2023-2024学年湘教版必修第二册 　 向量的数乘 课件（48张）

第1章1.3向量的数乘学习目标1.通过实例分析，掌握向量的数乘及其几何意义.2.掌握向量共线的定义以及向量共线（平行）的充要条件.3.掌握向量的夹角、单位向量等概念.4.掌握向量的数乘运算律，会进行向量的线性运算.

核心素养：数学建模，数学抽象，直观想象，数学运算新知学习一、向量的数乘

CDAB【小贴士】①非零向量平行有如图所示的几种情况：

②因为零向量与任意向量平行，所以向量平行不具有传递性，即a∥b，b∥c推不出a∥c.二、共线向量

例2

［多选题］下列说法正确的是

（）A.向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量C.若a∥b，b∥c，则a∥cD.若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是共线向量BD解析：因为两平行向量a与b可能有零向量，而零向量与所有的向量都平行，且零向量的方向是任意的，A错误；假设a与b中至少有一个是零向量，则必有a与b共线，B正确；由于零向量与所有的向量平行且零向量的方向是任意的，故向量平行不具有传递性，C错误.若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是共线向量，D正确.

例3

对于非零向量a，b，“a+b＝0”是“a//b”的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A

B

ABDC

三、数乘运算律

例6

［多选题］已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为 （）A.m（a-b）＝ma-mb

B.（m-n）a＝ma-naC.若ma＝mb，则a＝b

D.若ma＝na，则m＝nAB解析：根据向量数乘运算的运算律知A，B正确.由ma＝mb，得m（a-b）＝0，当m＝0时也成立，故C错误.由ma＝na，得（m-n）a＝0，当a＝0时也成立，故D错误.四、向量的线性运算

典例剖析一、向量的数乘运算及线性运算

DABD

【方法总结】探求向量间关系的方法1.待定系数法寻找用同一向量表示的两个向量的线性关系一般采用待定系数法，其一般步骤如下：（1）设出两向量的含参关系式.（2）将关系式中的两个向量用已知中的同一向量来表示，整理后得关于参数的方程.（3）求出参数值.（4）代回所设关系式.2.数形结合法探求同一线段上的向量间的关系，常画出示意图，借助线段间的比例关系先得到向量的模的关系，再明确方向，进而得出向量间的关系.

C

2

B【方法总结】向量线性运算的方法（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.（2）在向量的线性运算中，恰当地运用运算律可简化运算.

方法技巧：向量可以通过列方程（组）来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.

二、用已知向量表示相关向量

【方法总结】用已知向量表示相关向量的求解思路（1）先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.（2）再结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量数乘运算用已知向量表示未知向量.（3）当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程（组）.

A

【方法总结】已知向量等式求参数的一般思路（1）选定两个不共线的向量（通常选择向量等式中含参数一端的两个向量，有时也可根据题设重新选择）；（2）根据已知条件将向量等式中的待表示的向量用这两个向量重新表示；（3）依据向量表达式的唯一性比较系数，得到关于参数的方程（组）；（4）解方程（组）得参数.

BB三、共线向量以及向量共线充要条件的应用

【方法技巧】寻找共线向量的方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.1.寻找共线向量

跟踪训练

【方法总结】判定向量共线的方法1.定义法：利用向量方向相同或相反判定向量共线.2.夹角法：如果〈a，b〉＝0或π，那么a与b共线.3.充要条件（定理）法：利用向量共线充要条件，即存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb，则向量b与向量a共线，其一般方法有：（1）观察法：把两个向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判定两向量共线；（2）待定系数法：先设a＝λb，再依据向量表达式的唯一性确定参数λ，若实数λ存在，则a与b共线，否则，a与b不共线.

AAB

B

AB4.已知向量共线确定参数例10

设e1，e2是两个不共