新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数课件

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第四讲幂函数与二次函数知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知识梳理·双基自测知识点一幂函数[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)[0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0)(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)知识点二二次函数的图象和性质b＝01．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)××√×××题组二走进教材(0，＋∞)1或24．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_____0，ac_____0，a－b＋c_____0.><<5．(必修1P58T6改编)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝(

)C题组三走向高考6．(2022·上海)下列幂函数中，定义域为R的是(

)[解析]

选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.C[解析]

∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.－1考点突破·互动探究例1考点一幂函数图象与性质——自主练透AD(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(

)A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>cBBD(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考向1二次函数的解析式——师生共研

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．[解析]

解法一：利用“一般式”解题：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．例2考点二二次函数的图象与性质解法二：利用“顶点式”解题：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，解法三：利用“零点式”解题：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：〔变式训练1〕(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝____________________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝_________________.x2－4x＋3[解析]

(1)解法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，考向2二次函数的图象和性质——多维探究角度1二次函数的图象(1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(

)例3D(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是_______(填序号)．①④[解析]

(1)因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D.(2)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．角度2利用二次函数的图象和性质求最值

已知f(x)＝x2－2x＋5.(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为_____；(2)若x∈[－1,2]，则函数f(x)的最小值为_____，最大值为_____；(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为___________________.[分析]

对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．例4448[解析]

(1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，∴f(x)的最小值为4.(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1,2]，∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.(3)∵f(x)的对称轴为x＝1.当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，当t<1<t＋1即0<t<1时，f(x)在[t,1]上单调递减，在[1，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋5＝4.当t＋1≤1即t≤0，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋4.[引申]在(3)的条件下，求f(x)的最大值．角度3二次函数中的恒成立问题

已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若∃x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．[解析]

(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．例5(2)因为对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.当－1<－a<1，即－1<a<1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1.当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1.综上可得，实数a的取值范围是[－3,1]．(3)∃x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.综上可得，实数a的取值范围是R.[探究]本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．〔变式训练2〕(1)(角度1)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(

)C(2)(角度2)(2022·抚顺模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是_____________.(3)(角度3)(2023·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是___________.[1,2](－∞，－1)(2)由题意知，f(x)＝－(x－1)2＋6，则f(0)＝f(2)＝5＝f(x)min，f(1)＝6＝f(x)max，函数f(x)的图象如图所示，则1≤m≤2.(3)解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1