2022-2023学年河北省石家庄市大吾乡大吾中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河北省石家庄市大吾乡大吾中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．

B．

C．2

D．－2参考答案：A2.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4 D．2参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．3.“”是直线平行于直线的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C4.若偶函数f（x）在（－，一l］上是增函数，则下列关系式中成立的是（）参考答案：B5.已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A.[－2,1] B.[－1,2]C.(－∞,－2]∪[1,+∞) D.(－∞,－1]∪[2,+∞)参考答案：A【分析】由函数的表达式即可判断在上递减，利用单调性可得：，解不等式即可。【详解】函数在各段内都是减函数，并且，所以在上递减，又，所以解得：，故选：A.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，考查计算能力及转化能力，属于中档题。6.一个样本容量为的样本数据，它们组成一个公差不为的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的中位数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知椭圆+=1的焦点分别是、，是椭圆上一点，若连结、、三点恰好能构成直角三角形，则点到y轴的距离是A．

B．3

C．

D．

参考答案：A略8.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i参考答案：A9.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（

）．A． B． C．

D．参考答案：D设，，，由线段的中垂线过点得，即，得，即，得，解得，故，故选D.10.、、两两垂直；②到三边的距离相等；③，；④、、与平面所成的角相等；⑤平面、、与平面所成的锐二面角相等；⑥＝＝；⑦，，；⑧，．若在上述8个序号中任意取出两个作为条件，其中一个一定能得出为的垂心、另一个一定能得出为的外心的概率为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知满足约束条件，，则的最小值是

．

参考答案：略12.(不等式选作题)若不等式的解集为，则的取值范围为________;参考答案：略13.我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”，则当，时，(1).莫言函数的单调增区间为：___________(2).所有的“莫言圆”中，面积的最小值为___________参考答案：，略14.函数的单调递增区间是

.参考答案：(或)15.（5分）设为锐角，若，则的值为

▲

．参考答案：。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。∵为锐角，即，∴。

∵，∴。∴。

∴。

∴。16.的展开式中的系数是

参考答案：240本题主要考查二项式定理，以及简单的基本运算能力．难度较小．∵含x4的项为C(2x)4＝240x4，∴展开式中x4的系数是240．17.代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．参考答案：0【分析】根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），∴（1﹣x）（1+x）5展开式中x3的系数为110．故答案为：0．【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）若，求的最大值和最小值；（2）若，求的值。参考答案：解：（Ⅰ）．又，，，．（II）由于，所以解得

19.参考答案：解析：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，

∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD.

又MN是△PAB的中位线，

∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD.

∴∠PMD为二面角P—MN—D的平面角………………4分由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，∴∠PMD=120°.即所求二面角P—MN—D的大小为120°.…………………6分（Ⅱ）令，不妨设AD=2，则，.……8分以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），∴（1，2，），（1，2-4x，）；……10分若∠CND为直角，则必有，即于是有，解得.∴当时，∠CND为直角.……14分20.如图，已知⊥平面，∥，=2，且是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面；(III)求此多面体的体积．

参考答案：解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=

……

1分又AB∥DE，且AB=

∴AB∥FP，且AB=FP，

……

2分∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．

……

3分又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF∥平面BCE

……

4分

（Ⅱ）∵，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

……5分∵AB⊥平面ACD，DE//AB

∴DE⊥平面ACD

……6分又AF平面ACD

∴DE⊥AF

……7分又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE

……8分

又BP∥AF

∴BP⊥平面CDE

又∵BP平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE

9分(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，，

……

10分等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高

……11分

……

12分略21.已知曲线与轴有唯一公共点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为.若两个不相等的正实数，满足，求证：.参考答案：（Ⅰ）解：函数的定义域为..由题意，函数有唯一零点..（1）若，则.显然恒成立，所以在上是增函数.又，所以符合题意.（2）若，.；.所以在上是减函数，在上是增函数.所以.由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）①若，则.令，则.；.所以函数在上是增函数，在上是减函数.所以.所以，当且仅当时取等号.所以，，且.取正数，则；取正数，显然.而，令，则.当时，显然.所以在上是减函数.所以，当时，，所以.因为，所以.又在上是减函数，在上是增函数，则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.可见，，或不符合题意.注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.②若，显然，即.符合题意.综上，实数的取值范围为.（Ⅱ）由题意，.所以，即.由（Ⅰ）的结论，得.，在上是增函数.；.由，不妨设，则.从而有，即.所以.令，显然在上是增函数，且.所以.从而由，得.22.(本题满分13分)

某旅游景区的观景台P位于高为的山峰上(即山顶到山脚水平面M的垂直高度)，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且为以为底边的等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为，且.现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段,第二段,第三段,…,第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如图所示)，C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为，且.（1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米?若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？（2）若修建盘山公路，其造价为万元.修建索道的造价为万元.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少?

参考答案：【知识点】函数模型及其应用B10(1)公路长为10xkm，索道长(2－x)km(2)高1km时，总造价最小，最小值为15a万元.

(1)在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C0F.sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝.∵DF＝C0D，DE＝D