高中数学 第二章 幂函数 新人教A版必修1课件

高中数学第二章幂函数新人教A版必修1学点一学点二学点三学点四学点五高中数学第二章幂函数新人教A版必修11.一般地,函数y=xa叫做

，其中x是自变量,a是常数.2.幂函数y=xa具有下面性质：（1）所有的幂函数在区间

上都有定义，并且函数图象都通过

点.（2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点

，并且在区间

上是增函数.（3）如果a<0，则幂函数在区间

上是减函数，当x从右边趋向于

时，图象在y轴右方无限地逼近

；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近

轴.幂函数(0,+∞)(1,1)(0,0)［0,+∞)(0,+∞)y轴y轴x高中数学第二章幂函数新人教A版必修13.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值范围分别为

，

，

.

4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限的形状及函数的

作出.(-∞,0)(1,+∞)(0,1)奇偶性高中数学第二章幂函数新人教A版必修1学点一幂函数的定义已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数).（1）当a为何值时，此函数为幂函数？（2）当a为何值时，此函数为正比例函数？（3）当a为何值时，此函数为反比例函数？【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义可求.【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0,∴a=.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1（2）由题意得a2-5a+5=1a2-3a+2≠0,（3）由题意得a2-5a+5=-1a2-3a+2≠0,【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有利于温故知新.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1已知幂函数f(x)=(k∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式.由已知

>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)=不是偶函数；当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时，f(x)=不是偶函数,∴f(x)=x2.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1学点二比较大小比较下列各组数的大小：（1）和;（2）和;（3）和.【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1【解析】（1）函数y=3在(0,+∞)上为减函数，又3<3.1，所以.（2），函数y=在(0,+∞)上为增函数，又因为,则，从而.（3），函数y=在(0,+∞)上为减函数，又因为,所以【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进行分组，常数0和1是常用的参数.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1比较大小:(1);(2)与;(3)(a-1)π与（其中a>b>0）;(4)（1）∵,且>1,6.3>6.2,∴与实际上是幂函数y=x在x=6.3与x=6.2的函数值，根据幂函数的性质知函数y=x(x>0)是增函数，即(6.3)>(6.2),∴(-6.3)>(-6.2).高中数学第二章幂函数新人教A版必修1（2），而，则,∴（3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π,∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1.（4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的，∵,∵函数y=在(0,+∞)上是递增的，又

综上，.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1学点三奇偶性的判定【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义.

【解析】

（1）∵f(-x)=（-x）=-x=-f(x)，又∵定义域为R,∴y=x为奇函数.（2）f(x)=x,定义域为R，且f(-x)=(-x)=［(-x)2］=x为偶函数.（3）∵f(x)=x-2=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又∵f(-x)==f(x),∴f(x)为偶函数.判断下列函数的奇偶性高中数学第二章幂函数新人教A版必修1（4）∵f(x)==的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数.（5）∵f(x)===,∴f(x)的定义域为(0,+∞).∴f(x)为非奇非偶函数.【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式，确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特征来判断.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1（1）y==,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,为非奇非偶函数.（2）y=,∴x>0,∴定义域(0,+∞)不关于原点对称，为非奇非偶函数.（3）y=,∴x∈R,∴满足f(-x)=f(x),f(x)为R上的偶函数.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1学点四幂函数的单调性证明：幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.【分析】由函数单调性定义作出证明.【证明】任取x1,x2∈［0,+∞)，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=因为x1-x2<0,>0,所以f(x1)<f(x2)，即幂函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.【评析】在证明函数的单调性时，既可以用作差的方法，也可以用作商的方法，都可以证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1已知函数f(x)=-xm,且f(4)=-.（1）求m的值；（2）判断f(x)在(0,+∞)上的单调性.(1)f(4)=-4m=-72,即4m=4,∴m=1.∴f(x)=-x.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-x1-(-x2)=(-)-(x1-x2)=-(x1-x2)=∵x2-x1>0,x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1学点五幂函数的简单应用（1）已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的取值范围；（2）已知x>x，求x的取值范围.【分析】根据幂函数图象、单调性比较大小.【解析】（1）∵根据幂函数y=x1.3的图象知当0<x<1时，0<y<1,∴0<0.71.3<1，又∵根据幂函数y=x0.7的图象知当x>1时,y>1，∴1.30.7>1,于是有0.71.3<1.30.7,考查幂函数y=xm，由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,当x>0时，随着x增大，函数值也增大，∴m>0.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1（2）∵函数y=x与y=x的定义域都是R，y=x的图象分布在第一、二象限；y=x的图象分布在第一、三象限.∴当x∈(-∞,0)时，x>x;当x=0时，显然不合题意；当x∈(0,+∞)时，x>0,x>0,=x>1,∴x>1.即x>1时，x>x.综上所述，满足条件的x的取值范围为{x|x<0或x>1}.【评析】由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象与单调性的考查.高中数学第二章幂函数新人教A版必修1已知幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上,函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围.根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求a的取值范围.∵函数在(0,+∞)上递减，∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.又∵m∈N*,∴m=1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2-2m-3为偶数，故m=1,∴有(a+1)<(3-2a).又∵y=x在(-∞,0),(0,+∞)上均递减，∴a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或3-2a>0>a+1,解得<a<或a<-1.高中数学第二章幂函数新人教A版必修11.学习幂函数时，应注意什么问题？（1）并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=x+1,y=x2-2x都不是幂函数.（2）求幂函数的定义域时，可分四种情况：一是α为正整数；二是α为正分数；三是α为负整数；四是α为负分数.2.如何更好地掌握幂函数的图象与性质？要想更好地掌握幂函数的图象与性质，首先必须熟练地掌握幂函数在第一象限的图象与性质，其次掌握幂函数的奇偶性，这样幂函数的图象由对称性即可确定其完整图形，则其性质即可由图象得到.高中数学第二章幂函数新人教A版必修11.把握好幂函数定义的结构特点幂函数定义仍是结构定义，其特点是xα的系数为1，底数是自变量x的系数为1的单项式.2.幂函数定义域的求法幂函数的定