【省会检测】2023年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)

第1页〔共29页〕2023年江西省南昌市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，那么A∩B=〔〕A．〔﹣∞，4] B．{1，3} C．{1，3，5} D．[1，3]2．欧拉公式eix=cosx+isinx〔i为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥〞，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．角α的终边经过点P〔sin47°，cos47°〕，那么sin〔α﹣13°〕=〔〕A． B． C． D．4．奇函数f'〔x〕是函数f〔x〕〔x∈R〕是导函数，假设x＞0时f'〔x〕＞0，那么〔〕A．f〔0〕＞f〔log32〕＞f〔﹣log23〕 B．f〔log32〕＞f〔0〕＞f〔﹣log23〕C．f〔﹣log23〕＞f〔log32〕＞f〔0〕 D．f〔﹣log23〕＞f〔0〕＞f〔log32〕5．设不等式组表示的平面区域为M，假设直线y=kx经过区域M内的点，那么实数k的取值范围为〔〕A． B． C． D．6．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，那么斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，那么三棱锥顶点到底面的距离为〔〕A．B．C．D．7．圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如下图，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为〔〕A．6+ B． C． D．88．执行如图程序框图，那么输出的n等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．49．函数f〔x〕=〔﹣π≤x≤π〕的图象大致为〔〕A． B． C． D．10．具有线性相关的五个样本点A1〔0，0〕，A2〔2，2〕，A3〔3，2〕，A4〔4，2〕，A5〔6，4〕，用最小二乘法得到回归直线方程l1：y=bx+a，过点A1，A2的直线方程l2：y=mx+n，那么以下4个命题中，①m＞b，a＞n；②直线l1过点A3；③④．〔参考公式，〕正确命题的个数有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．设函数，假设f〔x〕的最大值不超过1，那么实数a的取值范围为〔〕A． B． C． D．12．椭圆，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，OB的斜率存在并分别记为kOA、kOB，且，那么的最小值为〔〕A． B． C． D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．展开式中的常数项为．14．平面向量，，假设有，那么实数m=．15．在圆x2+y2=4上任取一点，那么该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0，1]的概率为．16．台风中心位于城市A东偏北α〔α为锐角〕度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β〔β为锐角〕度的200公里处，假设，那么v=．三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12.00分〕等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S4=2a4﹣1，S3=2a3﹣1．〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕记bn=log2〔an•an+1〕，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．18．〔12.00分〕某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级局部生源情况根本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分〔百分制〕为优秀．〔1〕完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关〞；甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计〔2〕从乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90〕发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．附：K2=，P〔K2≥k0〕0.100.050.025k02.7063.8415.02419．〔12.00分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=AP=AD=3，AC∩BD=O，过O点作平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H．〔1〕求GH的长度；〔2〕求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．20．〔12.00分〕抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕两点，y1y2=﹣4．〔1〕求抛物线方程；〔2〕点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．21．〔12.00分〕函数f〔x〕=ln〔ax〕+bx在点〔1，f〔1〕〕处的切线是y=0．〔1〕求函数f〔x〕的极值；〔2〕当恒成立时，求实数m的取值范围〔e为自然对数的底数〕．22．〔10.00分〕在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求C的极坐标方程；〔2〕假设直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．23．f〔x〕=|2x+3a2|．〔1〕当a=0时，求不等式f〔x〕+|x﹣2|≥3的解集；〔2〕对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f〔x〕＜2a成立，求实数a的取值范围．

2023年江西省南昌市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，那么A∩B=〔〕A．〔﹣∞，4] B．{1，3} C．{1，3，5} D．[1，3]【分析】先解出集合A={0，1，2，3，4}，然后可判断1，3∈B，进行交集的运算即可求出A∩B．【解答】解：A={0，1，2，3，4}；对于集合B：n=0时，x=1；n=1时，x=3；即1，3∈B；∴A∩B={1，3}．应选：B．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2．欧拉公式eix=cosx+isinx〔i为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥〞，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得=cos=，那么答案可求．【解答】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得=cos=，∴表示的复数位于复平面中的第一象限．应选：A．【点评】此题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是根底题．3．角α的终边经过点P〔sin47°，cos47°〕，那么sin〔α﹣13°〕=〔〕A． B． C． D．【分析】根据三角函数的定义求出sinα和cosα，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可．【解答】解：∵r=|OP|==1，∴sinα==cos47°，cosα==sin47°，那么sin〔α﹣13°〕=sinαcos13°﹣cosαsin13°=cos47°cos13°﹣sin47°sin13°=cos〔47°+13°〕=cos60°=，应选：A．【点评】此题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决此题的关键．4．奇函数f'〔x〕是函数f〔x〕〔x∈R〕是导函数，假设x＞0时f'〔x〕＞0，那么〔〕A．f〔0〕＞f〔log32〕＞f〔﹣log23〕 B．f〔log32〕＞f〔0〕＞f〔﹣log23〕C．f〔﹣log23〕＞f〔log32〕＞f〔0〕 D．f〔﹣log23〕＞f〔0〕＞f〔log32〕【分析】判断f〔x〕的单调性和奇偶性，再判断大小关系．【解答】解：∵f′〔x〕是奇函数，且x＞0时f'〔x〕＞0，∴当x＜0时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，+∞〕上单调递增，∵﹣f′〔﹣x〕=f′〔x〕，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，∴f〔x〕是偶函数．∵log23＞log32＞0，∴f〔﹣log23〕=f〔log23〕＞f〔log32〕＞f〔0〕．应选：C．【点评】此题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．5．设不等式组表示的平面区域为M，假设直线y=kx经过区域M内的点，那么实数k的取值范围为〔〕A． B． C． D．【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx的图象是过点O〔0，0〕，斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，如图．因为函数y=kx的图象是过点O〔0，0〕，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A〔1，2〕时，k取最大值：2，当直线l过点B〔2，1〕时，k取最小值：，故实数k的取值范围是[，2]．应选：C．【点评】此题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵巧的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．6．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，那么斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，那么三棱锥顶点到底面的距离为〔〕A．B．C．D．【分析】三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设PA=a，PB=b，PC=c，运用三棱锥的体积公式和等积法，计算可得所求距离．【解答】解：如图三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设PA=a，PB=b，PC=c，可得S1=ab，S2=bc，S3=ca，可得abc=2，由题意可得底面积为，由等积法可得×abc=PH•，可得PH==，应选：C．【点评】此题考查类比推理的应用，注意平面与空间的区别和联系，考查等积法的运用，属于中档题．7．圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如下图，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为〔〕A．6+ B． C． D．8【分析】几何体为圆台和三棱锥的组合体，根据三视图的对应关系计算侧视图面积．【解答】解：由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台，上部为三棱锥，其中圆台的上下底面半径分别为1，2，高为2，三棱锥的高为2，底面为等腰三角形，由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为，故侧视图下局部为上下底分别为2，4，高为2的梯形，上局部为底边为，高为2的三角形，∴侧视图的面积为×〔2+4〕×2+=．应选：B．【点评】此题考查了简单组合体的结构特征与三视图，属于中档题．8．执行如图程序框图，那么输出的n等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，x=，a=﹣sin，不满足条件a=，执行循环体，n=1，x=π，a=sinπ=0，不满足条件a=，执行循环体，n=2，x=，a=sin=，不满足条件a=，执行循环体，n=3，x=，a=sin=，满足条件a=，退出循环，输出n的值为3．应选：C．【点评】此题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．9．函数f〔x〕=〔﹣π≤x≤π〕的图象大致为〔〕A． B． C． D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项B，通过特殊点的位置排除选项D，利用特殊值的大小，判断选项即可．【解答】解：函数是奇函数，排除选项B；x=时，y=＞0，排除选项D，x=时，y=，∵＞，所以排除选项C．应选：A．【点评】此题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置，是判断函数的图象的常用方法．10．具有线性相关的五个样本点A1〔0，0〕，A2〔2，2〕，A3〔3，2〕，A4〔4，2〕，A5〔6，4〕，用最小二乘法得到回归直线方程l1：y=bx+a，过点A1，A2的直线方程l2：y=mx+n，那么以下4个命题中，①m＞b，a＞n；②直线l1过点A3；③④．〔参考公式，〕正确命题的个数有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先求得a，b，m，n的值，然后结合所给的数据验证所给的算式是否成立即可．【解答】解：由题意可得：，那么：，线性回归方程l1为：，直线l2的方程为：y=x，故：b=0.6，a=0.2，m=1，n=0，说法①正确；3×0.6+0.2=2，那么直线l1过A3，说法②正确；，，说法③错误；，，说法④错误；综上可得：正确命题的个数有2个．应选：B．【点评】此题考查线性回归方程及其应用，重点考查学生对根底概念的理解和计算能力，属于中等题．11．设函数，假设f〔x〕的最大值不超过1，那么实数a的取值范围为〔〕A． B． C． D．【分析】讨论x＜a+1时，x≥a+1时，由指数函数、绝对值函数的单调性，可得最大值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x＜a+1时，f〔x〕=〔〕|x﹣a|在〔﹣∞，a〕递增，[a，a+1〕递减，可得x=a处取得最大值，且为1；当x≥a+1时，f〔x〕=﹣a﹣|x+1|，当a+1≥﹣1，即a≥﹣2时，f〔x〕递减，可得﹣a﹣|a+2|≤1，解得a≥﹣；当a+1＜﹣1，即a＜﹣2时，f〔x〕在x=﹣1处取得最大值，且为﹣a≤1，那么a∈∅．综上可得a的范围是[﹣，+∞〕．应选：A．【点评】此题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．12．椭圆，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，OB的斜率存在并分别记为kOA、kOB，且，那么的最小值为〔〕A． B． C． D．【分析】设椭圆的参数方程，根据直线的斜率公式，求得α=+β，利用两点之间的距离公式，求得|OA|2+|OB|2=36，根据根本不等式求得即可求得的最小值．【解答】解：设A〔2cosα，2sinα〕，B〔2cosβ，2sinβ〕，α∈[0，2π〕，β∈[0，2π〕，由kOA•kOB==﹣，整理得：cosαsinβ+sinαsinβ=0，即cos〔α﹣β〕=0，那么α﹣β=，α=+β，那么A〔2cos〔+β〕，2sin〔+β〕〕，即A〔﹣2sinβ，2cosβ〕，∴|OA|2=24sin2β+12cos2β=12〔1+sin2β〕，|OB|2=12〔1+cos2β〕，那么|OA|2+|OB|2=36，|OA|•|OB|≤=18，当且仅当|OA|=|OB|，即sinβ=±，β=或β=，≥≥=，当且仅当|OA|=|OB|，即sinβ=±，β=或β=，综上可知：的最小值，应选：C．【点评】此题考查椭圆的参数方程，直线的斜率公式，根本不等式的应用，考查转化思想，属于难题．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．展开式中的常数项为4．【分析】分别求出〔x+2〕3的展开式中含x的项及常数项，再由多项式乘多项式求解．【解答】解：〔x+2〕3的通项公式为=．取3﹣r=1，得r=2．∴〔x+2〕3的展开式中含x的项为12x，取3﹣r=0，得r=3．∴〔x+2〕3的展开式中常数项为8，∴展开式中的常数项为12﹣8=4．故答案为：4．【点评】此题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是根底题．14．平面向量，，假设有，那么实数m=±2．【分析】根据平面向量的模长公式与数乘向量，列方程求出m的值．【解答】解：向量，，假设，那么〔2﹣〕•〔5，2m〕=，∴2﹣=0，化简得m2=4，解得m=±2．故答案为：±2．【点评】此题考查了平面向量的模长公式与数乘向量应用问题，是根底题．15．在圆x2+y2=4上任取一点，那么该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0，1]的概率为．【分析】由题意画出图形，由弧长公式求出在圆x2+y2=4上任取一点，该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0，1]的弧的长度，再由测度比为长度比得答案．【解答】解：如图，直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相切于D，且OD=2，作与直线x+y﹣2=0平行的直线交圆于AB，由O到直线AB的距离OC=1，半径OA=2，可得，∴劣弧的长度为，而圆的周长为4π，∴在圆x2+y2=4上任取一点，那么该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0，1]的概率为．故答案为：．【点评】此题考查几何概型，考查直线与圆位置关系的应用，表达了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．台风中心位于城市A东偏北α〔α为锐角〕度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β〔β为锐角〕度的200公里处，假设，那么v=100．【分析】如下图：AB=150，AC=200，B=α，C=β，根据解三角形可得3sinα=4sinβ，①，又cosα=cosβ，②，求出cosβ=，cosα=，求出BC的距离，即可求出速度【解答】解：如下图：AB=150，AC=200，B=α，C=β，在Rt△ADB中，AD=ABsinα=150sinα，BD=ABcosα在Rt△ADC中，AD=ACsinα=200sinβ，CD=ACcosβ∴150sinα=200sinβ，即3sinα=4sinβ，①，又cosα=cosβ，②，由①②解得sinβ=，cosβ=，sinα=，cosα=∴BD=ABcosα=150×=90，CD=ACcosβ=200×=160，∴BC=BD+CD=90+160=250，∴v==100，故答案为：100．【点评】此题考查了解三角形的问题，以及三角函数的关系，属于根底题三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12.00分〕等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S4=2a4﹣1，S3=2a3﹣1．〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕记bn=log2〔an•an+1〕，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．【分析】〔1〕设{an}的公比为q，由S4﹣S3=a4得，2a4﹣2a3=a4，从而q=2．由S3=2a3﹣1，求出a1=1．由此{an}的通项公式．〔2〕由，得，由．【解答】解：〔1〕设{an}的公比为q，由S4﹣S3=a4得，2a4﹣2a3=a4，所以，所以q=2．又因为S3=2a3﹣1，所以a1+2a1+4a1=8a1﹣1，所以a1=1．所以．证明：〔2〕由〔1〕知，所以，所以=．【点评】此题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项求和法是解决此题的关键．18．〔12.00分〕某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级局部生源情况根本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分〔百分制〕为优秀．〔1〕完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关〞；甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计〔2〕从乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90〕发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．附：K2=，P〔K2≥k0〕0.100.050.025k02.7063.8415.024【分析】〔1〕依题意求出K2≈3.333＞2.706，从而有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关〞．〔2〕从乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕依题意得，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关〞．〔2〕从乙班[70，80〕，[80，90〕，[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，，，∴X的分布列为：X0123P∴．【点评】此题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．〔12.00分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=AP=AD=3，AC∩BD=O，过O点作平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H．〔1〕求GH的长度；〔2〕求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．【分析】〔1〕法一：推导出EF∥AB，EH∥BP，FG∥AP，从而△BOC∽△DOA，且，连接HO，那么有HO∥PA，过点H作HN∥EF交FG于N，由此能求出GH．法二：由面面平行的性质定理，得EF∥AB，EH∥BP，FG∥AP，作HN∥BC，HN∩PB=N，GM∥AD，HN∥GM，HN=GM，故四边形GMNH为矩形，即GH=MN，由此能求出GH．〔2〕以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如下图空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣FH﹣E的余弦值．【解答】解：〔1〕解法一：因为α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD=EF，O∈EF，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP，因为BC∥AD，AD=6，BC=3，所以△BOC∽△DOA，且，所以，，同理，连接HO，那么有HO∥PA，所以HO⊥EO，HO=1，所以，同理，，过点H作HN∥EF交FG于N，那么解法二：因为α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD=EF，O∈EF，平面PAB∩平面ABCD=AB，根据面面平行的性质定理，所以EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP，因为BC∥AD，AD=2BC，所以△BOC∽△DOA，且，又因为△COE∽△AOF，AF=BE，所以BE=2EC，同理2AF=FD，2PG=GD，如图：作HN∥BC，HN∩PB=N，GM∥AD，GM∩PA=M，所以HN∥GM，HN=GM，故四边形GMNH为矩形，即GH=MN，在△PMN中，所以，所以．解：〔2〕以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如下图空间直角坐标系，B〔3，0，0〕，F〔0，2，0〕，E〔3，2，0〕，H〔2，2，1〕，，设平面BFH的法向量为，，令z=﹣2，得，因为平面EFGH∥平面PAB，所以平面EFGH的法向量，，故二面角B﹣FH﹣E的余弦值为．【点评】此题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．〔12.00分〕抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕两点，y1y2=﹣4．〔1〕求抛物线方程；〔2〕点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．【分析】〔1〕根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出p的值，综合即可得答案；〔2〕根据题意，设D〔x0，y0〕，，分析可得E、A的坐标，进而可得直线AD的方程，结合三角形面积公式可以用t表示△ABD面积，利用根本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：〔Ⅰ〕依题意，当直线AB的斜率不存在时，|AB|=﹣p2=﹣4，p=2当直线AB的斜率存在时，设由，化简得由y1y2=﹣4得p2=4，p=2，所以抛物线方程y2=4x．〔Ⅱ〕设D〔x0，y0〕，，那么E〔﹣1，t〕，又由y1y2=﹣4，可得因为，AD⊥EF，所以，故直线由，化简得，所以．所以设点B到直线AD的距离为d，那么所以，当且仅当t4=16，即t=±2，当t=2时，AD：x﹣y﹣3=0，当t=﹣2时，AD：x+y﹣3=0．【点评】此题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，〔1〕中注意直线的斜率是否存在．21．〔12.00分〕函数f〔x〕=ln〔ax〕+bx在点〔1，f〔1〕〕处的切线是y=0．〔1〕求函数f〔x〕的极值；〔2〕当恒成立时，求实数m的取值范围〔e为自然对数的底数〕．【分析】〔Ⅰ〕求出，由导数的几何意义得f〔x〕=lnx﹣x+1〔x∈〔0，+∞〕〕，由此能示出f〔x〕的极值．〔Ⅱ〕当〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立时，〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立，法一：设，那么，，g〔x〕在〔0，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递增，；．g〔x〕，h〔x〕均在x=1处取得最值，要使g〔x〕≥h〔x〕恒成立，只需g〔x〕min≥h〔x〕max，由此能求出实数m的取值范围．法二：设〔x∈〔0，+∞〕〕，那么，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕因为f〔x〕=ln〔ax〕+bx，所以，因为点〔1，f〔1〕〕处的切线是y=0，所以f'〔1〕=1+b=0，且f〔1〕=lna+b=0所以a=e，b=﹣1，即f〔x〕=lnx﹣x+1〔x∈〔0，+∞〕〕所以，所以在〔0，1〕上递增，在〔1，+∞〕上递减所以f〔x〕的极大值为f〔1〕=lne﹣1=0，无极小值．〔Ⅱ〕当〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立时，由〔Ⅰ〕f〔x〕=lnx﹣x+1，即〔m＜0〕在x∈〔0，+∞〕恒成立，解法一：设，那么，，又因为m＜0，所以当0＜x＜1时，g'〔x〕＜0，h'〔x〕＞0；当x＞1时，g'〔x〕＞0，h'〔x〕＜0．所以g〔x〕在〔0，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递增，；h〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单