2023-2024学年湘教版必修第一册 几种函数增长快慢的比较 课件（29张）

1.掌握常见增长函数的图象，并体会其增长快慢.2.比较几种函数增长速度的差异.课标要求素养要求体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象素养和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1三种常见函数模型的增长差异

函数

性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随k值而不同形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有kx<ax增长结果存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax点睛(1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δf＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δf＝f(x1)－f(x2).(2)平均变化率可正可负，也可为零.但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等.比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4].

1.思考辨析，判断正误 (1)对数函数y＝logax(a>1)中，a越大增长越快.()

提示

在对数函数y＝logax(a>1)中，a越小增长越快. (2)幂函数y＝xα(α>0)的增长比一次函数y＝kx＋b(k>0)要快的多.(

)

提示

幂函数y＝xα，当0<α<1时，幂函数的增长比一次函数要慢，当α>1时，幂函数的增长就比一次函数要快. (3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(

)

提示根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.×××2.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(

)A.0.40 B.0.41C.0.43 D.0.44解析

Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.B3.函数y＝x2与函数y＝lnx在区间(0，＋∞)上增长较快的是________.

解析

作出y＝x2与y＝lnx的图象，通过比较图象可得.y＝x2-24.函数y＝－2x＋1的平均变化率为________，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将___________个单位.∴自变量每增加一个单位，函数值将减小2个单位.减小2课堂互动题型剖析2题型一几种函数增长差异【例1】

(1)下列函数中，增长速度最快的是(

)A.y＝2021x B.y＝x2021C.y＝log2021x D.y＝2021x解析

比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.A(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________.y2解析

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若x＞x0，有logax＜xn＜ax.思维升华【训练1】

当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

)D题型二根据图象判断函数的增长速度【例2】

函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函

数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2021)，g(2021)的大小.解

(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2021>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2021)>g(2021).又因为g(2021)>g(6)，所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.思维升华【训练2】

函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).1.由指数函数、幂函数、对数函数的图象变化，比较其增长快慢、提升数学抽象素养和直观想象素养.2.指数函数y＝ax(a>1)中a越大增长越快，而y＝logax(a>1)中a越小增长越快，y＝xα中，α>0时，α越大增长越快.3.当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大，只要自变量足够大幂函数的增长就比一次函数快得多.

课堂小结分层训练素养提升3一、选择题1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(

)解析

指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A.A2.下列函数中，增长速度最慢的是(

)A.y＝6x B.y＝log6xC.y＝x6 D.y＝6x解析对数函数增长的越来越慢，故选B.B3.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为(

)B解析∵v1＜v2，∴前半段路程用的时间长.4.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2021年的湖水量为m，从2021年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(

)C解析设每年湖水量为上一年的q%，5.当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(

) A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2x C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x

解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.

法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.B二、填空题6.函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.y＝x2解析

当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快.7.三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：y3x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.y2y1解析根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化.e6－1三、解答题(1)求出V关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.∴一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.10.有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽植