2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（一）（附答案详解）

2021年湖南省长沙市中考数学仿真模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.一22的绝对值等于（）

A.-22B.—C.蚩D.22

2.新冠病毒（2019-nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的口冠状病毒，它是一类具有

囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RM4病毒中最大的，也是自然界广

泛存在的一大类病毒，其粒子形状并不规则，直径约60〜220/im,平均直径为

llOzwn（纳米）.lm=10%加，110〃〃?用科学记数法可以表示为（）m.

A.O.llxlO-6B.1.1x10-7c.11x10-8D.l.lxlO-u

3.如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）

A.圆柱体

B.三棱锥

C.球体

俯视图

D.圆锥体

4.下列各式计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.4V3-3V3=1

C.2V3x3V3=6V3D.旧+b=3

5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.C.D.九

6.一组数据：3、2、4、2、5、3、2,这组数据的众数是（）

「5V2

C.—m

2

D.5V3m

8.下列调查中，适合普查的是（）

A.全国中学生的环保意识

B.一批LEO节能灯的使用寿命

C.对“天宫二号”空间实验室零部件的检查

D.白龟山水库水质的污染情况

9.已知三角形的两边a=3,b=7,则下列长度的四条线段中能作为第三边c的是（）

A.3B.4C.7D.10

10.四边形A88的对角线AC与3。相交于点。，下列四组条件中，一定能判定四边

形A8CC为平行四边形的是（）

A.AD//BCB.0A=OC,OB=0D

C.AD//BC,AB=DCD.AC1BD

11.双曲线y=/与y=:在第一象限内的图象如图所示,

作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于4、8两点，

连接OA、0B,则A40B的面积为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.如图，直角梯形ABCD中,^BAD="DA=90°,AB=瓜,

CD=2V6,过A、B、。三点的。。分别交BC,CD于点E、

M,且CE=2,下列结论：®DM=CM；②弧4B=^EM；

③O。的直径为@AE=同.其中正确的结论是（

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.因式分解：12a2—3b2=

15.已知扇形的半径为3cm,面积为67Tcm2,则该扇形的弧长等于.

16.某同学利用描点法画二次函数丫=。刀2+故+式&片（））的图象时，列出的部分数据

如下表：

第2页，共25页

序号①②③⑤

X01234

y30-203

经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据.（

只填序号）

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17.计算：+（I）-1-|-5|+V2sin45°.

⑻先化简W—W）+皆,然后从-&3中选取一个你认为合适的数作为。

的值代入求值.

19.有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题:

已知：a>b>0,求证：>yjab.

经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：

①在直线/上依次取AB=a,BC=b；

②以AC为直径作半圆，圆心为。；

③过B点作直线/的垂线，与半圆交于点。，连接。£）.

请回答：

(1)连接AO,CD,由作图的过程判断，乙4DC=90。，其依据是；

(2)根据作图过程，试求线段。。(用。，b的代数式表示)，请写出过程；

(3)由B014C,可知8。＜。。，其依据是,由此即证明了这个不等式.

20.6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”

网上竞赛活动.为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分

为100分)，收集数据为：七年级90,95,95,80,90,80,85,90,85,100；八

年级85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.

整理数据:

分数

人数80859095100

年级

七年级22321

八年级124a1

分析数据:

平均数中位数众数方差

七年级89b9039

八年级C90d30

根据以上信息回答下列问题：

(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值：

(2)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由;

第4页，共25页

(3)该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”,估计这两

个年级共有多少名学生达到“优秀”？

21.动手操作:

如图，已知4B〃CD,点A为圆心，小于4c长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,

F两点,再分别以点E,尸为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,

作射线AP,交.CD于点M.

问题解决：

(1)若/ACD=78°,求NM4B的度数：

(2)若CN14M,垂足为点N,求证：ACANmACMN.

实验探究：

(3)直接写出当4CAB的度数为多少时？△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角

形.

0耳/D

/p

EB

22.某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆.若建立

3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图

书馆需要19万元.

(1)建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？

(2)现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆

数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？

23.如图，BC是。。的直径，点A在。。上，AD1BC,

垂足为。，检=卷，BE分别交A。、AC延长线于点

F、G.

(1)过点A作直线使得MN〃BG,判断直线MN

与。。的位置关系，并说理.

(2)若4c=3,AB=4,求BG的长.

(3)连接CE,探索线段3D、CC与CE之间的数量关系，并说明理由.

24.如图为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成下面的问

题.

第6页，共25页

(1)在RtAABC中，zC=90°,AB=2V2,在探究三边关系时，通过画图，度量和

计算，收集到，组数据如下表：(单位：厘米)

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和4C+BC的数据进行分析；

①设BC=x,AC+BC=y,以(x,y)为坐标，在图1所示的坐标系中描出对应的

点；

②连线；

观察思考：

(3)结合表中的数据以及所面的图象，猜想.当x=时，y最大；

(4)进一步C猜想：若RtAMBC中，4c=90。，斜边4B=2a(a为常数，a>0),

则8c=时，AC+BC最大.

推理证明：

(5)对(4)中的猜想进行证明.

问题1.在图1中完善(2)的描点过程，并依次连线；

问题2.补全观察思考中的两个猜想：(3),(4)；

问题3.证明上述(5)中的猜想；

问题4.图2中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点4

B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，4E=4F=4G=90。，平行光线从AB

区域射入，ABNE=60°,线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感

光区域长度之和最大，并求出最大值.

25.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCZ)的三个顶点4(一3,4)、8(-3,0)、

C(一1,0)以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点8.动点P从点D出发，沿DC

边向点C运动，同时动点。从点B出发，沿BA边向点A运动，点尸、。运动的速

度均为每秒1个单位，运动的时间为r秒.过点尸作PEJ.CD交8。于点E,过点E

作EF14D于点F,交抛物线于点G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当，为何值时，四边形BQGQ的面积最大？最大值为多少？

(3)动点P、Q运动过程中，在矩形A8C。内(包括其边界)是否存在点”，使以8,

Q,E,"为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存

在，请说明理由.

第8页，共25页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：|-22|=22.

故选：D.

利用绝对值的意义求解.

本题考查了绝对值：若a>0,则|a|=a：若a=0,贝!!|可=0；若a<0,则|a|=-a.

2.【答案】B

【解析】解：llOnm=110x10-9m=1.1x10-7m,

故选：B.

绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为axlO-%与较大数的科学记数法

不同的是其所使用的是负整指数累，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0

的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数.解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数的方

法，一般形式为axIO",其中〃为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

3.【答案】A

【解析】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，

由俯视图为圆可得为圆柱体.

故选：A.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同

时也体现了对空间想象能力.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可.

此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键.

【解答】

解：A.V2+V3,无法计算，故此选项错误，

B-4V3-3V3=V3,故此选项错误，

C.2V3x3V3=6x3=18.故此选项错误，

D.y[274-V3=后=g=3,此选项正确，

故选：D.

5.【答案】C

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

8、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

。、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形

两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

6.【答案】A

【解析】解：在这组数据中2出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是2；

故选:A.

根据众数的定义即可求出这组数据的众数.

此题考查了众数的定义；熟记众数的定义是解决问题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：：CD1ABS.CD=5,44=4B=60°,

CD51073

:.AC----=-----=----.

sinAsin6003

故选：B.

利用60。的正弦值求解即可.

此题主要考查三角函数的运用.

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8.【答案】C

【解析】解：A、全国中学生的环保意识，适合抽样调查，故A错误；

B、一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故8错误；

C、对“天宫二号”空间实验室零部件的检查，适合普查，故C正确；

。、白龟山水库水质的污染情况，适合抽样调查，故。错误；

故选：C.

调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析,

普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方

式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非

常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.

此题主要考查了全面调查与抽样调查，要熟练掌握，如何选择调查方法要根据具体情况

而定.

9.【答案】C

【解析】解：丫a+b=10,b—a=4,

4<c<10.

故选：C.

△48C的两边人b之和是10,a、6之差是4.根据在三角形中任意两边之和〉第三边，

任意两边之差〈第三边；即可求第三边长c的范围，然后由c的范围来作出选择.

本题考查了三角形三边关系的应用.此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据

三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可.

10.【答案】B

【解析】解：•••。4=OC,OB=OD,

二四边形ABCD是平行四边形；

故选：B.

由平行四边形的判定定理即可得出答案.

本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题

的关键.

11.【答案】B

【解析】解：设直线AB与x轴交于点C.

•••AB〃y轴，

:.AC1x轴，BC1x轴.

•・•点4在双曲线y=三的图象上，40C的面积=\x

10=5.

点8在双曲线y=:的图象上，COB的面积=|x6=3.

AOB的面积=△40C的面积一△COB的面积=5-3=2.

故选：B.

如果设直线A8与x轴交于点C,那么△AOB的面积=440C的面积一ACOB的面积.根

据反比例函数的比例系数上的几何意义，知△AOC的面积=5,△COB的面积=3,从而

求出结果.

本题主要考查反比例函数的比例系数%的儿何意义.反比例函数图象上的点与原点所连

的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，iPS=||k|.

12.【答案】B

【解析】解：连接8。，BM,AM,EM,DE,

■■■/.BAD=90°,

••.BO为圆的直径，

•••乙BMD=90°,

4BAD=4CDA=Z.BMD=90°,

二四边形矩形，

AB=DM,

又：CD=2AB,

CD=2DM,即OM=MC；

故选项①正确；

•:AB"MC,AB=MC,

・•・四边形ABCM是平行四边形，

・・・AM=BC,又BD=4M,

・•・BD=BC,

v8。是直径，

・•・乙BED=90°,BPzDEC=90°,

第12页，共25页

又EC=2,DC=2n，

根据勾股定理得：DE=ylDC2-EC2=2而，

设BE=x,BD=BC=BE+EC=x+2,

在中，根据勾股定理得：BE2+DE2=BD2,即/+20=(x+2/，

解得：x=4,

•••BD=6,故选项③错误；

在RtACEC中，M是。C中点，

EM=DM=1CD=V6,

.♦.弧EM=弧DM,

XvAB=DM,

.•.弧4B=弧DM,

・,・弧AB=弧EM,

故选项②正确；

在RtAAEM中，AM=6>EM=V6>

根据勾股定理得：AE=>JAM2-EM2=V30;

故选项④正确；

则正确的选项为：①②④.

故选:B.

连接BO,BM,AM,EM,DE,由90度角所对的弦为直径，得到BO为圆的直径，再

利用直径所对的圆周角为直角，得到N8MD为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形

得到48"。为矩形，利用矩形的对边相等得到AB=CM,而DC=2AB,等量代换得到

CD=2DM,可得出M为。C的中点，即DM=CM,故选项①正确；由AB与何C平行

且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形AMCB为平行四

边形，可得出4M=BC,而BD=AM,等量代换得到BC=BD,由8。为圆的直径，利

用直径所对的圆周角为直角得到三角形。EC为直角三角形，由。C与EC的长，利用勾

股定理求出。E的长，设BE=x,贝ijBD=BC=BE+EC=x+2,在直角三角形8OE

中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，即

为8。的长，确定出圆的直径，即可对于选项③作出判断；在直角三角形。EC中，由

M为CD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到。M与EM相等，都等于。C

的一半，利用等弦所对的劣弧相等，得到弧DM=弧EM,同时由AB=DM,得到弧4B=

弧DM,等量代换得到弧4B=弧E例，故选项②正确；在直角三角形中，由AM

与ME的长，利用勾股定理求出AE的长，即可对于选项④作出判断.

此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆心角、弦及弧之间的关系，勾股定

理，直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，

利用了方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

13.【答案】3(2a+b)(2a-b)

【解析】解:原式=3(4。2一匕2)

=3(2a+b)(2a-b).

故答案为：3(2a+b)(2a-b).

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

14.【答案】A

【解析】解：原式=正泰3色+3)

6

-0^3?

故答案为：-

a-3

根据分式的除法法则即可求出答案.

本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

15.【答案】4?rcm

【解析】解：；r=3cm,S=6?rcni2,且s=gr/,

•••Z=y=等=47r(cm).

故答案为：4TTcm.

将已知的半径及面积代入扇形的面积公式S=为扇形半径，/为扇形的弧长)中计算,

即可得到扇形的弧长.

此题考查了扇形的面积公式，扇形的面积有两种计算方法：S=需，S=为扇形

圆心角的度数，r为扇形的半径，/为扇形的弧长).

16.【答案】③

第14页，共25页

【解析】解：由图表数据可知，①、⑤两点关于直线x=2对称，

②、④两点关于直线％=2对称，

所以，计算错误的一组数据应该是③，

c=3

验证：由①②④数据可得a+b+c=0,

、9a+3b+3=0

（a=l

解得b=-4,

c=3

该二次函数解析式为y=x2-4x+3,

当x=2时，y=22-4x2+3=-1M-2,

所以③数据计算错误.

故答案为：③.

观察图表数据，根据二次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用待

定系数法求出二次函数解析式，进行验证.

本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注意进

行验证，以确保判定的正确性.

17.【答案】解：原式=-2+2—5+&x在

2

=-2+2-54-1

=-4.

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数累的性质和立方根的性质分别化

简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】解：原式=^x品

（Q+1）（Q—1）CL—2

=-------------X--------

a—2（Q-1）2

a+l

=--,

a-1

要使原分式有意义，Q—2W0,a—10,即Q02,QW1,

故a=3,

.♦.当a=3时，原式=婴=2.

【解析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则.

先根据分式的运算法则进行化简，然后选择有意义的4值代入即可求出其值.

19.【答案】直径所对的圆周角是直角垂线段最短

【解析】解：(1);AC为直径，

.•.乙40C=90。(直径所对的圆周角是直角).

故答案为：直径所对的圆周角是直角；

(2)vBDLAC,

^ABD=Z.CBD=90°.

•••ABAD+AADB=90°.

v/.ADC=90°,

•••乙CDB+Z.ADB=90°.

:./.BAD=Z.CDB.

ABD~&DBC.

AB_BD

—=—.

BDBC

・•・BD2=AB•BC=ab.

・•・BD=y/ab-

vAB=Q,BC—b,

・•・AC=Q+b.

OD=-AC=—.

22

(3)vBDLAC,

・•・BD＜。。(直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短).

.•.叱＞痴.

2

故答案为：垂线段最短.

(1)由作图可知AC为直径，直径所对的圆周角是直角，可得乙4。。=90。，答案可得；

(2)易证△4BD〜ADBC,相似三角形对应边成比例可得比例式，将代入可求BD,

依据直径的大小可求半径02

(3)由连接直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短，根据BD14C,可知

BD＜OD,故答案可得.

本题主要考查了圆的综合运用，利用直径对直角，从而证明三角形的相似是解题的关键.

20.【答案】解：(1)观察八年级95分的有2人，故a=2；

第16页，共25页

七年级的中位数为华=90,故b=90；

八年级的平均数为：劫85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90,故

c=90；

八年级中90分的最多，故d=90；

(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从

方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；

(3)v600X*390(人),

.•・估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人.

【解析】(1)根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定

其他未知数的值即可；

(2)利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；

(3)用样本的平均数估计总体的平均数即可.

本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义

及相关计算方法是解题的关键.

21.【答案】解：(1)---AB//CD,

：.Z.ACD+4CAB=180°,

又•••乙46=78°,

•••ACAB=102°.

由作法知，AM是NC48的平分线，

Z.MAB=^CAB=51°；

(2)证明：由作法知，AM平分NC4B,

^CAM=^MAB.

•:AB"CD,

乙MAB=/.CMA,

/.CAM=/.CMA,

•：CNLAM,

乙CNA=乙CNM=90°.

又CN=CN,

C4N三△CMN.

(3)当/CAB为120。时，△CAM为等边三角形.

当NC4B为90。时，△CAM为等腰直角三角形.

【解析】(1)利用平行线的性质求出4C4B,再根据角平分线的定义即可解决问题；

(2)根据A4S即可判断；

(3)根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；

本题考查作图-复杂作图、平行线的性质、角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、

等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

22.【答案】解：(1)设建立每个中型图书馆x万元，建立每个小型图书馆y万元，

根据题意列方程组：修:交工

-rJy—JLV

解得:g：3-

答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书馆需要3万元.

(2)设建立中型图书馆。个，

根据题意得:(：+3gO-a)W44

(10-a<a

解得：5<a<7.

•••a取正整数，

***Gt=5,6,7.

A10—a=5,4,3

答：一共有3种方案：

方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个；

方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个；

方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个.

【解析】(1)设建立每个中型图书馆x万元，建立每个小型图书馆y万元，根据建立3

个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆

第18页，共25页

需要19万元，列方程组求解.

(2)设建立中型图书馆〃个，根据要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆

数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，列出不等式组求解.

本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，找到关键描述

语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组或不等式组求解.

23.【答案】解：(1)直线MN与。。相切,

理由：・・・MN〃8G,

・•・乙NAG=Z.G,

乙NAG=/.FAG,

vZ-BAC=ADC=90°,

:.Z.CAD=Z.ABO,

•・•OA=OBf

:.Z.OAB=乙48。，

:.Z-CAD=Z-BAO,

・•・4NAC=乙BAO,

•・・Z.BAO+Z.OAC=90°,

・・・4N/C+4OAC=90。，

・•・OA1MN,

二直线MN与O。相切；

(2)解:连接AE,

AB=AEy

:.AB=AE,

:.乙AEB=Z-ACB,

vAB=AE,

:.Z.ABE=乙AEB,

Z-ACB=Z.ABE,

vZ-BAC=Z.GAB,

ABC~bAGBf

AB_BC

••AC-BGf

・・,BC是。。的直径,

・•・^BAC=90°,

G

-AC=3,AB=4,

・•・BC—5,

45

・•・-=一,

3BG

“20

：•BG=—；

(3)解：BD=CE+CD,

理由：连接CE,

在8c上截取B，=CE,连接A”，

AB=AE,

又丫4ABC=Z.AEC,

三△AEC(SAS),

：.AH=AC,

又：AD1BC,

：.HD=CD,

：.BD=BH+HD=CE+CD.

【解析】(1)根据平行线的性质得到NM4G=4G,等量代换得到4M4G=乙FAG,4NAC=

/.BAO,求得。41MN,即可得到结论；

(2)连接AE,根据圆周角定理得到N/1EB=44CB,根据等腰三角形的性质得到471BE=

UEB,根据相似三角形的性质即可得到结论；

⑶连接CE,在BC上截取BH=CE,连接AH,根据全等三角形的性质即可得到结论.

本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直线与

圆的位置关系，圆周角定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

24.【答案】2y/2ax=2BC=y/2a

第20页，共25页

问题2：(3)观察图象可知，x=2时，y有最大值.

(4)猜想：BC=yf2a.

故答案为：%=2,BC=V2a.

问题3：设=AC+BC=y9

在中，vzC=90°

:.AC=VAB2—BC2=V4a2—x2,

Ay=%+V4a2—x2,

Ay—x=V4a2—x2,

・•・y2—2xy4-%2=4Q2—%2,

:.2x2—2xy+y?_4a2=。，

・•・关于x的一元二次方程有实数根，

・•・△=4y2—4X2x(y2-4a2)>0,

••・y2<8a2,

vy>0,a>0,

:.y<2&Q,

当y=2&Q时，2——4y/2ax+4a2=0

:.(y/2x—2a)2=0,

X]—%2=y[^2,ci>

・,・当=时，y有最大值.

问题4：延长AM交EF的延长线于G过点A作AHLEF于H,过点8作BKLGF于K

交A”于。.

在RtABNE中，NE=90°,LBNE=60°,BE=1cm,

BE

・•・tanZ.BNE=—,

EN

・•・NE=Y(cm)»

♦:AM〃BN,

・•・ZC=60°,

・••Z.GFE=90°,

・・・"MF=30°,

・•・Z.AMG=30°,

Z,G=90°,AG=lcm,Z.AMG=30°,

.♦.在RMAGM中，tanz/lMG=—,

GM

・•・GM=V3(cm),

•・•乙G=Z-GFH=90°,Z.AHF=90°,

・•・四边形AGF/Z为矩形，

••・AH=FG,

・・•乙GFH=CE=90°,乙BKF=90°

・•・四边形BKFE是矩形,

:.BK=FE,

■■FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH-^--y/3=BQ+AQ+KQ+QH-

*BQ+AQ+2一竽，

在Rt/MBQ中，AB=4cm,

由问题3可知，当BQ=AQ=2&cm时，AQ+BQ的值最大，此时£尸=(1+2&)cm,

BQ=AQ=2鱼时，FN+FM的最大值为(4夜+2-竽)czn，此时EF=(1+2V2)cm.

问题1：利用描点法解决问题即可.

问题2：利用图象法解决问题即可.

第22页，共25页

问题3：设BC=x,AC+BC=y,根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可.

问题4：延长AM交EF的延长线于C,过点A作4"J.EF于"，过点B作BK1GF于K

交AH于Q.证明FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AHV3-=BQ+AQ+

KQ+QH-竽=BQ+AQ+2-卓，求出BQ+4Q的最大值即可解决问题.

本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，函数，一元二次方

程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中

考压轴题.

25.【答案】解：(1)由题意得,顶点。点的坐标为(-1,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+I/+4(a丰0),

•••抛物线经过点B(-3,0),代入y=a(x+1/+4

可求得a