概念可知：年级平均成绩〃=82.5,故A正确，

选项3：因为巨必=82.5=〃，所以成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含

2

70分）人数相等，故3正确，

选项C：因为77。82.5-5.4=〃一b,所以P（Z<77）7P（Z<〃-cr）=上旭修工=0.15865,

因为1000x0.15865a159>150,所以成绩不超过77分的人数多于150人，故C错误,

选项。：因为82.5+5.4x3=98.7^99,

_1-00973

所以「(Zj®9)aP(Z〃+3cr)=——-——=0.00135,

因为1000x0.00135x1,所以超过98分的人数为1人，故。正确，

故选：ABD.

10.(5分)X/xeR,[x]表示不超过》的最大整数，例如[-3.5]=Y,[2.1]=2.十八世纪，

函数f(x)=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函

数”.则下列命题中是真命题的是()

A.BxeR,x..[x]+1B.Vx.yeR,[x]++y]

C.X/xeR,x-l<[x]<x<[x]+lD.函数,f(x)=x-[幻的值域为[0,1)

【解答】解：由定义得：+故对VxwR,x<[x]+l,故A错误；

由定义可得，对Vx,yeR,x=[x]+a,y=[y]+b,a,b€[0,1),

所以x+y=[x]+[y]+a+匕，[x+y]=[x]+[>,]+[a+b],

所以[x]+[y],[x+y],故3正确；

由定义得+故C错误；

由定义所以0,,*-印<1,所以函数f(x)=x—[幻的值域是[0,1),故。正确.

故选：BD.

11.(5分)如图，在边长为4的正方形A88中，点E、F分别在边A3、8c上(不含端

点)且BE=BF,将AZX;下分别沿小，。厂折起，使A、C两点重合于点人，则

下列结论正确的有()

A.A.DA.EF

B.当BE=B尸时,三棱锥A-DEF的外接球体积为显兀

2

C.当8E=BF=L8C时,三棱锥A-OEF的体积为当7

4

D.当8E=8尸=LsC时,点A到平面DEF的距离为坦

4'7

【解答】解：取EF的中点O,连接。A-OD,

由题意可得=\E=\F,

所以8_L£F,A.OVEF,DO^\O=O,

所以£FJ_平面A。。，

所以EF_LA。,

故A正确；

当3E=3E=；8c=2时，AE=A尸=2，EF=20,

可得AE_LAF，又AE_LA。，A.FLA.D,

可把三棱锥A-E。尸放到以A。，AE,4尸为相邻棱的长方体中,

可得长方体的对角线长为V22+22+42=2限,

故外接球的半径为直，体积为(n)3=8区,

故8错误；

3+32

当8E=BF=』BC=1时，EF=6,cosZEA.F=~^-(^=1

42x3x39

所以sinNEAF=Jl,

c1人17A17•/IT4zr_1QaV175/17

S小4卜=QAE•4sinNE4尸=/x3x3x———————,

_3._iVn,_2Vn

vVA,-M：F=vVD-A,EF=§S^A,Ef^Dn=§'x4=3，

故C正确；

当的=5尸=1时，设A到面。所的距离为/?,

11111,7O/]7

则以-AW=3SADEF〃=3x(4x4-2x5x4x3_/xl*l)〃=3X/^=^—

解得/2=生叵，

7

故。正确.

故选：ACD.

4

//

F

12.(5分)一般地，若函数/(x)的定义域为［a,b］,值域为［如，kb］,则称为的“4倍跟

随区间”；若函数的定义域为团，力，值域也为必，勿，则称［。，勿为f(x)的“跟随区间”.下

列结论正确的是()

A.若［1,句为/(》)=/-2x+2的跟随区间,则b=2

B.函数/1(x)=l+L存在跟随区间

X

c.若函数/(x)=，〃-V7工I存在跟随区间，则加0］

4

D.二次函数/(x)=-gf+x存在“3倍跟随区间”

【解答】解：选项A：由已知可得函数在区间［1,加上单调递增，则有f(b)

=b1-2b+2=b,解得。=2或1(舍)，所以人=2,A正确；

选项8：若存在跟随区间［a,b］(a<b),又因为函数在单调区间上递减，则有

［f(b)=a

解得。=6=1,显然不成立，5错误；

选项C：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间［a,b］(-\„a<b),

则有［/⑷K即"〃?一丝！，两式做差得……&7T-贿，

=〃［a=m-4b+］

B|J(a-b)(Ja+1+\!b+1)=a+l—(Z?+l)=a-b,

又一L,a〈b,所以，TTT+>/^R=l,易得噫|］/石1<而开1,

所以勿z=a+〃TT=a+l-Jr+1,设Ja+1=re(0,^),则机二/一f,

即/T-〃?=0在区间(o,g)上有两个不相等的实数根，

只需：4»解得—〈n,0,C正确；

-n?..O4

选项。：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为［。，切，值域为［3a,30,

当。<匕,,1时，易得函数在定义域上单调递增，

则。，人是方程」d+x=3x的两个不相等的实数根，解得x=0或-4,

2

故存在定义域为［T,0］使得值域为［-12,0］,D正确,

故选：ACD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(5分)已知向量々=(3,2cos晟)，5=1),且则cosa=_

【解答】解：因为d=(3,2cos§,6=(—；),且dJ-6,

所以］4=-?+cos0=0,即cos0=3,

5225

贝!!cosa=2cos2--1=--—.

225

故答案为：-L

25

14.(5分)已知点P(x,y)是抛物线V=4x上任意一点，。是圆(x+2)2+(y-4f=l上任意

一点，则IPOI+x的最小值为3.

【解答】解：抛物线/=4x的焦点F(l,0),准线/:x=-l

圆C：a+2>+(y-4)2=l的圆心C(一2,4),半径r=l,

由抛物线定义知：点P到直线/:x=-l距离d=|PF|，

点P到y轴的距离为x=d-l，

.•.当C、P、尸三点共线时，|PQ|+d取最小值，

・••(IPQI+x).而

=］FC\-r-l

=5-1-1=3

故答案为：3.

15.(5分)若非负实数x,y满足/+4)，2+4外+4/产=32,则x+2y的最小值为上

x/7(x+2y)+2xy的最大值为.

【解答】解：因为X2+49+4Ay+4fy2=32,

即(x+2y了+4x2y2=32,,(x+2y)2+—(x+2y)4，

16

即(x+2y)4+16(x+2y)2-32x16..0,

故(x+2y)2..J6,或(x+2»”_32(舍)

故x+2y..4,或x+2y”-4(舍)

故x+2y的最小值为4,

故答案为：4

第二空：令刀(工+2)，)+2个=".0).

贝IJ夕(x+2y)=t-2;cy..O,两边平方得：7(x+2y)2=(f-2xy)2①

因为f+4)2+4孙+4x2y2=32,

所以X?+4y2+4xy=(x+2y)2=32-4fy2②，

所以由①②联立可得：7(32-4//)=(—2孙＞

展开得：32x2y2-4txy--32x7+t2=0

因为关于孙的方程必须有解，故方程的判别式△=16产-4x32x(*-32x7)..O.

解得*,,16x16,因为*..0,所以那方16,

所以f的最大值为16

贝h=近(九+2y)+2xy,

故答案为：J7(x+2y)+2町的最大值为16.

16.（5分）如图，在四面体A5S中，AB=CD=2,AC=BD=6AO=BC=逐，E,

产分别是4%5c的中点若用一个与直线跖垂直，且与四面体的每个面都相交的平面a去

截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为先.

-2-

【解答】解：补成长，宽，高分别为G，夜，1的长方体

由于E~_La,故截面为平行四边形可得KL+KN=非,设异面直线8C与">所

成的角为6,

则sin6=sinZHFB=sinALKN,

2

算得sin0=~~~，S四边形材NKZ=NK-KL-sinZ.NKL„---)=—­，当且仅当

NK=/O,时取等号.

故答案为：见.

2

四、解答题

17.若数列｛七｝满足q=l,且存在常数上>1,使得对任意的都有2a,撮iokan,则

称数列为“/控数列”.

(1)若公差为d的等差数列仅“｝是“2控数列”，求d的取值范围;

(2)已知公比为q(q*1)的等比数列｛b„｝的前”项和为S„,数列｛bn｝与〈都是“k控数列”,

求q的取值范围(用左表示).

【解答】解：(1)因为公差为”的等差数列｛4｝是“2控数列"，所以q=1,所以a,=1+5-1)4,

;可张人向2a“，n&N',

即匕l+(”-l)d掇!i+加2(1+("-1)刈，nwN*,

2

FTI、J(〃+l)“…一L"WN*

[(〃-2)d…一wN

由(〃+V)d..1得d…-----，又------G[—.0J,所以d..0,由(〃-2)t/..1得：

n+1n+\2

当〃—1时，—d…一1,所以4,1；当〃—2时，0..1成立；

当..3时，d...--!一又一——€［-1,0),所以d..0；

n—2n-2

综上，既收1,所以d的取值范围是［0,1］；

(2)因为数列电｝是公比为式q工1)的等比数列且为“々控数列”，所以,包物卜,川纳,，显

k

然包＞0,故1鼬k,

k

易知S,=上要使⑸｝是“火控数列”，则得LEC领a二人匕4，

\-qk\-q\-q\-q

iii_〃"+i

(1)1时，上麴口一k,keN",

kkT-q"

令/(〃)=上笛＞=4+上W，neN*,则f(〃)单调递减，所以1＜/(〃),,q+1,

q'1-cf

所以北.4+1,即故！教灯k-1.

K>t云]

要使q存在，则1_得女…业匚

工”2

11_〃〃+1

(2)当1<%攵时，―物—k,neN",

kl-q"

令=---=q+—―，neN*，则g(〃)递减,4Vg(〃),，4+1，

1—qnq,1—1

k>\

所义：,1又l<q<k,所以

一..q+1

(k”

要使q存在，需1</一1,得k>2,

综上，当人…与1时，公比q的取值范围是耳，*-11.

故答案为：ge，，.

18.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c,iWiS®+Z?cosC=-J3csmB；

②(》-a)cosC=ccosA；③a?+62-c2=生叵5.弘这三个条件中任意选择一个，完成下列

问题：

(1)求NC；

(2)若a=5,c=7,延长到£>,使cosNAOC=叵，求线段83的长度.

7

【解答】解：(1)选①：由正弦定理知，—=—=—,

sinAsinBsinC

,/b+人cosC=6csinB,sinB+sinBcosC=V3sinBsinC，

Bw(0㈤,..l+cosC=>/3sinC,即sin(C--)=—，

62

一/八xnn,兀5万、

*.*C£(0,7T)，(J---G(，),

666

/.C--=-,即C=2.

663

选②：由正弦定理知，

sinAsinBsinC

(2b-a)cosC=ccosA,/.(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA，

/.2sinBcosC=sin(A4-C)=sinB,

•・•BG(0,7T),COSC=—,

2

JT

•.•。£(0,万),C=—.

3

诽自2,Z-221,..

选③：\*a+b-c=---SAAR「=-----x—absinC=----absinC,

3323

由余弦定理知，cosC=a+b~C=—sinC,

2ab3

vCe(0,^-),tanC=>/.C=—.

33

2,22

(2)在AABC中，由余弦定理知，cosC=^—---—,

2ab

.」=25+〃二49,化简从+5〃-24=0,解得力=8或-3(舍负)，

22x5b

b8_7

由正弦定理知,/.sinZABC=土巨

sinZABC.兀

sinZABCsinCsin—7

3

ZABCG(0,4),cosZABC=\]l-sin2ZABC=-

7

2277

在AABD中，sinZADC=yl\-cosZADC=~1r

/.sin/BAD=sin(ZABC-ZADC)=sinZABCcosZADC-cosZABC-sinZADC

4A/3>/2112>/710V7

------x-----------x------=--------,

777749

由正弦定理知，一些一=一丝一，

sinNBA。sinZADB

.BD7

"10币~2V7'

49千

：.BD=5.

19.数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”问题，题意如下：“如图

1.两塔，相距**步，高分别为**步和**步.两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟.两鸟同时自

塔顶出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达(假设两鸟速度相同).求两塔与喷泉中心之距.”如

图2,现有两塔AC、BD,底部A、8相距12米，塔AC高3米，塔中高9米.假设塔

与地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.

(1)若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所

在点M,求喷泉距塔底A的距离；

(2)若塔底A、8之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C出发，飞抵水面4、

3之间的某点尸处饮水之后，飞到对面的塔顶。处.求当小鸟飞行距离最短时，饮水点尸到

塔底A的距离.

【解答】解：(1)设=x米，则M8=(12-x)米，

于是CM=j9+f,£>M^^(12-X)2+92,

由题意可知CM=DW,故9+V=(12-xy+81,

解得：x=9米，

故喷泉距塔底A的距离为9米.

(2)设C关于水面AB的对称点为C1则PC=PC,连接OC,

故PC+PD的最小值为DC=2?+(3+9>=]2血，

设DC交AB于P,设A4=x,则P8=12—x,

PC=79+x2,PD=J(l2-xf+81,

：.6+f+y/(12-x)2+81=120,

解得：x=3)

故当小鸟飞行距离最短时，饮水点P到塔底A的距离为3初.

20.最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除

颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与

绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2

分、红球每个记3分、绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下:

①只能一个人摸球;②摸出的球不放回;③摸球的人先从袋中摸出1球;若摸出的是绿色球，

则再从袋子里摸出2个球：若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两

次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.

(1)若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；

(2)如果乙先摸出了红色球，求乙得分g的分布列和数学期望E©)；

(3)第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.