适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学一轮总复习单元质检卷三一元函数的导数及其应用

单元质检卷三一元函数的导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=(2x-a)ex,且f'(1)=3e,则实数a的值为()A.-3 B.3 C.-1 D.12.函数f(x)=x2-2lnx在区间[1,2]上的最大值是()A.4-2ln2 B.1 C.4+2ln2 D.e2-23.(2022山东日照二模)曲线y=f(x)=lnx-2x在x=1处的切线的倾斜角为α,则cos2α的值为(A.45 B.-C.35 D.-4.幂函数f(x)的图象过点22,2,则函数g(x)=exf(x)A.(0,2)B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-2,0)D.(-∞,-2)和(0,+∞)5.曲线y=f(x)=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是()A.1 B.2 C.5 D.36.已知函数f(x)=x+acosx,对∀x1,x2∈R(x1≠x2),f(x1)-f(x2)x1A.[1-2,1+2] B.[1-2,1]C.[-1,1] D.[-1,1-2]7.(2022福建福州模拟)已知a=esin1+1esin1,b=etan2+1etan2,c=ecos3+1eA.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.c>a>b8.(2022山东泰安模拟预测)定义在(1,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x-1)·f'(x)-f(x)>x2-2x对任意x∈(1,+∞)恒成立.若f(2)=3,则不等式f(x)>x2-x+1的解集为()A.(1,2) B.(2,+∞)C.(1,3) D.(3,+∞)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如果定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间-3,-12内单调递增B.f(x)有且仅有1个极小值点C.f(x)在区间(4,5)内单调递增D.f(x)的极大值为f(2)10.已知函数f(x)=lnx-ax的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,则()A.a=2 B.b=1C.f(x)的极小值为-ln2-1 D.f(x)的极大值为-ln2-111.已知函数f(x)=lnxx-x,则下列结论错误的是(A.f(x)的单调递减区间为(0,1)B.f(x)的极小值点为1C.f(x)的极大值为-1D.f(x)的最小值为-112.已知函数f(x)=x2-ex+a有两个极值点x1与x2,且x1<x2,则下列结论正确的是()A.a<ln2-1B.0<x1<1C.-1<f(x1)<0D.0<x1ex2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022河北张家口三模)函数f(x)=ex+1ln(1-x)在点(0,f(0))处的切线方程为.

14.若函数f(x)=-x2+ax在区间(-1,0)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围是.

15.(2022广东一模)已知直线y=t分别与函数f(x)=2x+1和g(x)=2lnx+x的图象交于点A,B,则|AB|的最小值为.

16.已知函数f(x)=ex-ex+a与g(x)=lnx+1x的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=3-(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间以及最大值和最小值.18.(12分)已知函数f(x)=ln(2x)-ax2.(1)若f(x)在(1,+∞)内不单调,求实数a的取值范围;(2)若a=2,求f(x)在区间12e,e219.(12分)(2022全国甲,文20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.20.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax((1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.21.(12分)(2022广东广州三模)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).(1)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,求a的取值范围;(2)若x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,求证:1<x1+x2<2lna-ln2.22.(12分)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.

单元质检卷三一元函数的导数及其应用1.D解析:因为f'(x)=(2+2x-a)ex,且f'(1)=3e,所以f'(1)=(4-a)e=3e,解得a=1,故选D.2.A解析:因为f'(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x≥0在区间[1,2]上恒成立,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,所以,当x=2时,f(3.B解析:根据已知条件,f'(x)=1x+2x2,因为曲线y=lnx-2x在x=1处的切线的倾斜角为α,所以tanα=f'(1)=1+2=3.所以cos24.D解析:设f(x)=xa,则22a=2,解得a=-2,所以g(x)=exx-2=x2ex,函数的定义域是{x∈R|x≠0},g'(x)=(x2+2x)ex,令g'(x)>0,得x<-2或x>0,所以g(x)的单调递增区间是(-∞,-2)和(0,5.C解析:因为直线2x-y+3=0的斜率为2,所以令f'(x)=22x-1=2,解得x=1.把x=1代入曲线方程得f(1)=ln(2-1)=0,即曲线f(x)过点(1,0)的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d=|2-0+3|22+(-1)2=5,即曲线6.B解析:设x1>x2,由f(x1)-f(x2)x1-x2>a2-a可得f(x1)-f(x2)>(a2-a)(x1-x2),即f(x1)-(a2-a)x1>f(x2)-(a2-a)x2.构造函数g(x)=f(x)-(a2-a)x=acosx+(1-a2+a)x,则函数g(x)在R上单调递增,g'(x)=-asinx+(1-a2+a)≥0对任意的x∈R恒成立.令t=sinx,则t∈[-1,1],所以-at+(1-a2+a)≥0在t∈[-1,1]时恒成立,所以7.B解析:设函数f(x)=ex+1ex,则f(x)为偶函数,且当x≥0时,f'(x)=ex-1所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.因为sin1<32,tan2<-1<cos3<-3所以-tan2>1>-cos3>32>sin1>又a=f(sin1),b=f(tan2)=f(-tan2),c=f(cos3)=f(-cos3),所以b>c>a.8.B解析:由(x-1)f'(x)-f(x)>x2-2x,得(x-1)·f'(x)-f(x)+1>(x-1)2,即(x-1)即f(x)-1x-1-x'>0对x∈(1,令g(x)=f(x)-1x-1-x,则g(x)因为f(2)=3,所以g(2)=0.所以f(x)>x2-x+1,即f(x即g(x)>g(2),不等式的解集为x>2.9.CD解析:由f'(x)的图象知,在区间(-∞,-2)和(2,4)内f'(x)<0,则f(x)单调递减;在区间(-2,2)和(4,+∞)上f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以f(x)的极大值为f(2),极小值为f(-2)和f(4).所以f(x)在区间-3,-12内不单调,故A项错误;f(x)有2个极小值点,故B项错误;f(x)在区间(4,5)内单调递增,故C项正确;f(x)的极大值为f(2),故D项正确.故选CD.10.ABD解析:因为f(x)=lnx-ax,所以f'(x)=1x-a.又因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,所以f(1)=-a=-b-1,f'(1)=1-a=-1,解得a=2,b=1.所以A,B正确f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-2=1-2xx.令f'(x)=0,得x=12.令f'(x)>0,得0<x<12,则f(x)在区间0,12内单调递增;令f'(x)<0,得x>12,则f(x)在区间12,+∞上单调递减,所以f(x)在x=12处取得极大值,且f12=ln12-1=-ln211.ABD解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-lnxx2-1=1-lnx-x2x2.令φ(x)=1-lnx-x2,则φ'(x)=-1x-2x<0,所以φ(x)=1-lnx-x2在(0,+∞)上单调递减.因为φ(1)=0,所以当0<x<1时,φ(x)>0;当x>1,φ(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),故f(x)12.ABC解析:f(x)=x2-ex+a,则该函数的定义域为R,f'(x)=2x-ex+a.由已知可得2所以函数f'(x)有两个正零点.由2x=ex+a,其中x>0,可得x+a=ln2+lnx,可得a=lnx-x+ln2.构造函数g(x)=lnx-x+ln2,x>0,则g'(x)=1x-1=1令g'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,所以,函数g(x)的极大值为g(1)=ln2-1,作出函数g(x)的图象,如图所示.对于A选项,当a<ln2-1时,直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点,即函数f(x)有两个极值点,A正确;对于B选项,x1,x2为直线y=a与函数g(x)图象两个交点的横坐标,因为函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且x1<x2,所以0<x1<1,x2>1,B正确;对于C选项,0<x1<1,则f(x1)=x12-ex1+a=x12-2x1=(x对于D选项,由2x所以x1ex2=x2又0<x1<1,x2>1,所以x2ex1>1,从而x1ex2故选ABC.13.ex+y=0解析:∵f(0)=0,∴切点为(0,0).∵f'(x)=ex+1ln(1-x)+1x-1·e∴f'(0)=-e,即切线的斜率为-e.故该切线方程为y=-ex,即ex+y=0.14.(-2,0)解析:二次函数f(x)=-x2+ax图象的对称轴为直线x=-a-2,即x=a2.因为函数f(x)=-x2+ax在区间(-1,0)内恰有一个极值点,所以-1<a2<0,可得-2<a<0.故实数a的取值范围是15.32-ln2解析:如图,作出函数y=g(x)=2lnx+x的图象,作直线y=2x+1,平移到与函数y=g(x)的图象相切由图象知直线y=t与这两条平行直线的交点的横坐标之差为所求最小值.由g(x)=x+2lnx,得g'(x)=1+2x令g'(x)=1+2x=2,得x=2,此时g(2)=2+即切点坐标为(2,2+2ln2).由2x+1=2+2ln2,得x=12+ln2故|AB|min=2-12+ln2=32-ln2.16.(-∞,-1]解析:由题意知,方程ex-ex+a=-lnx-1x在(0,+∞)上有解,即a=ex-ex-lnx-1x在(0,+∞)上有解.令h(x)=ex-ex-lnx-1x,x>0,则h'(x)=e-ex-1x+1x2=e-ex+1-xx2,显然h'(1)=0,且当0<x<1时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,因此h(x)在x=1处取得极大值亦即最大值h(1)=-1,所以h(x)的值域为(-∞,17.解(1)当a=0时,f(x)=3-2xx2,则f'(x)=2(x-3)此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.(2)因为f(x)=3-所以f'(x)=-2由题意可得f'(-1)=2(4-a)故f(x)=3-2xx2+4,f'(xx(-∞,-1)-1(-1,4)4(4,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(4,+∞),单调递减区间为(-1,4).当x<32时,f(x)>0;当x>32时,f(x)<0.所以,f(x)max=f(-1)=1,f(x)min=f(4)=-18.解(1)f'(x)=1-2ax2x,因为f(x)在所以关于x的方程1-2ax2=0在(1,+∞)内有解,所以1-2a>0,a>(2)因为a=2,所以f'(x)=(1令f'(x)>0,得12e≤x<12;令f'(x)<0,得12<x所以f(x)在区间12e,12上单调递增,在区间12,e2上单调递减,所以f(x)max=f12因为f12e=-1-12e2,fe2=1-e22,且f12e-fe2=e22-2-所以f(x)在12e,e2上的值域为1-e22,-19.解(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故曲线y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又直线y=2x+2与曲线y=g(x)相切,将y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.(2)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(x1)=3x12-1,则曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线为y-x1由g(x)=x2+a,得g'(x)=2x.设曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线为y-(x22+a)=2x2(x-x整理得y=2x2x-x22由题可得3∴a=x22-2令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1).当x<-13或0<x<1时,h'x<0,函数hx单调递减当-13<x<0或x>1时,h'x>0,函数hx单调递增又h-13=2027,h(0)=∴hxmin=h(1)=-∴a≥-44=-1,即a的取值范围为[-1,+∞20.解(1)当a=2时,f(x)=x22x(f'(x)=2x当x∈0,2ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈2ln2,+∞时,f'(x)<所以函数f(x)的单调递增区间为0,2ln2,单调递减区间为2ln2,+∞.(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,则转化为方程xaax=1(x>即方程lnxx令g(x)=lnxx(x>0),即函数g(x)=lnxx的图象与直线g'(x)=1-lnxx令g'(x)=1-lnxx2=当0<x<e时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,故g(x)max=g(e)=1e因为当0<x<1时,g(x)∈(-∞,0);当x>1时,g(x)∈0,1e,g(1)=0,所以要使函数g(x)的图象与直线y=lnaa有两个交点,则0<ln所以a>1且a≠e.故a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).21.(1)解函数f(x)=ex-ax,则f'(x)=ex-a2①若a≤0,则∀x>0都有f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)为增函数,符合题意.②若a>0,因为f(x)在(0,+∞)为增函数,所以∀x>0,f'(x)≥0恒成立,即∀x>0,a≤2x·ex恒成立,令φ(x)=2x·ex,则φ'(x)=2exx+12x所以函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,φ(x)>φ(0)=0,所以a≤0,这与a>0矛盾,所以舍去.综上,a的取值范围是(-∞,0].(2)证明因为x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,所以ex1=ax1显然x1>0,x2>0,则