第七章 回归分析及回归方程的建立

一、有趣的发现英国著名的统计学家F.Galton及其弟子K.Pearson,研究了1078对夫妇及其一个成年儿子的身高关系。他们以儿子身高作为纵坐标、夫妇平均身高为横坐标作散点图，结果发现二者的关系近似于一条直线。经计算得到了如下方程：第七章回归分析及回归方程的建立由此方程可以看到：夫妇平均身高增加或减少一个单位，儿子的身高只增加或减少0.516个单位。也就是说，子代的身高就不像父辈身高那样分化，而是逐渐向平均身高回归。Galton引进“回归”（regression)一词来表达这种变化关系。不过后来人们研究其它变量间的关系时，并没有发现如上所述的回归现象，但仍沿用“回归”的概念以纪念统计学家F.Galton。当前我们讨论的“回归”，不再具有其最初的含义，而是指在依据大样本数据作出的变量间关系的散点图中，可以找到一条特定的直线或曲线，使得被预测的变量从各点距离该直线或曲线的变异总体上最小，这样就可以把这条直线或曲线叫做其它测量变量与被预测变量之间关系的回归线，它能够最理想的反映变量间的预测关系。(用容易测量的变量,预测不易测量的变量;用当前的变量,预测将来的变量)在实际分析中，可以根据测量变量的个数、变量的类型以及变量间的相关关系，将回归分析划分为：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列曲线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回归分析等类型。我们这里只介绍两种最简单的回归分析，即：一元线性回归分析、多元线性回归分析。二、一元线性回归分析一元线性回归分析是一种比较理想化的回归分析，即假定其它变量不产生影响或其影响确定不变，然后以一个测量变量预测另一个变量。通常我们是在抽取的样本中测量两个变量得到一批测量数据，然后以样本数据计算回归方程。接着对这一回归方程进行检验以确定其能否比较可靠地反映两个变量之间的关系。如果回归方程比较可靠就可用于对被预测变量的预测。下边我们用图示说明，线性回归方程显著性的方差分析！从上图看出，变量y的变异量可以分解为两部分，一部分是可用回归线解释的部分、一部分是不能用回归线解释的部分，而且相对来说，不被回归线解释的部分越小，散点越是靠近回归线，回归线越是能够反映x和y的线性关系，我们就说这个回归线越显著。一元线性回归方程建立的基本程序1.确定研究目标，即明确建立回归方程的测量变量和预测变量（也有的叫自变量和因变量），然后在一定样本中取得这两个变量对应的观测值。通常，预测变量是现实中容易测量的，被预测变量则是现实中较难测量或是指未来发展的结果；2.利用散点图或相关分析确定两变量是否存在线性关系；3.利用确定的计算方法或计算机软件计算回归方程的回归常数和回归系数，得到回归方程；

4.进行拟合优度检验。就是检验样本数据聚集在样本回归线周围的密集程度，从而判断回归方程对样本数据的代表程度。检验的方法是使用判定系数R2，R2等于回归线解释的y的离差平方和除以y的总离差平方和，取值范围在0≼R2≼1。当其等于0时，x与y没有任何关系；当其为1时，回归线是完全拟合的，即所有散点均落在回归线上；其越接近于1，回归线拟合得越好；5.回归方程的显著性检验。回归方程显著性检验是对因变量与自变量之间线性关系是否显著的一种检验。检验方法采用方差分析：F值等于平均的回归平方和与平均的残差平方和之比，对于一元线性回归方程来说：

6.对回归系数的显著性检验（t检验）。回归方程显著性检验是从总体上显示回归系数显著，如