函数的单调性奇偶性及周期性知识点及试题

函数的性质知识要点函数的奇偶性1．定义：如果对于函数f(*)定义域的任意*都有f(－*)=－f(*)，则称f(*)为奇函数；如果对于函数f(*)定义域的任意*都有f(－*)=f(*)，则称f(*)为偶函数。如果函数f(*)不具有上述性质，则f(*)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(*)既是奇函数，又是偶函数。注意：〔1〕函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；〔2〕由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个*，则－*也一定是定义域的一个自变量〔即定义域关于原点对称〕。2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：〔1〕首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；〔2〕确定f(－*)与f(*)的关系；〔3〕作出相应结论：假设f(－*)=f(*)或f(－*)－f(*)=0，则f(*)是偶函数；假设f(－*)=－f(*)或f(－*)＋f(*)=0，则f(*)是奇函数。3．简单性质：〔1〕图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；〔2〕设f(*)，g(*)的定义域分别是D1，D2则在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇〔3〕任意一个定义域关于原点对称的函数均可写成一个奇函数与一个偶函数和的形式，则。奇偶函数图象的对称性(1)假设是偶函数，则的图象关于直线对称；(2)假设是奇函数，则的图象关于点中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：〔1〕函数是偶函数，函数是奇函数；〔2〕函数且是奇函数；〔3〕函数且是奇函数；〔4〕函数且是奇函数。二、函数的单调性1．定义：一般地，设函数y=f(*)的定义域为I， 如果对于定义域I的*个区间D的任意两个自变量*1，*2，当*1<*2时，都有f(*1)<f(*2)〔f(*1)>f(*2)〕，则就说f(*)在区间D上是增函数〔减函数〕；注意：〔1〕函数的单调性是在定义域的*个区间上的性质，是函数的局部性质；〔2〕必须是对于区间D的任意两个自变量*1，*2；当*1<*2时，总有f(*1)<f(*2)〔3〕函数单调性的两个等价形式：在给定区间上单调递增〔递减〕；在给定区间上单调递增〔递减〕。2．如果函数y=f(*)在*个区间上是增函数或是减函数，则就说函数y=f(*)在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间D叫做y=f(*)的单调区间。3．设复合函数y=f[g(*)]，其中u=g(*),A是y=f[g(*)]定义域的*个区间，B是映射g:*→u=g(*)的象集：①假设u=g(*)在A上是增〔或减〕函数，y=f(u)在B上也是增〔或减〕函数，则函数y=f[g(*)]在A上是增函数；②假设u=g(*)在A上是增〔或减〕函数，而y=f(u)在B上是减〔或增〕函数，则函数y=f[g(*)]在A上是减函数，简称“同增异减〞。4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(*)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：〔1〕任取*1，*2∈D，且*1<*2；〔2〕作差f(*1)－f(*2)；〔3〕变形〔通常是因式分解和配方〕；〔4〕定号〔即判断差f(*1)－f(*2)的正负〕；〔5〕下结论〔指出函数f(*)在给定的区间D上的单调性〕。5．简单性质〔1〕奇函数在其对称区间上的单调性一样；〔2〕偶函数在其对称区间上的单调性相反；〔3〕在公共定义域：增函数f(*)+增函数g(*)是增函数；减函数f(*)+减函数g(*)是减函数；增函数f(*)-减函数g(*)是增函数；减函数f(*)-增函数g(*)是减函数。三、函数的最值1．定义：最大值：一般地，设函数y=f(*)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的*∈I，都有f(*)≤M；②存在*0∈I，使得f(*0)=M。则，称M是函数y=f(*)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(*)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的*∈I，都有f(*)≥M；②存在*0∈I，使得f(*0)=M。则，称M是函数y=f(*)的最小值。注意：〔1〕函数最大〔小〕首先应该是*一个函数值，即存在*0∈I，使得f(*0)=M；〔2〕函数最大〔小〕应该是所有函数值中最大〔小〕的，即对于任意的*∈I，都有f(*)≤M〔f(*)≥M〕。2．利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值的方法：〔1〕利用二次函数的性质〔配方法〕求函数的最大〔小〕值；〔2〕利用图象求函数的最大〔小〕值；〔3〕利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值：如果函数y=f(*)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(*)在*=b处有最大值f(b);如果函数y=f(*)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(*)在*=b处有最小值f(b)；函数的单调性A组1．以下函数f(*)中，满足“对任意*1，*2∈(0，＋∞)，当*1<*2时，都有f(*1)>f(*2)〞的是________．①f(*)＝eq\f(1,*)②f(*)＝(*－1)2③f(*)＝e*④f(*)＝ln(*＋1)2．函数f(*)(*∈R)的图象如右图所示，则函数g(*)＝f(loga*)(0<a<1)的单调减区间是________．3．函数y＝eq\r(*－4)＋eq\r(15－3*)的值域是________．4．函数f(*)＝|e*＋eq\f(a,e*)|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值围是________．5．如果对于函数f(*)定义域任意的*，都有f(*)≥M(M为常数)，称M为f(*)的下界，下界M中的最大值叫做f(*)的下确界，以下函数中，有下确界的所有函数是________．①f(*)＝sin*；②f(*)＝lg*；③f(*)＝e*；④f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(*>0),0(*＝0),－1(*<－1)))6．函数f(*)＝*2，g(*)＝*－1.(1)假设存在*∈R使f(*)<b·g(*)，数b的取值围；(2)设F(*)＝f(*)－mg(*)＋1－m－m2，且|F(*)|在[0,1]上单调递增，数m的取值围.B组1．以下函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y＝－eq\f(1,*)②y＝－(*－1)③y＝*2－2④y＝－|*|2．假设函数f(*)＝log2(*2－a*＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值围是________．3．假设函数f(*)＝*＋eq\f(a,*)(a>0)在(eq\f(3,4)，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值围是________．4．定义在R上的偶函数f(*)，对任意*1，*2∈[0，＋∞)(*1≠*2)，有eq\f(f(*2)－f(*1),*2－*1)<0，则以下结论正确的选项是________．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)5．函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a*(*<0)，,(a－3)*＋4a(*≥0)))满足对任意*1≠*2，都有eq\f(f(*1)－f(*2),*1－*2)<0成立，则a的取值围是________．6．函数f(*)的图象是如以下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(*)＝f(*)·(*－1)，则函数g(*)的最大值为________．7．定义域在[－1,1]上的函数y＝f(*)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(coseq\r(*))的值域是________．8．f(*)＝log3*＋2，*∈[1,9]，则函数y＝[f(*)]2＋f(*2)的最大值是________．9．假设函数f(*)＝loga(2*2＋*)(a>0，a≠1)在区间(0，eq\f(1,2))恒有f(*)>0，则f(*)的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2(logeq\f(1,2)*)2－2logeq\f(1,2)*＋1的单调性．11．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(*)满足f(eq\f(*1,*2))＝f(*1)－f(*2)，且当*>1时，f(*)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(*)的单调性；(3)假设f(3)＝－1，解不等式f(|*|)<－2.12．：f(*)＝log3eq\f(*2＋a*＋b,*)，*∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(*)同时满足以下三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(*)的最小值是1.假设存在，求出a、b；假设不存在，说明理由．函数的性质A组1．设偶函数f(*)＝loga|*－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．2．定义在R上的函数f(*)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．3．定义在R上的奇函数f(*)满足f(*－4)＝－f(*)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．4．偶函数f(*)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2*－1)<f(eq\f(1,3))的*取值围是________．5．定义在R上的函数f(*)是偶函数，对*∈R，f(2＋*)＝f(2－*)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．6．函数y＝f(*)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(*)(－1≤*≤1)是奇函数，又知y＝f(*)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在*＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(*)，*∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(*)在[4,9]上的解析式．B组1．函数f(*)的定义域为R，假设f(*＋1)与f(*－1)都是奇函数，则以下结论正确的选项是________．①f(*)是偶函数②f(*)是奇函数③f(*)＝f(*＋2)④f(*＋3)是奇函数2．定义在R上的函数f(*)满足f(*)＝－f(*＋eq\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.3．f(*)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，假设将f(*)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.4．函数f(*)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(*)>0，假设f(－1)＝0，则关于*的不等式*f(*)<0的解集是________．5．函数f(*)是(－∞，＋∞)上的偶函数，假设对于*≥0，都有f(*＋2)＝f(*)，且当*∈[0,2)时，f(*)＝log2(*＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．6．函数f(*)是偶函数，并且对于定义域任意的*，满足f(*＋2)＝－eq\f(1,f(*))，假设当2<*<3时，f(*)＝*，则f(2009.5)＝________.7．定义在R上的函数f(*)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(*＋a)是偶函数，当*1<a，*2>a，且|*1－a|<|*2－a|时，则f(2a－*1)与f(*2)的大小关系为________．8．函数f(*)为R上的奇函数，当*≥0时，f(*)＝*(*＋1)．假设f(a)＝－2，则实数a＝________.9．定义在R上的奇函数f(*)满足f(*－4)＝－f(*)，且在区间[0,2]上是增函数．假设方程f(*)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根*1，*2，*3，*4，则*1＋*2＋*3＋*4＝________.10．f(*)是R上的奇函数，且当*∈(－∞，0)时，f(*)＝－*lg(2－*)，求f(*)的解析式．11．函数f(*)，当*，y∈R时，恒有f(*＋y)＝f(*)＋f(y)．(1)求证：f(*)是奇函数；(2)如果*∈R＋，f(*)<0，并且f(1)＝－eq\f(1,2)，试求f(*)在区间[－2,6]上的最值．12．函数f(*)的定义域为R，且满足f(*＋2)＝－f(*)．(1)求证：f(*)是周期函数；(2)假设f(*)为奇函数，且当0≤*≤1时，f(*)＝eq\f(1,2)*，求使f(*)＝－eq\f(1,2)在[0,2010]上的所有*的个数．例题1、函数的单调递增区间是______________．例题2、〔1〕函数是〔〕A、是偶函数但不是奇函数B、是奇函数但不是偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数也不是偶函数〔2〕.设，则对任意实数，是的A、充分必要条件B、充分而不必要条件C、必要而不充分条件D、既不充分也不必要条件〔3〕实数*、y满足，则_____．〔4〕〔R〕，且则a的值有〔〕A、个B、个C、个D、无数个例题3、〔2004复旦〕假设存在M，使任意〔D为函数的定义域〕，都有，则称函数有界.问函数在上是否有界？例题4、设，其中且．假设在区间上恒成立，求的取值围．课后精练为偶函数，为奇函数，其中为复数，则的值是______________.函数的最大值与最小值之差等于。解：，从而当时取最大值，当时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于3．函数解析：〔1〕∵f(*)在[1，+∞)上是增函数，令f(*1)<f(*2)∴log9(*1+8-)<log9(*2+8-)得*1+8-<*2+8-即〔*1-*2〕(1+)<0∵*1-*2<0∴1+>0,>-1,a>-*1*2，∵*2>*11∴欲使a>-*1*2恒成立，即〔-*1*2〕ma*=-1只要a≥-1〔-1应检验〕〔2〕欲使*≥1时，*+8->0恒成立f(*)=log9(*+8-)在上是增函数则只要当*=1时,*+8->0即可∴1+8-a>0∴a<9故所求a的围是4．设，假设且，以下结论中必定成立的是A、B、C、D、解析：答案D.5.设集合，映射使得对任意的，都有是奇数，则这样的映射的个数是〔A〕〔A〕45〔B〕27〔C〕15〔D〕11提示：当时，为奇数，则可取1、3、5，有3种取法；当时，为奇数，则可取1、3、5，有3种取法；当时，为奇数，则可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有个映射。6.设函数，它们的图象在轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是〔〕A、B、C、D、与的大小不确定提示：〔B〕。与的图象在轴上有公共点，∴.∵,,由题意,∴令,则∴在其定义域单调递减.由∵,∴当时,,即.7、设*∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(*,y)=(2y-1)sin*+(1-y)sin(1-y)*的最小值。[解]首先，当*∈[0,π],y∈[0,1]时，f(*,y)=(2y-1)sin*+(1-y)sin(1-y)*=(1-y)=(1-y)2*，令g(*)=,当时，因为cos*>0,tan*>*，所以；当时，因为cos*<0,tan*<0,*-tan*>0，所以；又因为g(*)在(0,π)上连续，所以g(*)在(0,π)上单调递减。又因为0<(1-y)*<*<π，所以g[(1-y)*]>g(*)，即，又因为，所以当*∈(0,π),y∈(0,1)时，f(*,y)>0.其次，当*=0时，f(*,y)=0；当*=π时，f(*,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.当y=1时，f(*,y)=-sin*+sin*=0；当y=1时，f(*,y)=sin*≥0.综上，当且仅当*=0或y=0或*=π且y=1时，f(*,y)取最小值0。8.设.记，，.证明：.【证明】〔１〕如果，则，。〔２〕如果，由题意，,.则①当时，〔〕.事实上，当时，,设时成立〔为*整数〕，则对，.②当时，〔〕.事实上，当时，,设时成立〔为*整数〕，则对，有.注意到当时,总有，即.从而有.由归纳法，推出。〔3〕当时，记，则对于任意，且。对于任意，,则。所以，。当时，，即。因此。综合〔１〕〔２〕〔３〕，我们有。9．f(*)在[1,)上单调递增，且对任意*,y[1,)，都有f(*y)f(*)f(y)成立，证明：存在常数k，使f(*)k*在*[1,)上成立．解析：设，则，以此类推，用数学归纳法不难证明对于，有。设，且，不妨设则，，对任意且*为无理数时，则必存在两个无限接近的有理数，使，由在上单调递增知，，即，由于，可以从*左右两侧无限接近，故。综上，存在常数，使得，在上成立。课后精练1.设函数，其中〔1〕求的取值围，使得函数在上是单调递减函数；〔2〕此单调性能否扩展到整个定义域上？〔3〕求解不等式解：〔1〕设，则设，则显然.∵,∴,∵,∴只需要,就能使在上是单调递减函数；〔2〕此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；〔3〕构造函数，由〔1〕知当时，是单调递增函数。∵，∴，∴，∴所求解集为.2.假设函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].解显然，二次函数在区间[a,b]上的最值与区间的取法有关，因此需要分情况进展讨论.〔1〕假设，则在区间[a,b]上单调递减，故，于是有解之得，即.〔2〕假设，则在区间[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，因此在处取最大值，在或处取最小值，故.由于，，故在处取最小值，即，解得，于是.〔3〕假设，则在区间[a,b]上单调递增，故，于是有由于方程的两根异号，故满足的区间不存在.综上所述，所求区间为[1，3]或.3．设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数，有成立，数列满足且〔1〕求的值；〔2〕假设不等式对一切均成立，求的最大值.参考答案第二节函数的单调性A组1．(2009年高考卷改编)以下函数f(*)中，满足“对任意*1，*2∈(0，＋∞)，当*1<*2时，都有f(*1)>f(*2)〞的是________．①f(*)＝eq\f(1,*)②f(*)＝(*－1)2③f(*)＝e*④f(*)＝ln(*＋1)解析：∵对任意的*1，*2∈(0，＋∞)，当*1<*2时，都有f(*1)>f(*2)，∴f(*)在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f(*)(*∈R)的图象如右图所示，则函数g(*)＝f(loga*)(0<a<1)的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y＝loga*为减函数，∴loga*∈[0，eq\f(1,2)]时，g(*)为减函数．由0≤loga*≤eq\f(1,2)eq\r(a)≤*≤1.答案：[eq\r(a)，1](或(eq\r(a)，1))3．函数y＝eq\r(*－4)＋eq\r(15－3*)的值域是________．解析：令*＝4＋sin2α，α∈[0，eq\f(π,2)]，y＝sinα＋eq\r(3)cosα＝2sin(α＋eq\f(π,3))，∴1≤y≤2.答案：[1,2]4．函数f(*)＝|e*＋eq\f(a,e*)|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值围__．解析：当a<0，且e*＋eq\f(a,e*)≥0时，只需满足e0＋eq\f(a,e0)≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(*)＝|e*|＝e*符合题意；当a>0时，f(*)＝e*＋eq\f(a,e*)，则满足f′(*)＝e*－eq\f(a,e*)≥0在*∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e2*)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.答案：－1≤a≤15．(原创题)如果对于函数f(*)定义域任意的*，都有f(*)≥M(M为常数)，称M为f(*)的下界，下界M中的最大值叫做f(*)的下确界，以下函数中，有下确界的所有函数是________．①f(*)＝sin*；②f(*)＝lg*；③f(*)＝e*；④f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(*>0),0(*＝0),－1(*<－1)))解析：∵sin*≥－1，∴f(*)＝sin*的下确界为－1，即f(*)＝sin*是有下确界的函数；∵f(*)＝lg*的值域为(－∞，＋∞)，∴f(*)＝lg*没有下确界；∴f(*)＝e*的值域为(0，＋∞)，∴f(*)＝e*的下确界为0，即f(*)＝e*是有下确界的函数；∵f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(*>0),0(*＝0),－1(*<－1)))的下确界为－1.∴f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1(*>0),0(*＝0),－1(*<－1)))是有下确界的函数．答案：①③④6．函数f(*)＝*2，g(*)＝*－1.(1)假设存在*∈R使f(*)<b·g(*)，数b的取值围；(2)设F(*)＝f(*)－mg(*)＋1－m－m2，且|F(*)|在[0,1]上单调递增，数m的取值围.解：(1)*∈R，f(*)<b·g(*)*∈R，*2－b*＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(*)＝*2－m*＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①当Δ≤0即－eq\f(2\r(5),5)≤m≤eq\f(2\r(5),5)时，则必需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)))－eq\f(2\r(5),5)≤m≤0.②当Δ>0即m<－eq\f(2\r(5),5)或m>eq\f(2\r(5),5)时，设方程F(*)＝0的根为*1，*2(*1<*2)，假设eq\f(m,2)≥1，则*1≤0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≥1,F(0)＝1－m2≤0))m≥2.假设eq\f(m,2)≤0，则*2≤0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤0,F(0)＝1－m2≥0))－1≤m<－eq\f(2\r(5),5).综上所述：－1≤m≤0或m≥2.B组1．(2010年东营模拟)以下函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y＝－eq\f(1,*)②y＝－(*－1)③y＝*2－2④y＝－|*|解析：由函数y＝－|*|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．假设函数f(*)＝log2(*2－a*＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值围是________．解析：令g(*)＝*2－a*＋3a，由题知g(*)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))∴－4<a≤4.答案：－4<a≤43．假设函数f(*)＝*＋eq\f(a,*)(a>0)在(eq\f(3,4)，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值围__．解析：∵f(*)＝*＋eq\f(a,*)(a>0)在(eq\r(a)，＋∞)上为增函数，∴eq\r(a)≤eq\f(3,4)，0<a≤eq\f(9,16).答案：(0，eq\f(9,16)]4．(2009年高考卷改编)定义在R上的偶函数f(*)，对任意*1，*2∈[0，＋∞)(*1≠*2)，有eq\f(f(*2)－f(*1),*2－*1)<0，则以下结论正确的选项是________．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由eq\f(f(*2)－f(*1),*2－*1)<0，得f(*)在*∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①5．(2010年模拟)函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a*(*<0)，,(a－3)*＋4a(*≥0)))满足对任意*1≠*2，都有eq\f(f(*1)－f(*2),*1－*2)<0成立，则a的取值围是________．解析：由题意知，f(*)为减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,a0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤eq\f(1,4).6．(2010年模拟)函数f(*)的图象是如以下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(*)＝f(*)·(*－1)，则函数g(*)的最大值为________．解析：g(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2*(*－1)(0≤*<1)，,(－*＋3)(*－1)(1≤*≤3)，))当0≤*<1时，最大值为0；当1≤*≤3时，在*＝2取得最大值1.答案：17．(2010年模拟)定义域在[－1,1]上的函数y＝f(*)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(coseq\r(*))的值域是________．解析：∵coseq\r(*)∈[－1,1]，函数y＝f(*)的值域为[－2,0]，∴y＝f(coseq\r(*))的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．f(*)＝log3*＋2，*∈[1,9]，则函数y＝[f(*)]2＋f(*2)的最大值是________．解析：∵函数y＝[f(*)]2＋f(*2)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤*≤9，,1≤*2≤9，))∴*∈[1,3]，令log3*＝t，t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，yma*＝13.答案：139．假设函数f(*)＝loga(2*2＋*)(a>0，a≠1)在区间(0，eq\f(1,2))恒有f(*)>0，则f(*)的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2*2＋*，当*∈(0，eq\f(1,2))时，μ∈(0,1)，而此时f(*)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(*＋eq\f(1,4))2－eq\f(1,8)，则减区间为(－∞，－eq\f(1,4))．而必然有2*2＋*>0，即*>0或*<－eq\f(1,2).∴f(*)的单调递增区间为(－∞，－eq\f(1,2))．答案：(－∞，－eq\f(1,2))10．试讨论函数y＝2(logeq\f(1,2)*)2－2logeq\f(1,2)*＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(*)＝logeq\f(1,2)*，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，则原函数y＝f[g(*)]是由g(*)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logeq\f(1,2)*在*∈(0，＋∞)是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)在u∈(－∞，eq\f(1,2))上是减函数，在u∈(eq\f(1,2)，＋∞)上是增函数．又u≤eq\f(1,2)，即logeq\f(1,2)*≤eq\f(1,2)，得*≥eq\f(\r(2),2)；u>eq\f(1,2)，得0<*<eq\f(\r(2),2).由此，从下表讨论复合函数y＝f[g(*)]的单调性：函数单调性(0，eq\f(\r(2),2))(eq\f(\r(2),2)，＋∞)u＝logeq\f(1,2)*f(u)＝2u2－2u＋1y＝2(logeq\f(1,2)*)2－2logeq\f(1,2)*＋1故函数y＝2(logeq\f(1,2)*)2－2logeq\f(1,2)*＋1在区间(0，eq\f(\r(2),2))上单调递减，在区间(eq\f(\r(2),2)，＋∞)上单调递增．11．(2010年**模拟)定义在区间(0，＋∞)上的函数f(*)满足f(eq\f(*1,*2))＝f(*1)－f(*2)，且当*>1时，f(*)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(*)的单调性；(3)假设f(3)＝－1，解不等式f(|*|)<－2.解：(1)令*1＝*2>0，代入得f(1)＝f(*1)－f(*1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取*1，*2∈(0，＋∞)，且*1>*2，则eq\f(*1,*2)>1，由于当*>1时，f(*)<0，所以f(eq\f(*1,*2))<0，即f(*1)－f(*2)<0，因此f(*1)<f(*2)，所以函数f(*)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(eq\f(*1,*2))＝f(*1)－f(*2)得f(eq\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(*)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f(|*|)<f(9)，得|*|>9，∴*>9或*<－9.因此不等式的解集为{*|*>9或*<－9}．12．：f(*)＝log3eq\f(*2＋a*＋b,*)，*∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(*)同时满足以下三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(*)的最小值是1.假设存在，求出a、b；假设不存在，说明理由．解：∵f(*)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴*＝1时，f(*)最小，log3eq\f(1＋a＋b,1)＝1.即a＋b＝2.设0＜*1＜*2≤1，则f(*1)＞f(*2)．即eq\f(*12＋a*1＋b,*1)＞eq\f(*22＋a*2＋b,*2)恒成立．由此得eq\f((*1－*2)(*1*2－b),*1*2)＞0恒成立．又∵*1－*2＜0，*1*2＞0，∴*1*2－b＜0恒成立，∴b≥1.设1≤*3＜*4，则f(*3)＜f(*4)恒成立．∴eq\f((*3－*4)(*3*4－b),*3*4)＜0恒成立．∵*3－*4＜0，*3*4＞0，∴*3*4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(*)同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f(*)＝loga|*－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________．解析：由f(*)为偶函数，知b＝0，∴f(*)＝loga|*|，又f(*)在(－∞，0)上单调递增，所以0<a<1,1<a＋1<2，则f(*)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)2．(2010年三校模拟)定义在R上的函数f(*)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(*)为奇函数，且*∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(*＋2)＝f(*)，令*＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：03．(2009年高考卷改编)定义在R上的奇函数f(*)满足f(*－4)＝－f(*)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．解析：因为f(*)满足f(*－4)＝－f(*)，所以f(*－8)＝f(*)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(*)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(*－4)＝－f(*)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(*)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)4．(2009年高考卷改编)偶函数f(*)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2*－1)<f(eq\f(1,3))的*取值围是________．解析：由于f(*)是偶函数，故f(*)＝f(|*|)，由f(|2*－1|)<f(eq\f(1,3))，再根据f(*)的单调性得|2*－1|<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<*<eq\f(2,3).答案：(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))5．(原创题)定义在R上的函数f(*)是偶函数，对*∈R，f(2＋*)＝f(2－*)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．解析：因为定义在R上的函数f(*)是偶函数，所以f(2＋*)＝f(2－*)＝f(*－2)，故函数f(*)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－26．函数y＝f(*)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(*)(－1≤*≤1)是奇函数，又知y＝f(*)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在*＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(*)，*∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(*)在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f(*)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵y＝f(*)(－1≤*≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.(2)当*∈[1,4]时，由题意可设f(*)＝a(*－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(*)＝2(*－2)2－5(1≤*≤4)．(3)∵y＝f(*)(－1≤*≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(*)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(*)＝k*(0≤*≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤*≤1时，f(*)＝－3*，从而当－1≤*<0时，f(*)＝－f(－*)＝－3*，故－1≤*≤1时，f(*)＝－3*.∴当4≤*≤6时，有－1≤*－5≤1，∴f(*)＝f(*－5)＝－3(*－5)＝－3*＋15.当6<*≤9时，1<*－5≤4，∴f(*)＝f(*－5)＝2[(*－5)－2]2－5＝2(*－7)2－5.∴f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3*＋15，4≤*≤6,2(*－7)2－5，6<*≤9)).B组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(*)的定义域为R，假设f(*＋1)与f(*－1)都是奇函数，则以下结论正确的选项是________．①f(*)是偶函数②f(*)是奇函数③f(*)＝f(*＋2)④f(*＋3)是奇函数解析：∵f(*＋1)与f(*－1)都是奇函数，∴f(－*＋1)＝－f(*＋1)，f(－*－1)＝－f(*－1)，∴函数f(*)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(*)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－*－1＋4)＝－f(*－1＋4)，f(－*＋3)＝－f(*＋3)，即f(*＋3)是奇函数．答案：④2．定义在R上的函数f(*)满足f(*)＝－f(*＋eq\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________.解析：f(*)＝－f(*＋eq\f(3,2))⇒f(*＋3)＝f(*)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：03．(2010年模拟)f(*)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，假设将f(*)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________.解析：f(*)是定义在R上的奇函数，所以f(－*)＝－f(*)，将f(*)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋*)＝－f(*)，即f(*＋2)＝－f(*)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：04．(2010年质检)函数f(*)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(*)>0，假设f(－1)＝0，则关于*的不等式*f(*)<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f′(*)>0，则在(0，＋∞)上f(*)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(*)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知*∈(－∞，－1)时，f(*)>0；*∈(－1,0)时，f(*)<0；*∈(0,1)时，f(*)<0；*∈(1，＋∞)时，f(*)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．5．(2009年高考卷改编)函数f(*)是(－∞，＋∞)上的偶函数，假设对于*≥0，都有f(*＋2)＝f(*)，且当*∈[0,2)时，f(*)＝log2(*＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．解析：∵f(*)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(*)在*≥0时f(*＋2)＝f(*)，∴f(*)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年模拟)函数f(*)是偶函数，并且对于定义域任意的*，满足f(*＋2)＝－eq\f(1,f(*))，假设当2<*<3时，f(*)＝*，则f(2009.5)＝________.解析：由f(*＋2)＝－eq\f(1,f(*))，可得f(*＋4)＝f(*)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(*)是偶函数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．(2010年质检)定义在R上的函数f(*)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(*＋a)是偶函数，当*1<a，*2>a，且|*1－a|<|*2－a|时，则f(2a－*1)与f(*2)的大小关系为________．解析：∵y＝f(*＋a)为偶函数，∴y＝f(*＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(*)的图象关于*＝a对称．又∵f(*)在(－∞，a]上是增函数，∴f(*)在[a，＋∞)上是减函数．当*1<a，*2>a，且|*1－a|<|*2－a|时，有a－*1<*2－a，即a<2a－*1<*2，∴f(2a－*1)>f(*2)．答案：f(2a－*1)>f(*2)8．函数f(*)为R上的奇函数，当*≥0时，f(*)＝*(*＋1)．假设f(a)＝－2，则实数a＝________.解析：当*≥0时，f(*)＝*(*＋1)>0，由f(*)为奇函数知*<0时，f(*)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－19．(2009年高考卷)定义在R上的奇函数f(*)满足f(*－4)＝－f(*)，且在区间[0,2]上是增函数．假设方程f(*)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根*1，*2，*3，*4，则*1＋*2＋*3＋*4＝________.解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(*－4)＝－f(*)，所以f(4－*)＝f(*)，因此，函数图象关于直线*＝2对称且f(0)＝0.由f(*－4)＝－f(*)知f(*－8)＝f(*)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(*)在区间[0,2]上是增函数，所以f(*)在区间[－2,0]上也是增函数，如下图，则方程f(*)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根*1，*2，*3，*4，不妨设*1＜*2＜*3＜*4.由对称性知*1＋*2＝－12，*3＋*4＝4，所以*1＋*2＋*3＋*4＝－12＋4＝－8.答案：-810．f(*)是R上的奇函数，且当*∈(－∞，0)时，f(*)＝－*lg(2－*)，求f(*)的解析式．解：∵f(*)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当*>0时，－*<0，由f(－*)＝*lg(2＋*)，∴－f(*)＝*lg(2＋*)，即f(*)＝－*lg(2＋*)(*>0)．∴f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－*lg(2－*)(*<0)，,－*lg(2＋*)(*≥0).))即f(*)＝－*lg(2＋|*|)(*∈R)．11．函数f(*)，当*，y∈R时，恒有f(*＋y)＝f(*)＋f(y)．(1)求证：f(*)是奇函数；(2)如果*∈R＋，f(*)<0，并且f(1)＝－eq\f(1,2)，试求f(*)在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(*＋y)＝f(*)＋f(y)，令y＝－*，∴f(0)＝f(*)＋f(－*)．令*＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(*)＋f(－*)＝0，得f(－*)＝－f(*)，∴f(*)为奇函数．(2)法一：设*，y∈R＋，∵f(*＋y)＝f(*)＋f(y)，∴f(*＋y)－f(*)＝f(y)．∵*∈R＋，f(*)<0，∴f(*＋y)－f(*)<0，∴f(*＋y)<f(*)．∵*＋y>*，∴f(*)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(*)为奇函数，f(0)＝0，∴f(*)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(*)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设*1<*2，且*1，*2∈R.则f(*2－*1)＝f[*2＋(－*1)]＝f(*2)＋f(－*1)＝f(*2)－f(*1)．∵*2－*1>0，∴f(*2－*1)<0.∴f(*2)－f(*1)<0.即f(*)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－eq\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(*)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．函数f(*)的定义域为R，且满足f(*＋2)＝－f(*)．(1)求证：f(*)是周期函数；(2)假设f(*)为奇函数，且当0≤*≤1时，f(*)＝eq\f(1,2)*，求使f(*)＝－eq\f(1,2)在[0,2010]上的所有*的个数．解：(1)证明：∵f(*＋2)＝－f(*)，∴f(*＋4)＝－f(*＋2)＝－[－f(*)]＝f(*)，∴f(*)是以4为周期的周期函数．(2)当0≤*≤1时，f(*)＝eq\f(1,2)*，设－1≤*≤0，则0≤－*≤1，∴f(－*)＝eq\f(1,2)(－*)＝－eq\f(1,2)*.∵f(*)是奇函数，∴f(－*)＝－f(*)，∴－f(*)＝－eq\f(1,2)*，即f(*)＝eq\f(1,2)*.故f(*)＝eq\f(1,2)*(－1≤*≤1)又设1<*<3，则－1<*－2<1，∴f(*－2)＝eq\f(1,2)(*－2)，又∵f(*－2)＝－f(2－*)＝－f[(－*)＋2]＝－[－f(－*)]＝－f(*)，∴－f(*)＝eq\f(1,2)(*－2)，∴f(*)＝－eq\f(1,2)(*－2)(1<*<3)．∴f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)*(－1≤*≤1),－\f(1,2)(*－2)(1<*<3)))由f(*)＝－eq\f(1,2)，解得*＝－1.∵f(*)是以4为周期的周期函数．故f(*)＝－eq\f(1,2)的所有*＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，则eq\f(1,4)≤n≤502eq\f(3,4)，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502个*使f(*)＝－eq\f(1,2).例题1、函数的单调递增区间是______________．解析：依题意有，令。例题2、〔1〕函数是〔〕A、是偶函数但不是奇函数B、是奇函数但不是偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数也不是偶函数解析：定义判断可得A〔2〕.设，则对任意实数，是的A、充分必要条件B、充分而不必要条件C、必要而不充分条件D、既不充分也不必要条件【解】【答】A。显然为奇函数，且单调递增。于是假设，则，有，即，从而有.反之，假设，则,推出，即。〔3〕实数*、y满足，则_____．解析：奇函数的定义可得15〔4〕〔R〕，且则a的值有〔〕A、个B、个C、个D、无数个解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有．所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.应选〔D〕．例题3、〔2004复旦〕假设存在M，使任意〔D为函数的定义域〕，都有，则称函数有界.问函数在上是否有界？解析：取.当时，，所以不是有界函数例题4、设，其中且．假设在区间上恒成立，求的取值围．解．由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增.〔1〕假设，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．结合得．〔2〕假设，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．易知，所以不符合．综上可知：的取值围为．例题5、〔2013〕设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.解析(Ⅰ)当时,,令,得,当变