2022-2023学年安徽省合肥市长丰县下塘中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年安徽省合肥市长丰县下塘中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，的夹角为，且，，则等于（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：B故选：B

2.已知集合，则A∩B=（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．[0，1]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．3.已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，所以，因此，选B.4.一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，则公比的平方为（）A．B．C．D．参考答案：答案:C5.已知复数为虚数单位)是关于x的方程为实数)的一个根,则的值为（）A．22

B．36

C．38

D．42参考答案：C6.函数的图象如右图所示，则导函数的图象的大致形状是（

）参考答案：D7.在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=30o，CD是边AB上的高，则·= A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．9.已知数列是等比数列，从中取走任意四项，则剩下的三项依然构成等比数列的概率是

A.1

B.

C.

1或

D.

参考答案：C10.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（

）（A）0条

（B）1条

（C）

2条

（D）3条参考答案：B解析：由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在各项均为正数的等比数列中，若，，则=

▲

．参考答案：12.设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则

参考答案：13.设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则双曲线C的离心率是

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由FA的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得A的横坐标为，由FA的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得B的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2．故答案为：2．14.若将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为_________.参考答案：略15.（4分）（2015?上海模拟）在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．参考答案：【考点】：余弦定理．【专题】：计算题．【分析】：根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】：此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．16.已知，，那么的值是

_

.参考答案：【知识点】两角和与差的正切公式.C5【答案解析】B解析：解：由题意可得【思路点拨】利用组合角的方法表示出所求的角，再利用公式求解.17.已知函数f（x）=x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，若数列{}的前n项和为Sn，则S2017的值为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线垂直时斜率之积为﹣1的条件，可求a，代入可求f（n），利用裂项求和即可求．【解答】解：∵f（x）=x2﹣ax，∴f′（x）=2x﹣a，∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2﹣a，∵切线l与直线x+3y+2=0垂直，∴（2﹣a）?（﹣）=﹣1，∴a=﹣1，f（x）=x2+x，∴f（n）=n2+n=n（n+1），∴==﹣，∴S2017=1﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）将f（x）化成y=Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的周期；（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内有图象；（3）写出函数f（x）的单调区间．x

0π2πf（x）

参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 作图题；三角函数的图像与性质．分析： （1）由两角差的正弦公式化简即可得解析式：f（x）=2sin（2x﹣），由周期公式即可求解；（2）列表，描点连线即可用五点法做出图象；（3）根据正弦函数的性质即可求得单调区间．解答： （1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），所以函数f（x）的周期为=π．（2）列表：2x﹣0π2πxy020﹣20描点作图：（3）函数f（x）的单调递减区间是：[k，k]（k∈Z）；单调递增区间是[k，k]（k∈Z）．点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，五点法作图，属于基础题．19.设数列的前项和为，满足，且成等差数列。

（1）求的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数，有参考答案：（1）

相减得：

成等差数列

（2）得对均成立

得：

（3）当时，当时，

由上式得：对一切正整数，有（lfxlby）20.目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数469634（1）若从年龄在[15，25）、[25，35）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．态度年龄赞成不赞成总计中青年

中老年

总计

参考公式和数据：x2=X2≤2.706＞2.706＞3.841＞6.635A、B关联性无关联90%95%99%参考答案：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和期望；（2）根据所给做出的列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（1）X的取值为0，1，2，3…P（X=0）=?=，P（X=1）=?+?=，P（X=2）=?+?=，P（X=3）=?=…X的分布列为X0123PEX=0×+1×+2×+3×=1.2…（2）2×2列联表如图所示…态度年龄赞成不赞成总计中青年191130中老年13720总计321850X2=≈0.0145≤2.706…说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联…【点评】本题考查求X的分布列和期望、独立性检验的应用，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，本题是一个中档题．21.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P点，设EF与BD交于点O，过点P作，垂足为H．（1）求证：PH⊥底面BFDE；（2）若四棱锥P-BFDE的体积为，求正方形ABCD的边长．参考答案：（1）见解析；（2）3【分析】（1）先证明平面，．再由，，得证（2）设正方形边长为，连接，推导出，，再利用四棱锥的体积能求出正方形的边长．【详解】证明：（1）在正方形中，，∴在的垂直平分线上，∴．∵，∴平面，∴．又，∴平面，∴．又，故底面．（2）设正方形边长为，连接，在正方形中，，∴，∴，∴，又，∴，又四边形的面积．∴四棱锥的体积，解得正方形的边长．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查正方形边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力22.(12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.

(I)求取出的4个球均为黑色球的概率；

(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(III)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.参考答案：解析：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独