2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）解析

绝密★启用前

2021年湖南省娄底市中考数学仿真模拟试卷（一）

学校：姓名：班级：考号：

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中,

只有一个选项是符合题目要求的）

1.2021的相反数是（）

A.-2021B.———C.2021

20212021

答案：A

相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可.

解：2021的相反数是-2021.

故选：A.

点评：本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键.

2.下列计算正确是（）

A.a*a=aB.（x+y）2=x+y

C.（a-?a2）2=a6D.（-3灯）'=9"

答案：C

根据同底数幕的乘法法则可判断4利用完全平方公式可判断反利用同底数基的除法，暴的乘方

法则可判断C,利用积的乘方法则可判断〃即可.

解：尔才・才=4#才，故选项力计算错误，不合题意；

B、（户y）2=/+6+2灯W/+/,故选项8计算错误，不合题意；

3

C、（才+才）2=（a）2=/，故选项C计算正确，符合题意；

D、（-3打）2=9//工9**，故选项〃计算错误，不合题意；

故选：C.

点评：本题考查同底数幕的乘法法则，完全平方公式，同底数幕的除法，暴的乘方法则，积的乘方

法则，掌握同底数累的乘法法则，完全平方公式，同底数事的除法，幕的乘方法则，积的乘方法则

是解题关键.

3.入冬以来，全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通

风”.一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）

A.7.5X1Q4B.7.5X105C.7.5X1O8D.7.5X1()9

答案：c

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为aX10",其中lW|a|<10,〃为整数，据此判断即可.

解：75000万=750000000=7.5X1（）8.

故选：C.

点评：本题考查了科学记数法，把带有单位的数还原为纯数是解题的关键.

4.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A0"@

答案：D

根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图

形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案.

解：/、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

a不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

久是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

点评：本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键.

5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中

去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字

特征是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

答案：B

根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案.

根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，

故选B.

点评：此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义

5k-

6.己知点6）在反比例函数y=-的图象上，点材（-力，a）在反比例函数y二—的图象

XX

上，则攵的值为（）

A.-5B.5C.-D.无法确定

答案：B

点、P（a,在反比例函数尸-』的图象上，求出油=-5,即可得到仁-M?=5.

x

解：b）在反比例函数尸-―』的图象上，

X

ab=-5,

k

•点"（-。，a）在反比例函数y=一图象上，

X

k=-ba=-a6=5.

故选：B.

点评：本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握反比例函数4与图像上点的坐标的关系，灵

活运用整体思想求解是解题的关键.

7.下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

答案：D

根据正方形的各种判定方法逐项分析即可.

解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；

对角线相等的菱形是正方形，正确；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

可知选项D是错误的.

故选：D.

点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的

真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

8.关于x的分式方程-^=1有增根，则加的值（）

x-22-x

A.m=2B.m=lC.m=3D.m=-3

答案：D

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出力的值即可.

解：去分母得：研3=x-2,

由分式方程有增根，得到x-2=0,即户2,

把x=2代入整式方程得：研3=0,

解得：m=-3,

故选：D.

点评：此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②

把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

5x+2>3（x-l）

9.满足不等式组113的非负整数解的个数为（）

—x-1<7——x

122

A.4B.5C.6D.7

答案：B

分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解的个

数.

5x+2>3（x-1）①

解：h3o

122

解不等式①得：x>-2.5,

解不等式②得：xW4,

不等式组的解集为：-2.5VxW4,

不等式组的所有非负整数解是：0,1,2,3,4,

所以非负整数解的个数为5个，

故选：B.

点评：本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，

确定不等式组的解集及其非负整数解是关键.

10.已知正比例函数y=W*O）的图象过点（2,3）,把正比例函数y=kx*w0）的图象平移，

使它过点则平移后的函数图象大致是（）

先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，即可求解.

解：把点（2,3）代入丁=辰伏。0）得2左=3

解得

2

3

正比例函数解析式为y=

3

设正比例函数平移后函数解析式为y=^x+b,

把点（1,一1）代入）=+b得（+〃=—L

故选：D

点评：本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平

移后一次函数解析式是解题关键.

11.如图，等边三角形ABC内接于0。，若。。的半径为2,则图中阴影部分的面积等于（）

47

C.—D.27r

3

连接0C,如图，利用等边三角形的性质得/AOC=120°,5/。8=川4℃，然后根据扇形的面积

公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形AOC进行计算.

解：连接0C,如图，

•.•△ABC为等边三角形，

/.^AOC=120°>SAAO6=SAAOC，

•••图中阴影部分的面积=S^.oc='2015=2]=&》

扇形3603

4

故选C.

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心•也考查了等边三角形的性质.

12.抛物线尸一V+6户3的对称轴为直线户一1.若关于x的一元二次方程一户①+37=0（t

为实数）在-2Vx<3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）

A.-12V/W3B,-12<i<4C.-12<力W4D.-12<t<3

答案：C

根据给出的对称轴求出函数解析式为y=-x2-2x+3,将一元二次方程-x'+bx+3T=0的实数根

看做是y=-x2^x+3与函数y=t的交点，再由-2<x<3确定y的取值范围即可求解.

解：：y=—（+bx+3的对称轴为直线x=-l,

；.b=2

y=-X2-2X+3,

一元二次方程-x?+bx+3T=0的实数根可以看做是y=-x2-2x+3与函数y=t的交点，

,当x=-l时，y=4；当x=3时，y=-12,

•••函数y=-x2-2x+3在-2Vx<3的范围内一12VyW4,

；.-12<tW4,

故选C.

点评：本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问

题是解题关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13.关于X的一元二次方程f+/我一5=0有一根是x=—1，则另外一根是.

答案：5

根据根与系数的关系作答即可.

解：设方程的另一根为X2,则T・X2=-5.

故X2=5.

故答案是：5.

点评：此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax、bx+c=O(aWO)的根与系数的关系为:

bc

Xi+x=----，X|*X=—.

2a2a

14.如图，在正五边形?!阅定中，例/是边切的延长线，连接劭，则/做1/的度数是.

CDM

答案：144°.

根据正五边形的性质和内角和为540。，求得每个内角的度数为108°,再结合等腰三角形和邻补

角的定义即可解答.

解：•..五边形/比如是正五边形，

.(5-2)-180°_

・・z_C---------------lUo,BC=DC,

5

180-108°

：.ABDC==36°，

2

薇Q180°-36°=144°,

故答案为：144°.

点评：本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正

五边形的内角是解题关键.

15.如图，在中，4c8=90°,NABC的平分线劭交4c于点、/),已知4C=3,AD=2,则点

〃到48边的距离为.

D

答案：1

过〃作DEUB于点E,

根据角平分线的性质得到DE=DC,再求出DC即可得到答案.

解：如图，过〃作班上熊于点发

VZACB=90°,

:.DC1BC,

■:BD平分乙ABC,

：.DE^DC,

'：AC=3,AD=2,

.,.GP=3-2=1,

:.DE=\,

故答案为：L

点评：此题考查角平分线的性质定理，角平分线的性质定理在运用时需将角平分线与两个垂直一起

运用.

16.如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是g,当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是

根据题意，列出表格，结合概率公式求概率即可.

解：列表如下

灯泡1发光灯泡1不发光

灯泡2发光（发光，发光）（不发光，发光）

灯泡2不发光（发光，不发光）（不发光，不发光）

共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的可能有3种

3

.•.至少有一个灯泡发光的概率是3+4=—

4

3

故答案为：—.

4

点评：此题考查的是求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键.

17.观察下列图形:

★

★★

★*★

*★★★

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

★*★★

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

它们是按一定规律排列的,依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第个图形.

答案：2021

把每个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前

一个图形多一个，据此规律找出第〃个图形五角星的个数为：1+3〃，据此求解即可.

解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4,

第2个图形五角星的个数是：1+3X2=7,

第3个图形五角星的个数是：1+3X3=10,

第4个图形五角星的个数是：1+3X4=13,

第"个图形五角星的个数是:1+3・〃=1+3〃,

6064-1

-----------=2021,

3

•••用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形,

故答案为:2021.

点评：本题考查的是图形的规律探究，掌握从具体到一般的探究方法是解题的关键.

/八、tana+tanB

18.已知tan(a+0=；------------------tan2a即。（其中a和£都表示角度），比如求

1-tana•tanp1-tan-a

tan105°,可利用公式得tanl050=tan(60°+45°)=，^=—V^—2,又如求tan120。，可利

2Xr~

用公式得tanl20°=tan(2x60°)=—差千=-请你结合材料，tan/12o°+

(X为锐角)，则4的度数是.

答案：30°

设tan2=x,先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的

正切函数值即可得出答案.

设tan丸二x

,皿上，口/sc。八tan120°+tan2

由题意得：tan(120°+A)=--------------

1-tan120°tanA

•.ttan120°=-V3,tanA=x,tan(l20°+%)=—一—

.—\/3+x>/3

1+y/3x3

解得

3

经检验，x=2叵是分式方程的根

3

即tanA=——

3

Q/l为锐角

.-./I=30°

故答案为：30°.

点评：本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键.

三.解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)

19.计算：(-1)-2+2COS30O-11-61+(4—2020)°.

答案：6

直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数基的性质以及绝对值的性质、零指数幕的性质分别化简

得出答案.

解：原式=4+2义-1)+1

2

=4+6-yfi+1+1

=6

点评：本题考查了负整数指数幕，特殊角的三角函数，零指数累，绝对值，熟练掌握各种运算的基

本要领是解题的关键.

2ci—2a—2

20.先化简，再求值：一--一，并在-1,1,2,3这四个数中取一个合适的

ci+1a~—\a—26z+1

数作为a的值代入求值.

a—3

答案：------，0

a+1

根据分式的运算法则，因式分解，约分，通分进行化简，然后将符合题意的a值代入原式即可求出

答案.

的T2«-2—1）2

解：原15式=-------------------•-------

4+1（。-1）（。+1）（。一2）

2a-l

。+1Q+1

a—3

。+1'

V5+l^O,（a+1）（5-1）云0,a-2H0,

**•,aW1,aW2,

故a=3,

当a=3时，原式=一^--=0.

3+1

点评：本题考查了分式的运算，分式有意义的条件，熟练掌握分式运算法则，灵活运用因式分解，

约分，通分等计算技巧，准确确定字母的取值是解题的关键.

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分

学生进行调查.调查结果分为四类：A类一非常了解；B类一比较了解；C一一般了解；D类一不了

解.现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次共调查了_____名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)D类所对应扇形的圆心角的大小为；

(4)若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知

识非常了解的约有名.

答案：(1)50名；(2)条形图见解析；(3)36°；(4)150名.

(1)根据条形图和扇形图得出B类人数为20名，占40%,即可得出总数；

(2)根据总人数减去A,B,D的人数即可得出C的人数；

(3)用3600乘以D类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；

(4)用500乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案.

(1)本次共调查的学生数为：20+40%=50名；

(2)C类学生人数为：50-15-20-5=10名,条形图如下：

t学生数/名

25

(3)D类所对应扇形的圆心角为：360°x^=36°；

(4)该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：500x^=150名.

点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图，根据图得出相关信息是解题的关键.

22.如图，小岛。和。都在码头。的正北方向上，它们之间距离为6.4km,一艘渔船自西向东匀

速航行，行驶到位于码头。的正西方向A处时，测得NC4O=26.5°,渔船速度为28km/h,经

过0.2h,渔船行驶到了B处，测得"30=49°,求渔船在8处时距离码头。有多远？(结果精

确到0.1km)

(参考数据：sin26.50之0.45,cos26.5°«0.89,tan26.5°«0.50,sin49°«0.75,

cos49°«0.66,tan49°«1.15)

答案：14.2km.

根据题意，可求出AB=5.6械BO=》反，则可得AO=(5.6+x)痴，在MABQD中利用三角函

数可得DO=1.15x,所以C。=(L15x-6.4)km,然后在Rt^CAO中，根据三角函数列出关于x的

方程，解方程即可得出答案.

解：依题可得，AB=28x0.2=5.6km,

设BO=xkm,则AO=(5.6+%)km,

在RtABOD中,

・・・NZ〉3O=49。，

tanNDBO=—

BO

X

DO=\A5x,

,/CD=6.4km,

：.CO=(1.15x-6.4)km,

在中,

•.•NC4O=26.5。，

CO

tanZCAO=—,

AO

八”1.15x-6.4

0.50=-------------

5.6+x

解得：Xa14.2

即渔船在B处时距离码头0约14.2km.

点评：本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题目所给的已知条件，先找出要用到的直角三角形,

然后再逐一去分析，需要设未知数的一般求谁设谁，或者选择计算量较小的线段设为未知数，注意

题目要求的精确度.

五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

23.随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促

销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折

前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽

子需要5200元.

(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节

省了多少钱？

答案：(1)打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.(2)打折后购买这批粽子比不

打折节省了3640元.

(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和

3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可

得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数.

(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根据题意得：

J6x+3y=600

50x0.8x+40x0.75y=5200)

尸40

解得:

y=120

答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元.

(2)80X40+100X120-80X0.8X40-100X0.75X120=3640(元).

答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元.

点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次

方程组；(2)根据数量关系，列式计算.

24.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E是AD的中点，点F,G在AB上，EF1AB,0G//EF.

(1)求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若AD=10,EF=4,求0E和BG长.

答案：(1)见解析：(2)0E=5,BG=2.

(1)先证明E0是ADAB中位线，再结合已知条件OG〃EF,得到四边形OEFG是平行四边形，再由

条件EFLAB,得到四边形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5,由勾股定理进而得到AF=3,再由中位线定理得到OE=gAB=gAD=5,得到FG=5,

最后BG=AB-AF-FG=2.

解：(1)证明：；四边形ABCD菱形,

...点0为BD的中点，

•.•点E为AD中点，

AOE为△ABD的中位线，

，OE〃FG,

：OG〃EF,.•.四边形OEFG为平行四边形

：EF，AB,...平行四边形OEFG为矩形.

⑵：点E为AD的中点，AD=10,

.,.AE=-AZ)=5

2

ZEFA=90",EF=4,

在RtAAEF中，AF=\JAE2-EF2=A/52-42=3.

•.•四边形ABCD为菱形，

.".AB=AD=10,

1

.,.0E=—AB=5,

2

•.•四边形OEFG为矩形,

.•.FG=0E=5,

BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.

故答案为:0E=5,BG=2.

点评：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定

属于中考常考题型，需要重点掌握.

六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

25.已知，如图，AB是。0的直径，点C为。。上一点，OE，AC于点F,交。0于点E,AC交

BE于点H,点D为OE延长线上的一点，且NODA=NBEC.

(1)求证：AD是00的切线；

(2)求证：CE?=EH-BE;

4

(3)若。。的半径为5,cosZABE=-,求AH的长.

答案：(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)—

2

(1)根据=ZBEC=ZBAC,得N84=ZS4C,由OR_LAC,可证NO4D=90°，

即有仞AD是。。的切线；

(2)连接BC,如图2所示，利用OfLAC得到N4CE=@C,易证△CEB^A/TEC,利用相似

比，则有OE?=团.跳；；

4

(3)连接AE,如图3所示，利用。。的半径为5,cosZAB£=-,得AE=6,CE=AE=6,由

9_________

CE?=EH,BE，可得EH=鼻,在RtABEH中，根据A”=〃炉+月炉,计算即可.

(1)证明：•••NODA=ZBEC,ZBEC=ZBACf

.\ZODA=ZBACf

•/OFIAC,

:.ZAFD=90°,

.・.N84+NZMF=90°,

ZBAC+ZDAF=9(r,

即ZOAD=90°,

:.AD.LOA,

.・.AT)是OO的切线；

(2)证明：连接3C,如图2所示：

vOF±AC,

二AE=CE，

/.ZACE=ZEBCf

・.・/CEB=〃EC,

s.^CEB^^HEC,

.CEHE

,,__——，

EBEC

•••CE1=EHBE；

(3)解：连接AE,如图3所示:

QAB是。。的直径,

:.ZAEB=9G°,

4

的半径为5,cosZABE=-,

4

.'.AB=10,BE=AB-cosAABE=10x-=8,

AE=siAB2-BE2=V102-82=6，

AE=CE>

.\CE=AE=6,

CE2=EH-BE，

e,CE2629

EH=-----=—=一,

BE82

在RtAAHE中，AH=AE。+EH。=J6。+(g)=-y-.

点评：本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、

三角函数等性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题.

26.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线^=0^+陵+武。力0)的顶点坐标为。(3,6),并

与y轴交于点3(0,3),点A是对称轴与X轴的交点.

(D求抛物线的解析式；

(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求AABP的面积的最大

值；

⑶如图②所示，在对称轴AC的右侧作NACO=30°交抛物线于点。，求出。点的坐标;并探究:

在y轴上是否存在点。，使NCQO=60。？若存在，求点。的坐标;若不存在，请说明理由.

答案：(1)y=——x2+2x+3；(2)当〃=不时，SMBA最大值为；(3)存在，。点坐标为

32,o

(0,3@或仅,-3码,理由见解析

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看SZ\PAB=S4BP0+SZ\AP0-SZ\A0B,

设p1〃,-；〃2+2〃+3)求出关于n的函数式，从而求SAPAB的最大值.

⑶求点D的坐标，设【)