幂函数零点与函数的应用 幂函数

板块一.幂函数板块一.幂函数典例分析典例分析题型一：幂函数的定义下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A． B． C． D．【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无形如的函数叫做幂函数，答案为B．【答案】B11．函数的定义域是.【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空【核心词】无【答案】如果幂函数的图象通过点，则的值等于（）.A.16B.2C.D.【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无【答案】D幂函数的图象过点，则的值为.【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空【核心词】无【答案】下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）.A.B.C.D.【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无【答案】B下列命题中对的的是 （）A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都通过（0，0）和（1，1）点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无A错，当时函数的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B错，如幂函数的图象但是点（0，0）；C错，如幂函数在定义域上不是增函数；D对的，当时，．【答案】D函数是幂函数，求的值.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无幂函数需要确保系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，能够得到有关m的等式和不等式，从而解出m的值.∵是幂函数，∴函数能够写成以下形式(是有理数)∴，解得当时，时，∴的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检查是有理数.【答案】-1或2求函数的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要确保每一种函数都故意义，即分母不为0、被开方数不不大于等于0.使函数故意义，则必须满足，解得：且即函数的定义域为.【答案】函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范畴是（）．Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且．解得．故选（Ｂ）【答案】Ｂ讨论幂函数(a为有理数)的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无(1)若，则，这是函数的定义域为.(2)若{负整数}，则，这时函数的定义域是(3)若，则：①是偶数，，这是函数的定义域是；②是奇数，，这时函数的定义域为(4)若，则：①是偶数，，这是函数的定义域是；②是奇数，，这时函数的定义域是.【答案】(1)若，则，这是函数的定义域为.(2)若{负整数}，则，这时函数的定义域是(3)若，则：①是偶数，，这是函数的定义域是；②是奇数，，这时函数的定义域为(4)若，则：①是偶数，，这是函数的定义域是；②是奇数，，这时函数的定义域是.已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象有关y轴对称，求的值．【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无∵幂函数图象与、轴都没有公共点，∴，解得.又∵的图象有关y轴对称，∴为偶数，即得.【答案】幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无∵是幂函数，∴，解得.当时，是奇函数，不合题意；当时；是偶函数，在上为增函数；当时；是偶函数，在上为增函数.因此，或.【答案】或.已知幂函数的图形与轴对称，轴无交点，且有关轴对称，试拟定的解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无由得和时解析式为，是解析式为【答案】题型二：幂函数的性质与应用下列函数在区间上是增函数的是（）.A.B.C.D.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无【答案】B下列函数中既是偶函数又是上是增函数的是（）A．B．C．D．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无A、D中的函数为偶函数，但A中函数在为减函数．【答案】C是偶函数，且在是减函数，则整数的值是.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】填空【核心词】无【答案】5；比较下列各组中两个值大小（1）与（2）【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】解答【核心词】无（1）∵函数在上是增函数且∴（2）函数在上增函数且∵∴，即【答案】（1）（2）幂函数（互质）图象在一、二象限，但是原点，则的奇偶性为.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【核心词】无【答案】为奇数，是偶数；求证：函数在R上为奇函数且为增函数.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无【答案】显然，奇函数；令，则，其中，显然，=，由于，，且不能同时为0，否则，故.从而.因此该函数为增函数.设，，c，则（）.A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无【答案】B比较下列各组数的大小：；；.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【核心词】无【答案】>,≤,<,（1）若，比较的大小；（2）若，比较的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无（1）当时，幂函数在上单调减，∵，∴．（2）当时，，指数函数在上单调减，∵，∴，∴，∴【答案】（1）（2）函数在区间上的最大值是 （）A． B． C． D．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无函数在区间上单调减，当时，．【答案】C函数的单调递减区间是【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【核心词】无由得：，∵函数在上为增函数，函数在上为减函数，故所给函数的单调减区间为．【答案】函数，满足 （）A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无【答案】C已知幂函数的图象过点，试讨论其单调性.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无设，代入点，得，解得，因此，在R上单调递增.【答案】R上单调递增对于幂函数，若，则，大小关系是（）A．B．C．D．无法拟定【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无【答案】A已知0＜a＜1，试比较的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无本题考察的是幂函数的单调性知识，这里三个体现式的底数和幂都分别不同，因此需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较与的大小，将它们当作指数相似的两个幂，由于幂函数在区间上是增函数，因此只须比较底数a与的大小，由于指数函数(0＜＜1)为减函数，且1>，因此，从而.比较与的大小，也能够将它们当作底数相似(都是aα)的两个幂，于是能够运用指数函数是减函数，由于1>，得到.

由于，函数(0＜＜1)是减函数，因此.综上，【点评】解答本题的核心都在于适宜地选用一种函数，函数选得恰当，问题能够顺利地获得解决..【答案】已知，求的取值范畴.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无在、上是减函数，对于不同的a+1和3-2a进行讨论，将它们等价转化到同一种单调区间..∵和是幂函数的两个函数值，且在、上是减函数当时，有，解得；当时，有，此时无解当时，有且，解得综上可知的取值范畴为.【答案】.若，试求实数m的取值范畴．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无（分类讨论）：（1）解得；（2）此时无解；（3），解得．综上可得．【答案】若，试求实数m的取值范畴．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无（运用单调性）：由于函数在上单调递增，因此，解得．【答案】若，试求实数m的取值范畴．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无由图3，，解得．【答案】若，试求实数m的取值范畴．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无作出幂函数的图象如图4．由图象知此函数在上不含有单调性，若分类讨论环节较繁，把问题转化到一种单调区间上是核心．考虑时，．于是有，即．.又∵幂函数在上单调递增，∴，解得，或m＞4．【答案】，或m＞4已知函数，设函数，问与否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请阐明理由．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】3星 【题型】解答【核心词】无∵，则．假设存在实数，使得满足题设条件，设，则．若，易知，，要使在上是减函数，则应有恒成立．∵，，∴．而，∴.．从而要使恒成立，则有，即．若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立．∵，，∴，而，∴．要使恒成立，则必有，即．综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．【答案】存在，由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a,b均为正常数，且a<10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】3星 【题型】解答【核心词】无设原定价A元，卖出B个，则现在定价为A()，现在卖出个数为，现在售货金额为，应交税款为，剩余款为，因此时y最大要使y最大，x的值为.【答案】题型三：幂函数的图像函数和图象满足 （）A．有关原点对称 B．有关轴对称C．有关轴对称 D．有关直线对称【考点】幂函数的图像 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无【答案】D函数的图象是（）【考点】幂函数的图像 【难度】1星 【题型】选择【核心词】无【答案】A幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（）.A．B．C．D．【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线的右侧，图象由下至上，依次是，，，，，因此有.选B.点评：观察第一象限内直线的右侧，结合所记忆的分布规律.注意比较两个隐含的图象与.【答案】B.【答案】如图1—9所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（）A．B．C．D．【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无【答案】D下图为幂函数在第一象限的图象，则按由小到大的次序排列为。【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无【答案】如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，四个值，与曲线、、、对应的依次为（）.A． B.C. D.【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择【核心词】无【答案】A下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】解答【核心词】无（1）定义域为，非奇非偶函数，在上为增函数，对应图（A）；（2）定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F）；（3）定义域为R，偶函数，在上为增函数，对应图（E）；（4