2021年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷

2021年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷

一、本部分共10小题，每小题3分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的.

1.（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）

2.（3分）电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃

料，每座发动机产生150亿吨推力，请用科学记数法表示150亿为（）

A.150x10''B.1.5x10'°C.1.5x10"D.1.5xl012

3.(3分)下列运算正确的是()

A.a2+2a=3a3B.(-2/)2=4/

C.(ci+2)(<z—1)=</'+a—2D.(a+b)2=a2+b2

4.（3分）某校八年级三班进行中国诗词知识竞赛，共有10组题目，该班得分情况如下表:

5.（3分）已知直线机//〃，将一块含45。角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边8C

与直线〃交于点。.若Nl=25。，则N2的度数为（）

A.10B.8C.2D.-8

7.（3分）下列命题正确的是（）

A.方程*2-x+l=O有两个不相等实数根

B.对角线相等的四边形是矩形

C.平分弦的直径垂直于弦

D.等腰三角形底边上的中线平分顶角

8.（3分）菱形ABCZ）的一条对角线的长为6,边他的长是方程V-7x+12=0的一个根,

则菱形/WCD的周长为（）

A.16B.12C.12或16D.无法确定

9.（3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,按以下步骤作图：①以点A为

圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC,45于M,N两点；②分别以点M,N为圆心，

大于（MN的长为半径作弧，两弧相交于点P;③作射线AP,交BC于点、E.则tanNBAE=（

）

22

10.（3分）如图，如图正方形ABCD内一点E,满足△C0E为正三角形，直线AE交于

F点、,过E点的直线G4,A尸，交43于点G,交CD于点H.以下结论：

①ZAFC=105°；②GH=2EF；③近CE=EF+EH；®-=-

EH3

其中正确的有（）

A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④

二、填空题（本题共5小题，每小题3分,共15分）

11.（3分）因式分解：3X2-12=.

12.（3分）若二一有意义,则a的取值范围为—

a+2

13.（3分）从-1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为（x,y）,

则点M在直线/:y=-x上的概率为.

14.（3分）矩形AfiCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，沿AE将AAEB翻折得

至UWE,sinZFC£=

15.（3分）如图，反比例函数y=3（x>0）的图象与矩形ABCO的边交于点G,与边8C

X

交于点。，过点4,D作DE//AF,交直线了=履（％<0）于点E,F,若OE=OF,

BG=6GA,则四边形ADEF的面积为.

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8

分，第20题9分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16.（5分）计算：|l-2cos30°|+J^-（-g）-'-（5-m°

17.（6分）先化简，再求值：（T-1）+,其中x是不等式组产3x+l的整数

x2+xx2+2x+l[2x-l<4

解.

18.（8分）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢箧子、跳绳

共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每

人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供

的信息解答下列各题.

学生体育活动扇形统计图

学生体育活动条形统计图

（2）请你估计该校约有一名学生喜爱打篮球;

（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利

用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？

19.（8分）如图，AABC内接于口。，他为直径，作交AC于点£>,延长BC,

O£）交于点尸，过点C作线段CE,交£厅于点5且政7=£0.

（1）求证：直线CE是口。的切线.

（2）如果。4=4,EF=3,求弦AC的长.

20.（9分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明

在春节前购进甲、乙两种红灯笼,用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，

已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；

（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则

每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小

明一天通过乙灯笼获得利润y元.

①求出y与x之间的函数解析式：

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

21.（9分）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两

邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：

如图①，在矩形中，EFLGH,E/分别交45、BC于点E、F,G/7分别交45、

£心于点G、H,求证：—=—；

GHAD

【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿切折叠，使得点B和点D重合，若他=2,

BC=3.求折痕斯的长；

【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿所折叠.使得点。落在池边上的点G处，点

C落在点P处，得到四边形EFPG,若A8=2,BC=3,EF=^^-,请求3尸的长.

3

图①图②图③

22.（10分）抛物线丫=62?_6+〃交x轴于A,3两点（A在5的左边），交y轴于C,直

线y=-x+4经过5,C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,P为直线3c上方的抛物线上一点，PO//y轴交3c于。点，过点。作

DELAC于E点.设〃7=尸。+3£>£,求机的最大值及此时P点坐标：

21

（3）如图2,点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线

上点用处，且N/WM+Z4CW=18O。，求N点坐标.

图1图2

2021年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、本部分共10小题，每小题3分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的.

1.（3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）

A.B.C,D

【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，，此图形是轴对称图

形，也是中心对称图形，故此选项正确；

3、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，，此图形不是轴对称图形，是中

心对称图形，故此选项错误.

C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，，此图形是轴对称图形，旋转180。

不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；

。、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，，此图形不是轴对称图形，是中

心对称图形，故此选项错误.

故选：A.

2.（3分）电影《流浪地球》中的行星发动机利用重核聚变技术，可以直接利用石头作为燃

料，每座发动机产生150亿吨推力，请用科学记数法表示150亿为（）

A.150x1（）9B.1.5x10'°C.1.5x10"D.1.5xlO12

【解答】解：150亿1.5xl（y°.

故选：B.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a2+2a=3a3B.（-2a3）2=4a5

C.（a+2）（a-i）=a2+a-2D.（a+b）2=a2+b2

【解答】解：A.a?与2a不能合并，所以A选项的计算错误;

B.原式=4不,所以3选项的计算错误；

C.原式=〃+“—2,所以C选项的计算正确；

D.(a+b-)2=a2+2ab+b2,所以。选项的计算错误.

故选：c.

4.（3分）某校八年级三班进行中国诗词知识竞赛，共有10组题目，该班得分情况如下表:

人数25131073

成绩（分）5065768092100

全班40名同学的成绩的众数和中位数分别是（）

A.76,78B.76,76C.80,78D.76,80

【解答】解：这组数据的众数为76,

•.•共有2+5+13+10+7+3=40个数据，

...中位数为差上色=78,

2

故选：A.

5.（3分）已知直线机//〃，将一块含45。角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边〃。

与直线〃交于点。.若Nl=25。，则N2的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：设4?与直线〃交于点石,

则ZA£E>=Z14-ZB=25O+45O=70O.

又直线机//九，

.-.Z2=ZA£D=70°.

6.（3分）已知方程组+="的解满足x+y=3,则&的值为（）

[2x+y=\

A.10B.8C.2D.-8

x+2y=k①

【解答】解：由题意可得卜x+y=l②，

x+y=3③

2x①-②得y=4」，

②一③得x=—2,

代入③得y=5,

71

则々」=5,

33

解得％=8.

故选：B.

7.（3分）下列命题正确的是（）

A.方程f-x+l=O有两个不相等实数根

B.对角线相等的四边形是矩形

C.平分弦的直径垂直于弦

D.等腰三角形底边上的中线平分顶角

【解答】解：A.方程9一犬+1=（）中，△=i-4=-3<0,所以方程没有实数根，故本选项

错误；

B.对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；

C.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故本选项错误；

D.等腰三角形底边上的中线平分顶角，故本选项正确.

故选：D.

8.（3分）菱形的一条对角线的长为6,边他的长是方程V—7x+12=0的一个根,

则菱形43co的周长为（）

A.16B.12C.12或16D.无法确定

【解答】解：vx2-7x+12=0,

/.（x-3）（x-4）=0,

二.玉=3,x,=4,

当与=3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3,3不能组成三角形，即不存

在菱形，舍去;

当刍=4时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边4,4能组成三角形，即存在菱

形，.•.菱形的周长为4x4=16.

故选：A.

9.(3分)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,按以下步骤作图：①以点A为

圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC,A3于N两点；②分别以点N为圆心，

大于＞MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP,交BC于点E.则tanNBAE=(

2

)

【解答】解：由作法得AP平分NB4C,

作E”_L/W于"，如图，

•.•AE为角平分线，ECA.AC,EHYAB,

:.EC=EH,

vZACB=90%AC=8C,

.•4=45。，AB=y/2BC,

为等腰直角三角形，

:.BH=EH=®BE,

2

设E〃=x,贝lj3"=EC=x,BE=42x,

BC=(72+1)X,

AB=y/2BC=(2+yf2)x,

AH=AB-BH=(6+l)x,

FHxi—

在RtAAEH中，tanZWAE=——=—^------=V2-1.

AH(V2+l)x

故选：A.

10.（3分）如图，如图正方形ABCD内一点E,满足ACD石为正三角形，直线AE交5c于

F点、,过七点的直线G"_LAF,交AB于点G,交CD于点H.以下结论:

①ZAFC=105。；②GH=2EF；③CCE=EF+EH；®-=-

EH3

C.①④D.①②③④

【解答】解：・・・△（»£为正三角形,

ZCD£=60°,

.•.ZA£>E=90°-60°=30°,

・.・AD=DE=CD,

・•.ZDAE=NDEA=；(180°-30°)=75°,

.­.ZBAF=90o-75o=15°,

/.ZAFC=90o+15o=105o,故①正确；

过点H作收_LAB,则收=AZ),

-GH1.AF,

.•.NBAF+NAGE=90。，

又•・•ZAGE+NKHG=90°，

：.ZBAF=ZKHG,

在AAB厂和AWKG中，

NBAF=NKHG

<NB=NHKG=90。，

HK=AB

/.^ABF=^HKG(AAS)，

..AF=GH,

・.・AC。石为正三角形，

点石在CO的垂直平分线上，

根据平行线分线段成比例定理，点石是诙的中点，

:.AF=2EF,

:.GH=2EF,故②正确；

\-GH-LAF,ZDEA=75°,

:.ZDEH=90°-75°=15°,

.-.ZCE//=60°-15°=45°,

.*.ZCEF=90°-45°=45°,

过点尸作fM_LCE于过点H作HN上CE于N,

则"F=£M，NH=EN，

,/ACDE是等边三角形，

:./DCE=60。,

/.ZECF=90°-60。=30。，

/.CM=6MF,NH=0CN,

:.CE=y/3MF+MF=y/3CN+CN,

:.MF=CN,

.「匚啦b,V2

..CE——EFH-----EH，

22

/.>J2CE=EF+EH,故③正确；

空=空=毒尸=乌故④错误.

EHEHgCN/3

综上所述，正确的结论是①②③.

故选：A.

二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)

11.(3分)因式分解：3f—12=_3(x+2)(x—2)

【解答】解:原式=3(炉一4)

=3(x+2)(x-2).

故答案为：3(x+2)(x-2).

12.(3分)若庄2有意义，则”的取值范围为原4且〃工-2

a+2一—一

【解答】解：依题意得：4-a.O且a+2wO,

解得4,4且aw-2.

故答案是：出4且ar—2.

13.(3分)从-1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为(x,y),

则点M在直线/：y=-x上的概率为-.

-3-

【解答】解：根据题意画图如下：

得到点M的坐标分别是(-1,1)(-1,2)(1,-1)(1,2)(2,-1)(2,1),

共有6个等可能的结果，点M在直线/:y=-x上的结果有2个，

71

.•.点/在直线/:y=-x上的概率为士=上，

63

故答案为：--

3

14.(3分)矩形ABCD中，43=4,BC=6,点石为的中点，沿AE将八4E8翻折得

4

至五,sinZFCE=-.

一5一

过石作团_LCF于"，

由折叠的性质得：BE=EF,/BEA=NFEA,

・・•点七是8C的中点，

:.CE=BE=3,

:.EF=CE=3,

/FEH=/CEH,

.•.ZAEB+NCEH=90。,

在矩形ABC。中，

vZB=90°,

.•.NBAE+ZBEA=90。,

：.ZBAE=ZCEH,4B=4EHC,

:.^ABES^EHC,

AB_AE

，~EH~~CE'

・・•AE=yl42+32=5,

12

EH=—，

5

.“厂EH4

sinZ-ECr==—・

CE5

故答案为：—.

5

a

15.(3分)如图，反比例函数y=±(x>0)的图象与矩形AS。。的边AB交于点G,与边BC

x

交于点。，过点A,。作。£7/Af\交直线y="(RvO)于点E,F,若OE=OF,

8G=6GA,则四边形史尸的面积为_3+3/_.

【解答】解：延长DE交x轴于K,作。，J_04于

33

设G(a,±),贝=AG=~,

aa

•/BG=y/3GA,

BG=—,

a

DH=AB=AG+BG=3+^,

a

•:DE//AF,

：.ZEKO=ZFAO,

在AOEK和AOE4中，

ZEKO=ZFAO

<NEOK=ZFOA,

OE=OF

\OEK=\OFA{AAS),

..OK=OA=a,

AK=26f,

113+3近/-

S四边形ADEF=S四边形AOEO+S*KKO=SMOK=—AKDH=~x.2ax-=3+3J3.

故答案为：3+3^3.

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8

分，第20题9分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16.（5分）计算：|1-28$30。|+店-（-；尸-（5-%）°

【解答】解：原式=2x且一1+26-（一2）—1=3』.

2

（分）先化简，再求值：（）二,其中是不等式组

17.64—-1-JLx的整数

X~+XX+2x4-1

解.

【解答】解：(一^--1)^----

x~+xx~+2x+\

=|--——1]D(%+1)~

x(x+l)(x+l)(x—1)

=(_L.叶1)"^

x+1x+1(x+l)(x—1)

2

Xn(x+1)

-LJ

x+1(x+l)(x—1)

X

=-------f

x-1

2x„3%+1/。

由得，一L,xv2.5,

2x-\<4

・••X是不等式组;：_：＜+：的整数解，m+D（l）*。，

二.％=2，

,一,7

当x=2时，原式=-----=—2.

2-1

18.（8分）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢键子、跳绳

共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每

人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供

的信息解答下列各题.

学生体育活动扇形统计图

2g学生体育活动条形统计图

（2）请你估计该校约有一名学生喜爱打篮球;

（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利

用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？

【解答】解：(1)/?1=100%-14%-8%-24%-34%=20%;

•.•跳绳的人数有4人，占的百分比为8%,

(2)1500x24%=360；

故答案为：360；

(3)列表如下:

男1男2男3女

男1男2,男1男3,男1女，男1

男2男1，男2男3,男2女，男2

男3男1,男3男2,男3女，男3

女男1，女男2,女男3,女

•.•所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等.其中一男一女的情

况有6种.

抽到一男一女的概率P=-=~.

122

19.(8分)如图，A48C内接于口O,48为直径，作A8交AC于点。，延长8C,

OD交于点F,过点C作线段CE,交DF于点、B且EC=ED.

(1)求证：直线CE是口。的切线.

(2)如果04=4,£F=3,求弦AC的长.

-OF±ABf

.\ZZXM=90o,

.­.ZA+ZAZX?=90°,

•・・O4=OC,

:.ZA=ZOCA,

・•・AOCA+ZADO=90°,

・；ZADO=NCDE,

/.ZOC4+ZCD£=90°,

・・・AB为口O的直径，

・•・NA。=90。，

•••EC=ED,

NDCE=NEDC,

:.ZOCA+ZDCE=90°t

:.EC±OC,

二.EC是口O的切线；

(2)解：在RtADCF中，ZDCE+ZECF=90°,NDCE=NCDE,

/.ZCDE+ZECF=90°,

vZCE>E+ZF=90°,

;"ECF=/F,

:.EC=EF,

\'EF=3,

EC=DE=3，

:.OE=7oc2+EC2=>/42+32=5,

:.OD=OE-DE=2,

在RtAOAD中，AD=>jAO2+OD2->/42+22=25/5,

在RtAAOD和RtAACB中，

vZA=ZA,ZACB=ZAOD,

/.RtAAOEK^RtAACB,

OAAD

"~AC~~AB'

即=毡，

AC8

…16后

1.AC=-------

5

20.（9分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明

在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，

已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；

（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则

每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小

明一天通过乙灯笼获得利润y元.

①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意

得：

31204200

--------------，

xx+9

解得x=26,

经检验，x=26是原方程的解，且符合题意,

x+9=26+9=35,

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对.

（2）①y=（50+x-35）（98-2x）=-2x2+68x+1470,

答：y与尤之间的函数解析式为：y=-2x2+68x+1470.

②•.•a=-2v0,

函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=--=17,

2a

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

.”+5Q,65,

.,.兀，15,

时，y随x的增大而增大，

.,.当x=15时，y最大=2040.

15+50=65.

答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元.

21.（9分）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两

邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：

如图①，在矩形438中，EF±GH,EF分别交4）、BC于■点、E、F,GH分别交AB、

DC于点、G、H,求证：—;

GHAD

【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCO沿EF折叠，使得点5和点。重合，若他=2,

8c=3.求折痕EF的长;

【拓展运用】（3）如图③，将矩形A8C。沿比'折叠.使得点。落在A3边上的点G处，点

C落在点P处，得到四边形EFPG,若他=2,BC=3,EF=2叵，请求8P的长.

3

【解答】解：（1）：如图①，过点A作AP//防，交3c于P,过点3作8Q//G4,交CD

于Q，8Q交AP于7.

图①

・・•四边形A8CD是矩形，

：.AB//DC,ADIIBC.

，四边形屿尸、四边形都是平行四边形,

：.AP=EF,GH=BQ.

又・;GH工EF,

・,.APlBQt

：.ZBAT+ZABT=90°.

•・•四边形ABC。是矩形，

/.ZABP=ZC=90°,AD=BC,

NAB7+NC8Q=90。，

/BAP=/CBQ,

AABP^ABCQ，

APAB

~BQ~~BC9

.EFAB

GH-AD•

(2)如图②中，连接3D.

图②

•・•四边形ABC。是矩形,

...NC=90。，AB=CD=2,

,:D,3关于£F对称，

；.BD1EF,

.EF_AB

~BD~~AD'

EF2

'.芯=3，

・•.EF匹.

3

(3)如图③中，过点尸作尸〃_LEG于〃，过点尸作8于人

AED

p

图③

•.•四边形ABC。是矩形，

AB=CD=2,AD=BC=3,ZA=90°,

2M

.工

•.一_2，

DG3

/.DG=®,

AG=^DG2-AD2=V10-9=l,

由翻折可知：ED=EG,设ED=EG=x,

在RtAAEG中，•••EG2=AE2+AG2,

:.x2=AG2+AE2,

x2=(3-x)2+1,

5

/.x=一,

3

：.DE=EG=-

39

・.・FHLEG,

:・/FHG=ZHGP=/GPF=时，

二.四边形"GW是矩形,

:.FH=PG=CD=2,

EH=yjEF2-FH2=一晟=|,

52

:.GH=FP=CF=EG—EH=二一一=1，

33

,;PF//EG,EA//FB,

:.ZAEG=〃PF,

・.・NA=N/V尸=90。，

:.bAEGsHFP、

,AEAGEG

一~FJ~~PJ~~FP"

45

.3_1_3

•百一