2022-2023学年宁夏六盘山高一年级下册学期期末测试数学试题【含答案】

2022-2023学年宁夏六盘山高一下学期期末测试数学试题一、单选题1．复数(是虚数单位)的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的概念确定虚部即可.【详解】由复数虚部定义及知：其虚部为.故选：C2．如图，向量，，，则向量（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减法求解即可.【详解】依题意，得，故选：C．3．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】举出的反例可判断A；举出异面的反例可判断B；根据两条平行线其中一条垂直平面，那么另外一条也垂直平面可判断C；举出平行的反例可判断D.【详解】对于A，如图，此时，A错误；对于B，如图，此时异面，B错误；对于C，由性质定理：“如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.”可知，C正确；对于D，此时，D错误.故选：C.4．从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于的概率是0.3,质量不小于的概率是0.32,那么质量在范围内的概率是A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68【答案】B【分析】根据所给质量小于的概率是0.3，质量不小于的概率是0.32，写出质量在范围内的概率，用1去减已知的概率，得到结果．【详解】记“取到质量小于的羽毛球”为事件E，“取到质量不小于的羽毛球”为事件F，“取到质量在范围内的羽毛球”为事件G.易知事件E，F，G互斥，且为必然事件，所以，即，故选：B.【点睛】本题是一个频率分布问题，主要应用在一个分布列中，所有的概率之和是1，这是经常出现的一个统计问题，常以选择和填空形式出现．5．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为，则，所以，所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故选：C6．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（

）A．至少有1名男生与全是男生；B．至少有1名男生与全是女生；C．恰有1名男生与恰有2名男生；D．至少有1名男生与至少有1名女生．【答案】C【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案.【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.故选：C.7．定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.【详解】，，又，，.故选：D.8．五月初，受疫情影响线下课暂停，某校组织学生居家通过三种方式自主学习，每种学习方式人数分布如图1所示，解封后为了解学生对这三种学习方式的满意程度，利用分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示．则下列说法中不正确的是（

）A．样本容量为240B．若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C．总体中对方式二满意的学生约为300人D．样本中对方式一满意的学生为24人【答案】B【分析】对A，根据总人数抽取4%的同学进行计算判断即可；对B，根据统计图计算样本总体满意度进行判断即可；对C，根据方式二中总人数和样本满意度计算判断即可；对D，根据满意率计算即可【详解】对A，由饼图可得总人数为，故样本容量为，故A正确；对B，当时，满意的人数为，故满意度为，故B错误；对C，总体中对方式二满意的学生约为人，故C正确；对D，样本中对方式一满意的学生为人，故D正确；故选：B9．如图，正三棱柱的棱长都相等，则二面角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，运算求解即可.【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，则，又因为平面，平面，则，可知，可得，则，所以二面角的平面角为，设，则，所以.故选：B.

10．2022年4月16号，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，为增强爱国主义教育、普及航天知识、传承中国航天精神，某校特举行“致敬航天人，筑我中国梦”演讲比赛．在演讲比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图．

①小组A打分的分值的众数为47；②小组B打分的分值第80百分位数为69；③小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值；④小组A打分的分值的方差是8．以上4个结论中正确的命题个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据众数以及百分位数，方差平均数的计算即可结合选项逐一求解.【详解】小组A打分从小到大依次为：；小组B打分从小到大依次为：.对于①，小组A打分的分值的众数为47；故①正确，对于②，由于，所以小组B打分的分值第80百分位数为第八个数70，故②错误，对于③，小组A打分的分值的平均数为，小组B打分的分值的平均数为，因为，所以小组B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，故③错误；对于④，小组A打分的分值的方差是，故④错误，故选：D.二、解答题11．已知向量，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求向量在向量上的投影向量．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再利用向量模的公式求解即可；（2）直接利用平面向量数量积的坐标运算求解即可；（3）直接利用投影向量的公式求解即可.【详解】（1）∵，，∴，∴；（2），，∴；（3）向量在向量上的投影向量为12．在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.(1)请列出所有可能的结果；(2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；(3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).【分析】（1）列举法写出所有基本事件即可；（2）求出满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求解；（3）求出满足两个球的编号之和与编号之积都不小于4的事件的个数，利用古典概型求解.【详解】（1）从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16种情况.（2）设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件，事件的所有可能的结果为：，，，，，，共6种情况，∴.（3）设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件，事件的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，共11种情况，∴.13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再使用余弦定理求出A；（2）由面积公式求出，再使用余弦定理求出，进而求出周长.【详解】（1）因为，所以，化简得，所以.因为，所以.（2）因为的面积为，所以，得.因为，，所以，整理得，解得.故的周长为.14．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为，所以.请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）0.94.【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式即可求解；（2）恰有一人破译密码有两种情况：甲破译且乙没有破译和甲没有破译且乙破译，由互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式即可求解；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，由此能求出密码被破译的概率．【详解】解：（1）由题意可知，，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥所以（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，和不是互斥事件，，小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，正确解法为：．15．如图平面，平面，与不相等，，F为的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点M，连接，根据条件得出四边形为平行四边形，从而得到，再根据线线平行得出线面平行；（2）通过条件得出，，从而得出平面，再利用（1）结果，得出平面，再由面面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】（1）由题知，，，取中点M，连接，如图：因F为的中点，则，且，于是得四边形是平行四边形，则，而平面，平面，所以平面．

（2）因平面，平面，则，又，且F为的中点，则，又，且平面BCE，所以，平面，由（1）知，则平面，又平面，所以平面平面BCE．三、填空题16．设，向量，，，且，，则.【答案】0【解析】根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示列式可解得结果.【详解】因为向量，，，且，，所以，得，，解得，所以.故答案为：0【点睛】关键点点睛：根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示求解是解题关键.17．已知事件，，两两互斥，若，，，则．【答案】【分析】先利用互斥事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式求解即可.【详解】因为事件，，两两互斥，所以，因为，所以，又因为，所以，故答案为：.18．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907，966，191，925，271，431，932，458，569，683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．【答案】/【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】由已知条件得，表示运动员三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，共三组，则由古典概型的概率公式可知，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为可知,故答案为：.19．某电池厂有A，B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次数的平均值为210，方差为4；从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为200，方差为4．则20件产品组成的总样本的方差为．（参考公式：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则；）【答案】28【分析】先求出总体的平均数，再结合方差公式，即可求解．【详解】总体的平均数，则其方差．故答案为：28．20．已知四面体的所有棱长均为2，，分别为棱，的中点，为棱AB上异于，的动点．有下列结论：①若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；②线段MN的长度为；③异面直线MN和CD所成的角为；④的最小值为2．其中正确的结论为．（填序号）【答案】②③④【分析】对于①，取的中点为，的中点为，说明四边形为平行四边形，直线与直线相交于，即可判断；对于②，解三角形求得线段的长度即可判断；对于③，取的中点为，找到则即为异面直线和所成的角或其补角，求得其大小，即可判断；对于④，将面，面展开为一个平面，即可求得的最小值，进行判断，由此可得答案．【详解】对于①，取的中点为，的中点为，连接，，，，

则，，，所以，，故四边形为平行四边形．则与交于点，故此时直线与直线相交于，因此此时直线与直线不是异面直线，故①错误；对于②，连接，，四面体的所有棱长均为2，

故，因为为中点，故．所以，故②正确；对于③，取的中点为，连接，，因为，分别为棱，的中点，

故，，．则即为异面直线和所成的角或其补角，因为，故为等腰直角三角形，则，故③正确；对于④，将面，面展开为一个平面，如图示：

当，，三点共线时，最小，因为，分别为棱，的中点，所以此时四边形为平行四边形，故，即的最小值为2，故④正确，故答案为：②③④．四、解答题21．如图，在四棱锥中，平面，且，，，M为PC中点．

(1)求证：∥平面；(2)求证：平面．(3)求直线与平面成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直的判定定理即可证明；（3）利用（2）的结论平面即可得到直线与平面成角为，在直角三角形求解即可.【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，，如图所示，因为为的中点，则，，又因为，，所以，，则四边形是平行四边形，所以，，而平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面，则，而，因此，又因为，，平面，所以平面.（3）由（2）知平面，所以是在平面上的射影，所以是与平面所成的角因为平面，且所以△为等腰直角三角形，得，由题知平面，平面，所以，则，可得，所