第二章群(练习附答案)

1.设是实数集,则对任意的,代数运算(C)(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律(C)不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律2.在群中,,的阶为12,则的阶为(B)(A)12(B)3(C)4(D)63．在7次对称群中和,则等于（A）(A)(B)(C)(D)7.在群中,,则方程和分别有唯一解为(B)(A),(B),(C),(D),8.设是正整数集,则对任意的,下面“o”是代数运算的是(B)(A)(B)(C)(D)9.设是实数集,代数运算是普通加法，下列映射是的自同构的是(D)(A)(B)(C)(D)10.在偶数阶群中阶等于2的元数为(A)(A)奇数(B)偶数(C)1(D)不可确定11．在5次对称群中元和的乘积是（D）(A)(B)(C)(D)12．若群的阶为48,的真子群的阶不可能为(C)(A)12(B)16(C)18(D)2413．群中元的阶为24中，那么的循环子群的阶为(C)(A)3(B)4(C)8(D)921．{所有整数},令:,当是偶数;,当是奇数.则为(B)(A)单射变换(B)满射变换(C)一一变换(D)不是变换22．若,且的阶为有限整数,则下列说法正确的是(A)(A)与模的剩余类加群同构(B)的阶可能无限(C)元中没有相同元(D)与整数加群同构24.设是有理数集,则对任意的,下列“o”是代数运算的是(C)(A)(B)(C)(D)25.在群中,,则方程的唯一解为(D)(A)(B)(C)(D)26．在6次对称群中的阶是（A）(A)5(B)24(C)12(D)631.设是实数集,则对任意的,代数运算(C)(A)适合结合律但不适合交换律(B)适合交换律但不适合结合律(C)不适合结合律和交换律(D)适合结合律和交换律32.设是有理数集,则对任意的,下列“o”是代数运算的是(A)(A)(B)(C)(D)33.在群中,,则方程的唯一解为(D)(A)(B)(C)(D)34．在5次对称群中的阶是（B）(A)2(B)3(C)4(D)537.在16阶循环群中,循环子群的阶为(D)(A)6(B)3(C)4(D)816.用循环置换的方法写出5次对称群的元和,并计算，，.解:，，,(或),（或）.（或）17.求出模48的剩余类加群的所有子群.这些子群是否是不变子群?解:因为为循环群,所以为交换群,又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48.所以模48的剩余类加群的所有子群为循环子群：([1]),([2]),([3]),([4]),([6]),([8]),([12]),([16]),([24]),([0]).并且这些子群都是不变子群.设群中元的阶为，试证：当且仅当.证明:必要性:设,其中为整数,,那么有,由的阶为知,即.充分性:由可设,其中为整数,那么有,8.若群的每一个元都适合方程，那么是交换群.证明:任取,可知，，,所以所以是交换群.9.证明:一个循环群必是一个交换群.证明:设循环群，任取，则有所以循环群是交换群.12.证明：有限群中元的阶都有限.证明:设是一个有限群，对任意的，则元都是中元，且其中一定有相同元.不妨设，则有，即.由且为有限正整数得的阶为有限.13.证明:阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元.证明:设是一个阶为素数的有限群,则对任意的,的循环子群有个不同的元,所以为循环群,且群中任意元都可作为群的生成元.1、设是群中的元素，且，，则。(√)2、法则不是自然数集上的一个代数运算。(√)3、设集合，则上所有对换作成的集合是次对称群的一个生成系。(√)4、设是实数集，规定：，则是上的一个等价关系。(×)5、交换群中任意两个子群的乘积仍是子群。(√)7、设是循环群中一个元素，则当且仅当。(×)8、若，则到的映射是满射当且仅当是单射。(×)3、试求置换，，的阶。4、任意集合上自身到自身的映射称之为置换。(×)5、有限群中的元素的阶一定都有限。(√)3、在群中设，则对任意整数，