中考数学综合题专题训练某以三角形为基础的综合题四某专题解析

中考数学综合题专题训练【以三角形为根底的综合题四】专题解析1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC．〔1〕如图1，当∠APB＝90°时，①求证：PC平分∠ACB；②假设PC＝6eq\r(,2)，求BC的长；〔2〕如图2，当∠APB＝60°，PC＝5eq\r(,2)时，求BC的长．AACBP图1AACBP图2〔1〕①证明：过点P分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F则四边形ECFP是矩形，∠EPF＝90°ACBP图1DEF∵∠APB＝90°，∴∠EPA＝ACBP图1DEF又PA＝PB，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴△PEA≌△PFB∴PE＝PF，∴矩形ECFP是正方形∴PC平分∠ACB②解：延长CB至D，使BD＝AC＝5，连接PD∵在四边形ACBP中，∠ACB＝∠APB＝90°∴∠PAC＋∠PBC＝180°∵∠PBD＋∠PBC＝180°，∴∠PAC＝∠PBD又PA＝PB，AC＝BD，∴△PAC≌△PBD∴PC＝PD，∠APC＝∠BPD∵∠APC＋∠BPC＝90°，∴∠BPD＋∠BPC＝90°即∠CPD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形∴CD＝eq\r(,2)PC＝12∴BC＝CD－BD＝12－5＝7ACBP图2EDAEA〔2〕以AC为边向外作等边三角形ACD，作ACBP图2EDAEA则DE＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(5,2)，CE＝EQ\F(eq\r(,3),2)AC＝EQ\F(5,2)eq\r(,3)∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形∴AB＝AP，∠BAP＝60°＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CAP又AD＝AC，∴△ADB≌△ACP∴BD＝PC＝5eq\r(,2)在Rt△BDE中，由勾股定理得：(EQ\F(5,2)2＋(EQ\F(5,2)eq\r(,3)＋BC2＝(5eq\r(,2))2，解得BC＝EQ\F(5,2)(eq\r(,7)－eq\r(,3))2．在平面直角坐标系中，点A〔5，0〕，点B在第一象限，且AB与直线l：y＝EQ\F(3,4)*平行，AB长为8，假设点P是直线l上的动点，求△PAB的切圆面积的最大值．AABOy*l解：∵AB∥直线l，点P在直线l上∴△PAB的面积S△PAB是定值设△PAB的切圆的半径为r，则S＝EQ\F(1,2)PA·r＋EQ\F(1,2)PB·r＋EQ\F(1,2)AB·r∴r＝EQ\F(2S△PAB,PA＋PB＋AB)∵AB长为8，是定值，∴当PA＋PB最小时，r最大，从而切圆面积最大作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，连接PB，则PA＋PB最小此时PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′ABOy*lB′PMABOy*lB′PMN∴直线l垂直平分线段BB′∵AB∥直线l，∴AB⊥BB′∴△ABB′是直角三角形且∠ABB′＝90°作AM⊥直线l于M，作MN⊥OA于N，设M〔m，EQ\F(3,4)m〕则ON＝m，MN＝EQ\F(3,4)m，OM＝EQ\F(5,4)m由△OAM∽△OMN，得EQ\F(AM,OA)＝EQ\F(MN,OM)＝EQ\F(3,5)∴AM＝EQ\F(3,5)OA＝EQ\F(3,5)×5＝3，∴BB′＝2AM＝6又AB＝8，∴AB′＝10∴r＝EQ\F(2S△PAB,AB＋AB′)＝EQ\F(AB·AM,AB＋AB′)＝EQ\F(8×3,8＋10)＝EQ\F(4,3)∴△PAB的切圆面积的最大值是：π×(EQ\F(4,3)2＝EQ\F(16,9)π3．△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点C作直线l∥AB．点D在线段BC上，点E在直线l上．假设∠ADE＝120°，CE＝1，求DC的长．解：①当点E在点C上方时，如图1在AC上取点F，使DF＝DC，连接DF∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°ABDCElF图1ABDCElF图1G∴∠FDC＝120°，∠DFA＝150°∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝120°∴∠DCE＝150°，∴∠DFA＝∠DCE∵∠ADE＝∠FDC＝120°∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠FDE在△ADF和△EDC中∠ADF＝∠EDC，DF＝DC，∠DFA＝∠DCE∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1∴FC＝AC－AF＝4－1＝3ABDCElF图2过D作DG⊥AC于G，则GC＝EQ\F(1,2)FCABDCElF图2∴DC＝EQ\F(GC,cos30°)＝eq\r(,3)②当点E在点C下方时i〕情形1，如图2在CA延长线上取点F，使DF＝DC，连接DF则∠F＝∠DCF＝∠DCE＝30°，∴∠FDC＝120°又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠ADC∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1∴FC＝AC＋AF＝4＋1＝5，∴DC＝EQ\F(5,3)eq\r(,3)ii〕情形2，如图3过D作DF⊥AC于F，过E作EG⊥BC于G则∠BDF＝90°＋30°＝120°又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDG＝120°－∠ADBFCBA图3lEDG∴△ADF≌△EDG，∴EQ\F(AF,DF)＝EQ\F(EGFCBA图3lEDG设DC＝*，则DG＝EQ\F(eq\r(,3),2)－*∴EQ\F(4－EQ\F(eq\r(,3),2)*,EQ\F(1,2)*)＝EQ\F(EQ\F(1,2),EQ\F(eq\r(,3),2)－*)解得*1＝EQ\F(5eq\r(,3)＋eq\r(,39),3)＞4eq\r(,3)〔舍去〕，*2＝EQ\F(5eq\r(,3)－eq\r(,39),3)综上所述，DC的长为eq\r(,3)或EQ\F(5,3)eq\r(,3)或EQ\F(5eq\r(,3)－eq\r(,39),3)4．如图1是边长分别为4eq\r(,3)和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起〔C与C′重合〕，固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F〔如图2〕．〔1〕探究线段BE与AD之间的大小关系，并证明你的结论；〔2〕将图2中的△CDE沿射线CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE记为△PQR〔如图3〕，当点Q与点F重合时停顿平移．设△PQR移动的时间为t秒，△PQR与△AFC重叠局部的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值围；〔3〕在〔2〕的条件下，如果对于同一个S的值，对应的t值恰好有两个，直接写出t的取值围．CAQCAQB图3FPRCAE′BD′(C′)图1CAEB(C′)图2DFCAQB图CAQB图1FR(P)证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60°∵∠BCE＝30°，∴∠ACE＝30°∴∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE，BE＝AD〔2〕当点R恰好落在AC上时〔如图1〕∵∠ACF＝30°，∠RPQ＝60°，∴∠PRC＝90°∴PC＝2PR＝6，QC＝6－3＝3CAQB图2FPR又∵CF＝BC·cos30°＝4eq\r(,3)×EQ\F(eq\r(,3),2)＝6CAQB图2FPR∴PC＝CF，此时点P与点F重合所需时间t1＝3÷1＝3〔秒〕当点R恰好落在AB上时〔如图2〕所需时间t2＝(6－EQ\F(3,2))÷1＝EQ\F(9,2)〔秒〕当点Q与点F重合时，所需时间t3＝6÷1＝6〔秒〕CAQB图3FPCAQB图3FPRMN①当0≤t≤3时〔如图3〕设PR、RQ分别交AC于M、N∵∠ACF＝30°，∠PQR＝60°，∴∠QNC＝30°∴QN＝QC，∠RNM＝∠QNC＝30°∴∠RMN＝90°，RN＝RQ－NQ＝RQ－QC＝3－t∴∠RM＝EQ\F(1,2)(3－t)，MN＝EQ\F(eq\r(,3),2)(3－t)CAQB图4FPRG∴S△RMN＝EQ\F(1,2)MN·RM＝EQ\F(eq\r(,3),8)(3－t)2CAQB图4FPRG而S△PQR＝EQ\F(1,2)×3×3×EQ\F(eq\r(,3),2)＝EQ\F(9eq\r(,3),4)∴S＝S△PQR－S△RMN＝EQ\F(9eq\r(,3),4)－EQ\F(eq\r(,3),8)(3－t)2即y＝－EQ\F(eq\r(,3),8)t2＋EQ\F(3eq\r(,3),4)t＋EQ\F(9eq\r(,3),8)②当3＜t≤EQ\F(9,2)时〔如图4〕设PR交AB于G，则PF＝t－3，GF＝eq\r(,3)(t－3)∴S＝S△PQR－S△PFG＝EQ\F(9eq\r(,3),4)－EQ\F(eq\r(,3),2)(t－3)2CAQB图5FPRH即y＝－EQ\F(eq\r(,3),2)t2＋3eq\r(,3)t－EQ\F(9eq\r(,3),4)CAQB图5FPRH③当EQ\F(9,2)＜t≤6时〔如图5〕设RQ交AB于H，则FQ＝6－t，HQ＝eq\r(,3)(6－t)∴S＝S△FQH＝EQ\F(eq\r(,3),2)(6－t)2〔3〕0≤t≤EQ\F(9,2)且t≠35．在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．〔1〕如图1，假设∠BAC＝30°，30°＜m＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；〔2〕如图2，假设∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值________________________；ABDC图2〔3〕如图3，假设∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使EQ\F(AE,BE)＝eq\r(,2)，假设存在，求出所有符合条件的m的值；假设不存在，请说明理由．ABDC图2ABABDC图1ABDC图3E解：〔1〕∵AB＝AD，∠BAD＝m∴∠ABD＝∠ADB＝90°－EQ\F(1,2)m∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝75°－(90°－EQ\F(1,2)m)CABD即∠DBC＝EQ\F(1,2)m－15°CABD〔2〕30°、120°、210°、300°分四种情况，如下图CABCABDCABDCAEBD〔3〕存在两个符合条件的m的值，m＝30°或m＝330°如图1，当点E在线段BC上时，作EF⊥AB于F在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°ABDCE图1F在Rt△BEF中，∵∠FBE＝45°，∴BE＝ABDCE图1F在Rt△AEF中，∵EQ\F(AE,BE)＝eq\r(,2)，∴AE＝eq\r(,2)BE＝2EF∴sinm＝EQ\F(EF,AE)＝EQ\F(1,2)，∴m＝30°ABDCE图2F如图2，当点E在ABDCE图2F则BE＝eq\r(,2)EF∵EQ\F(AE,BE)＝eq\r(,2)，∴AE＝eq\r(,2)BE＝2EF∴sin∠EAF＝EQ\F(EF,AE)＝EQ\F(1,2)，∴∠EAF＝30°∴m＝330°6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．〔1〕假设E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；〔2〕当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停顿；设△FED的面积为y，F点运动的时间为*，求y与*的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与*的函数关系式．AABCDEF图2AABCDEF图1〔1〕证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45°∴AD＝BD＝DC∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD〔2〕解：依题意有：FC＝AE＝*∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF＝S△AED＋S△ADF＝S△CFD＋S△ADF＝S△ADC＝9∴S△EDF＝S四边形AEDF－S△AEF＝9－EQ\F(1,2)(6－*)*＝EQ\F(1,2)*2－3*＋9∴y＝EQ\F(1,2)*2－3*＋9〔3〕依题意有：AF＝BE＝*－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°∴∠DAF＝∠DBE＝135°∴△ADF≌△BDE，∴S△ADF＝S△BDE∴S△EDF＝S△EAF＋S△ADB＝EQ\F(1,2)(*－6)*＋9＝EQ\F(1,2)*2－3*＋9∴y＝EQ\F(1,2)*2－3*＋97．如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D〔如图2〕，这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH〔如图3〕，我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．〔1〕假设△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为__________；〔2〕如图4，△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；〔3〕如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC＝2a，则，BC边上的高AD＝_________，正方形EFGH的对角线长为__________．图1图1图2图3图4ABDCBD(A)EFCEFHDGABC〔1〕3〔2〕作出的折合矩形EFGH为网格正方形AABCEFHG〔3〕2a，eq\r(,2)a8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1＝∠B＝∠C．ABCDABCDE1答：结论一：________________________；结论二：________________________；结论三：________________________．〔2〕假设∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时〔点D不与点B、C重合〕，ABC〔备用图ABC〔备用图〕②假设△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．〔注意：在第〔2〕小题求解过程中，假设有运用〔1〕中得出的结论，须加以证明〕〔1〕如：AB＝AC；∠BAD＝∠CDE；∠ADB＝∠DEC；∠ADC＝∠AED；△ABD∽△DCE；△ADE≌△ACD；EQ\F(AB,DC)＝EQ\F(AD,DE)＝EQ\F(BD,CE)；EQ\F(AE,AD)＝EQ\F(AD,AC)＝EQ\F(DE,CD)；等〔2〕①∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°ABCDE1∵BC＝2，∴AB＝AC＝eq\r(,ABCDE1解法一：∵∠1＋∠EDC＝∠B＋∠DAB，∠1＝∠B∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE∴EQ\F(BD,CE)＝EQ\F(AB,DC)，即BD·DC＝CE·AB设BD＝*，CE＝y，则DC＝2－*有*(2－*)＝eq\r(,2)y，即y＝－EQ\F(eq\r(,2),2)*2＋eq\r(,2)*＝－EQ\F(eq\r(,2),2)(*－1)2＋EQ\F(eq\r(,2),2)∵EQ\F(eq\r(,2),2)＜0，∴当*＝1时，y最大值＝EQ\F(eq\r(,2),2)∴CE的最大值为EQ\F(eq\r(,2),2)解法二：∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD∴EQ\F(AD,AE)＝EQ\F(AC,AD)，∴AD2＝AE·AC＝(AC－CE)·AC＝2－eq\r(,2)CE∴CE＝eq\r(,2)－EQ\F(eq\r(,2),2)AD2∴当AD最小时，CE最大由垂线段最短，可知AD⊥BC∵AB＝AC，∴D为BC的中点∵∠BAC＝90°，∴AD＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)×2＝1∴CE＝eq\r(,2)－EQ\F(eq\r(,2),2)×1＝EQ\F(eq\r(,2),2)即CE的最大值为EQ\F(eq\r(,2),2)②分三种情形加以讨论：1〕当AE＝DE时，则∠DAE＝∠1＝45°∵∠BAC＝90°，∴AD平分∠BAC∵AB＝AC，∴D为BC的中点∴BD＝EQ\F(1,2)BC＝12〕当AD＝DE时解法一：∵∠1＋∠EDC＝∠B＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB又∵∠B＝∠C，∴△ABD≌△DCE∴AB＝DC＝eq\r(,2)，∴BD＝BC－DC＝2－eq\r(,2)解法二：∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD∴△ADE∽△ACD∴当AD＝DE时，DC＝AC＝eq\r(,2)∴BD＝BC－DC＝2－eq\r(,2)2〕当AD＝AE时，则∠AED＝∠1＝45°，∠DAE＝90°∴此时点D与B重合，与题意不符，应舍去综上所述，假设△ADE是等腰三角形，则BD的长为1或2－eq\r(,2)9．〔1〕如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD·AC；〔2〕如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．假设EQ\F(AB,BC)＝EQ\F(BD,DC)＝1，求EQ\F(AF,FC)的值；〔3〕在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点〔点D不与B、C重合〕，直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．假设EQ\F(AB,BC)＝EQ\F(BD,DC)＝n，请探究并直接写出EQ\F(AF,FC)的所有可能的值〔用含n的式子表示〕，不必证明．BBFACEDBACD图①图②BACD图①〔1〕证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴BACD图①又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC∴EQ\F(AB,AC)＝EQ\F(AD,AB)，∴AB2＝AD·AC〔2〕解：方法一：如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，∴CG∥BF又∵EQ\F(AB,BC)＝EQ\F(BD,DC)＝1，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDGFEBACD图②G∴EDFEBACD图②G由〔1〕可知：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD∴EQ\F(AE,DE)＝EQ\F(AB2,BD2)＝EQ\F((2BD)2,BD2)＝4，∴AE＝4DE∴EQ\F(AE,EG)＝EQ\F(4DE,2DE)＝2又∵CG∥BF，∴EQ\F(AF,FC)＝EQ\F(AE,EG)＝2方法二：如图③，过点D作DG∥BF交AC于点GFEBACD图③G∵EQ\F(AB,BC)＝EQ\F(BD,DC)＝1，AB＝BC，BD＝DC＝EQ\F(1,2)BCFEBACD图③G∵DG∥BF，∴EQ\F(FC,FG)＝EQ\F(BC,BD)＝2，∴FC＝2FG由〔1〕可知：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD∴EQ\F(AE,ED)＝EQ\F(AB2,BD2)＝EQ\F(BC2,BD2)＝4又∵DG∥BF，∴EQ\F(AF,FG)＝EQ\F(AE,ED)＝4∴EQ\F(AF,FC)＝EQ\F(AF,2FG)＝2〔3〕①当点D在BC边上时，EQ\F(AF,FC)的值为n2＋n②当点D在BC延长线上时，EQ\F(AF,FC)的值为n2－n③当点D在CB延长线上时，EQ\F(AF,FC)的值为n－n210．〔〕*数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从AB边开场绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．〔1〕小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：假设AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；〔2〕当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进展解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF〔如图2〕；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG〔如图3〕．请你从中任选一种方法进展证明；〔3〕小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时〔如图4〕，等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？假设成立，给出证明；假设不成立，说明理由．ABCABCDEG图3ABCDEF图2ABCDEM图1AABC图4AABCDEM图1证明：〔1〕∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∴∠BAD＋∠EAC＝90°－45°＝45°，∠DAM＋∠MAE＝45°∵AD平分∠BAM，∴∠BAD＝∠DAM∴∠MAE＝∠EAC，∴AE平分∠MAC〔2〕〔法一〕小颖的方法：将△ABD沿AD对折得到△AFD，连接EF〔如图2〕由对折可得：∠BAD＝∠FAD，∠DFA＝∠B＝45°，DF＝DBABCDEF图ABCDEF图2∵AF＝AB，AB＝AC，∴AF＝AC∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEC∴∠AFE＝∠C＝45°，EF＝EC∴∠DFE＝45°＋45°＝90°∴在Rt△DEF中，DF2＋EF2＝DE2即BD2＋CE2＝DE2〔法二〕小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG〔如图3〕ABCDEG图3由旋转可得：∠GAC＝∠DAB，∠ACG＝∠B＝45°，ABCDEG图3∵∠BAD＋∠EAC＝45°，∴∠GAC＋∠EAC＝45°∴∠GAE＝∠DAE＝45°∵AE＝AE，∴△AGE≌△ADE∴GE＝DE，∠ECG＝45°＋45°＝90°∴在Rt△ECG中，CG2＋CE2＝GE2即BD2＋CE2＝DE2〔3〕等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立ABC图4－145°FED法一：将△ABC图4－145°FED则BD＝FD，AF＝AB＝AC，∠AFD＝∠ABD＝180°－45°＝135°∠FAD＝∠BAD，∠DAE＝45°∵∠EAF＝∠FAD＋45°，∠EAC＝90°＋∠BAD－45°＝∠BAD＋45°∴∠EAF＝∠EAC∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE∴EF＝EC，∠AFE＝∠C＝45°∴∠DFE＝135°－45°＝90°∴在Rt△DEF中，DF2＋EF2＝DE2即BD2＋CE2＝DE2ABC图4－245°GED法二：将△ABD绕点ABC图4－245°GED则BD＝CG，AD＝AG，∠ACG＝∠ABD＝180°－45°＝135°∠DAG＝90°，∠DAE＝45°∵∠DAE＝45°，∴∠GAE＝90°－45°∴∠DAE＝∠GAE∵AE＝AE，∴△ADE≌△AGE，∴GE＝DE∵∠ECG＝135°－45°＝90°∴在Rt△ECG中，CG2＋CE2＝GE2即BD2＋CE2＝DE211．〔模拟〕如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点〔不与A、B重合〕，过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，连接BA′．设AD＝*，△ADE的边DE上的高为y．〔1〕求y与*的函数关系式；〔2〕当*取何值时，以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；〔3〕当*取何值时，△A′DB是直角三角形？〔4〕当*取何值时，△A′DB是等腰三角形？ACACB备用图ACBEDA′解：〔1〕过A作AM⊥BC于M，交DE于N，则BM＝EQ\F(1,2)BC＝6ACBEDA′NM∵DE∥BC，∴ACBEDA′NM在Rt△ABM中，AM＝eq\r(,52－32)＝4∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(AN,AM)，∴EQ\F(*,5)＝EQ\F(y,4)∴y＝EQ\F(4,5)*〔0＜*＜5〕〔2〕∵△A′DE由△ADE折叠得到，∴A′D＝AD，A′E＝AE由〔1〕可得△ADE是等腰三角形，即AD＝AE∴AD＝A′D＝AE＝A′E，∴四边形ADA′E是菱形∴DA′∥AC，∴∠BDA′＝∠BAC∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C∴∠BDA′≠∠ABC，∠BDA′≠∠C∴有且只有当BD＝A′D时，△DBA′∽△ABC∴5－*＝*，∴*＝EQ\F(5,2)〔3〕①∵∠BDA′＝∠A≠90°，∴D不可能为直角顶点②假设∠BA′D＝90°∵四边形ADA′E是菱形，∴点A′必在DE垂直平分线上，即直线AM上∵A′N＝AN＝y＝EQ\F(4,5)*，AM＝4，∴A′M＝|4－EQ\F(8,5)*|在Rt△A′BM中，A′B2＝A′M2＋BM2＝(4－EQ\F(8,5)*)2＋32ACBEDA′NM在Rt△A′BD中，A′B2＝A′D2＋BD2＝*ACBEDA′NM∴(4－EQ\F(8,5)*)2＋32＝*2＋(5－*)2，解得*＝0〔舍去〕或*＝EQ\F(35,32)③假设∠A′BD＝90°解法一：∵∠AMB＝90°，∴△BA′M∽△ABM∴EQ\F(BA′,AB)＝EQ\F(BM,AM)，∴EQ\F(BA′,5)＝EQ\F(3,4)，∴BA′＝EQ\F(15,4)在Rt△A′BD中，A′D2＝A′B2＋BD2∴*2＝(EQ\F(15,4))2＋(5－*)2，解得*＝EQ\F(125,32)解法二：由②知，A′M＝|4－EQ\F(8,5)*|在Rt△A′BM中，A′B2＝A′M2＋BM2＝(4－EQ\F(8,5)*)2＋32在Rt△A′BD中，A′B2＝A′D2－BD2＝*2－(5－*)2∴(4－EQ\F(8,5)*)2＋32＝*2－(5－*)2，解得*＝5〔舍去〕或*＝EQ\F(125,32)综上，当*＝EQ\F(35,32)或*＝eq\f(125,32)时，△A′DB是直角三角形〔4〕①假设BD＝A′D，由〔2〕知，*＝EQ\F(5,2)②假设BD＝BA′，则BD2＝A′B2∴(5－*)2＝(4－EQ\F(8,5)*)2＋32，解得*＝0〔舍去〕或*＝EQ\F(70,39)③假设A′D＝A′B，则A′D2＝A′B2∴*2＝(4－EQ\F(8,5)*)2＋32，解得*＝5〔舍去〕或*＝EQ\F(125,39)12．〔模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是射线CA上的一个动点〔不与C、A重合〕，DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FG⊥直线AB于G点，连接EF，设AD＝*．〔1〕①假设点D在AC边上，求FG的长〔用含*的式子表示〕；②假设点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与*的函数关系式，并写出*的取值围．〔2〕假设点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP＋FP的值最小时，猜测DO与PO之间的数量关系，并加以证明．ABABC备用图AGFBEDC解：〔1〕①∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(,AC2＋BC2)＝eq\r(,82＋62)＝10AGFBEDC图1∴sinA＝EQ\F(BC,AB)＝EQ\F(6,10)＝EQ\F(3,5)，cosA＝EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(8,10)＝EQ\F(4,5)AGFBEDC图1∵∠AED＝90°，AD＝*，∴DE＝AD·sinA＝EQ\F(3,5)*∵DE⊥AB，FG⊥AB，∴FG∥DE又∵F是BD的中点，∴FG＝EQ\F(1,2)DE＝EQ\F(3,10)*②在Rt△ADE中，DE＝EQ\F(3,5)*，AE＝AD·cosA＝EQ\F(4,5)*i〕当点D在AC边上时，如图1AGFBEDC图2BE＝AB－AGFBEDC图2∴S＝EQ\F(1,2)BE·FG＝EQ\F(1,2)(10－EQ\F(4,5)*)·EQ\F(3,10)*＝EQ\F(3,25)*2－EQ\F(3,2)*〔0＜*＜8〕ii〕当点D在CA延长线上时，如图2BE＝AB＋AE＝10＋EQ\F(4,5)*∴S＝EQ\F(1,2)BE·FG＝EQ\F(1,2)(10＋EQ\F(4,5)*)·EQ\F(3,10)*＝EQ\F(3,25)*2＋EQ\F(3,2)*〔*＞0〕〔2〕猜测：DO＝3POAGFBEDCOPD′H图3证明：作点D关于AB的对称点AGFBEDCOPD′H图3则DP＋FP的值最小由〔1〕知FG＝EQ\F(1,2)DE＝EQ\F(1,2)D′E，即D′E＝2FG由△D′PE∽△FPG，得EP＝2PG＝EQ\F(2,3)EG过P作PH⊥AB交EF于H，则PH＝EQ\F(2,3)FG＝EQ\F(1,3)DE由△DOE∽△POH，得DO＝3PO13．〔模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E分别是边AB、AC上的动点．将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．〔1〕当DE∥BC时，判断以DE为直径的圆与BC的位置关系，并说明理由；〔2〕当△DEF为等腰三角形时，求AD的长；〔3〕假设以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，求AD的长；〔4〕随着点D、E的移动，点F位置也在不断变化，当点D从点B开场移动，至点E与点C重合，直接写出这一过程中点F移动的路径的长．EDEDABCFABC备用图解：〔1〕连接AF交DE于G，则AF⊥DE，AG＝FG＝EQ\F(1,2)AFEDABCFG∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，ABEDABCFG∵DE∥BC，∴AF⊥BC，△ADE∽△ABC得DE＝EQ\F(1,2)BC＝5，∴GF＝EQ\F(5,2)∵S△ABC＝EQ\F(1,2)BC·AF＝EQ\F(1,2)AB·AC∴AF＝EQ\F(AB·AC,BC)＝EQ\F(6×8,10)＝EQ\F(24,5)，∴GF＝EQ\F(1,2)AF＝EQ\F(12,5)＜EQ\F(5,2)∴以DE为直径的圆与BC相交EDABCF21〔2〕∵∠EDABCF21∴当△DEF为等腰三角形时，只能DF＝EF此时△DEF为等腰直角三角形，∠1＝45°∴∠2＝∠1＝45°，∴∠ADF＝90°∴DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴EQ\F(BD,DF)＝EQ\F(BA,AC)设AD＝*，则DF＝*，BD＝6－*∴EQ\F(6－*,*)＝EQ\F(6,8)，解得*＝EQ\F(24,7)即AD的长为EQ\F(24,7)〔3〕①当∠FDE＝∠ABC时，△FDE∽△ABC∵∠ADE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC由〔1〕知，此时AD＝EQ\F(1,2)AB＝3EDABCFG②当∠FDE＝∠ACBEDABCFG连接AF交DE于G则AF⊥DE，AG＝FG＝EQ\F(1,2)AF，∴∠DAG＋∠ADE＝90°又∠ADE＝∠FDE，∠B＋∠ACB＝90°∴∠DAG＝∠B，∴AF＝BF同理AF＝CF，∴AF＝BF＝CF＝EQ\F(1,2)BC＝5∴AG＝EQ\F(1,2)AF＝EQ\F(5,2)由△ADG∽△BCA，得EQ\F(AD,AG)＝EQ\F(BC,BA)EDABCF1F2得EQ\F(AD,EQ\F(5,2))＝EQ\F(10,6)，∴AD＝EQ\F(25,6)EDABCF1F2〔4〕4提示：当点D与点B重合时，BF1＝BA＝6∴CF1＝10－6＝4当点E与点C重合时，CF2＝CA＝8∴点F移动的路径的长为F1F2＝CF2－CF1＝8－4＝414．〔模拟〕如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是边AB上的一个动点，过点P作PD⊥AB交BC相于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC作正方形DEFG，其中D、E在边BC上，F在边AC上．〔1〕设BP的长为*，正方形DEFG的边长为y，求y关于*的函数关系式，并确定函数的定义域；〔2〕当P、G、F三点共线时，求BP的长；〔3〕P、D、G三点能否构成等腰三角形？假设能，求出BP的长；假设不能，请说明理由．BCABCA备用图BCA备用图EPDBCAFGEEPDBCAFGH解：〔1〕∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12∴BH＝HC＝6，AH＝eq\r(,AB2－BH2)＝8过A作AH⊥BC于H，则△DBP∽△ABH∴EQ\F(BD,AB)＝EQ\F(PD,AH)＝EQ\F(BP,BH)，即EQ\F(BD,10)＝EQ\F(PD,8)＝EQ\F(*,6)EPDBCAFGH∴BD＝EQ\F(5,3)*，PD＝EPDBCAFGH又∵四边形DEFG是正方形，∴EF⊥BC，EF＝DE＝y由△FCE∽△ABH，得EC＝EQ\F(3,4)y∴EQ\F(5,3)*＋y＋EQ\F(3,4)y＝12BCAHM∴y＝－EQ\F(20,21)*＋EQ\F(48,7)BCAHM当点G落在边AB上，易知△AGF∽△ABC得EQ\F(y,12)＝EQ\F(8－y,8)，即y＝EQ\F(24,5)∴－EQ\F(20,21)*＋EQ\F(48,7)＝EQ\F(24,5)，解得*＝EQ\F(54,25)过C作CM⊥AB于MEPDBCAFGH由△CBM∽△EPDBCAFGH∴EQ\F(54,25)≤*＜EQ\F(36,5)〔2〕当P、G、F三点共线时，连接PG则PG∥BD，∠PGD＝90°＝∠AHB∴∠DPG＝∠BDP＝90°－∠BAHEPDBCAFG∴△PDG∽△ABH，得EPDBCAFG由△APF∽△ABC，得EQ\F(EQ\F(4,3)y＋y,12)＝EQ\F(8－y,8)，即y＝EQ\F(72,23)∴－EQ\F(20,21)*＋EQ\F(48,7)＝EQ\F(72,23)，解得*＝EQ\F(90,23)即BP的长为EQ\F(90,23)EPDBCAFGEPDBCAFG则EQ\F(4,3)*＝－EQ\F(20,21)*＋EQ\F(48,7)，解得*＝3②假设PD＝PG，则∠PDG＝∠PGD∵∠PDG＋∠PDB＝90°，∠B＋∠PDB＝90°，∠B＝∠C∴∠PDG＝∠PGD＝∠B＝∠CEPDBCAFG∴△PDG∽△ABC，得EPDBCAFG∴EQ\F(4,3)*＝EQ\F(5,6)(－EQ\F(20,21)*＋EQ\F(48,7)，解得*＝EQ\F(180,67)③假设PG＝DG同理可得△GPD∽△ABC，GD＝EQ\F(5,6)PD＝EQ\F(10,9)*∴－EQ\F(20,21)*＋EQ\F(48,7)＝EQ\F(10,9)*，解得*＝EQ\F(216,65)15．〔模拟〕如图，直线l：y＝3*＋6与*轴、y轴分别相交于A、B两点，点C的坐标为〔8，0〕．直线l沿*轴正方向平移m个单位〔0＜m＜10〕得到直线l′，直线l′与*轴、直线BC分别相交于点D、E．〔1〕求sin∠ACB的值；〔2〕当△CDE的面积为EQ\F(15,2)时，求直线l′的解析式；EABD*Oyll′C〔3〕将△CDE沿直线l′对折得到△C′DE，记△C′DE与四边形ADEB重叠局部的面积为S，求S关于m的函数EABD*Oyll′CEABD*Oyll′C解：〔1〕∵y＝3EABD*Oyll′C∴B〔0，6〕，∴OB＝6∵C〔8，0〕，∴OC＝8∴BC＝eq\r(,62＋82)＝10∴sin∠ACB＝EQ\F(OB,BC)＝EQ\F(6,10)＝EQ\F(3,5)〔2〕∵y＝3*＋6，当y＝0时，*＝－2∴A〔－2，0〕，∴AC＝BC＝10EABDC′*Oyll′C∴S△ABC＝EQ\F(1,2)AC·OB＝EQ\F(1,2)EABDC′*Oyll′C由题意知l′∥l，∴△CDEN∽△CAB∴EQ\F(S△CDE,S△ABC)＝(EQ\F(CD,CA)2，∴EQ\F(EQ\F(15,2),30)＝(EQ\F(CD,10)2∴CD＝5，∴D〔3，0〕设直线l′的解析式为y＝3*＋b，把D〔3，0〕代入，得b＝－9∴直线l′的解析式为y＝3*－9〔3〕由〔2〕可知，当m＝5时，点C′正好落在AB上∴当5≤m＜10时，点C′在△ABCEABDC′G*Oyll′CF∴S＝S△C′DE＝S△CDE＝(EQ\F(CD,CA)2·S△ABC＝(EQ\F(10－m,10)2×30＝EQ\F(3,10)EABDC′G*Oyll′CF当0＜m＜5时，点C′在△ABC外，设C′D、C′E分别交AB于点F、G∵AC＝BC＝10，∴△ABC是等腰三角形易知△DAF、△EBG、△CDE都是与△CAB相似的等腰三角形∴S△DAF＝S△EBG＝(EQ\F(m,10)2·S△ABC＝EQ\F(3,10)m2∴S＝30－2×EQ\F(3,10)m2－EQ\F(3,10)(10－m)2＝6m－EQ\F(9,10)m2综上可知，S关于m的函数关系式如下：S＝eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(6m－EQ\F(9,10)m2〔0＜m＜5〕,EQ\F(3,10)(10－m)2〔5≤m＜10〕))显然，在5≤m＜10围，当m＝5时，S最大＝EQ\F(15,2)在0＜m＜5围，S＝6m－EQ\F(9,10)m2＝－EQ\F(9,10)(m－EQ\F(10,3)2＋10，当m＝EQ\F(10,3)时，S最大＝10∴当m＝EQ\F(10,3)时，S最大＝10易知四边形DCEC′是菱形，所以当S最大时四边形DCEC′的周长＝4×(10－m)＝4×(10－EQ\F(10,3)＝EQ\F(80,3)16．〔模拟〕车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置〔如图1中＝2\×GB3②的位置〕．例如，图2是*巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，假设GF的长度至少能到达车身宽度，则车辆就能通过．〔1〕试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；〔2〕为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧〔EQ\o\ac(MM′,\s\up9(︵))和EQ\o\ac(NN′,\s\up9(︵))分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧〕，具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值．图2D图2DBAGCEF图3NOMM′N′=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③图1DBAGCEFH解：〔1〕作FH⊥EC于HDBAGCEFH∴EF＝4eq\r(2)．且∠GEC＝45°∵GC＝EQ\F(1,2)DC＝4，∴GE＝GC＝4∴GF＝4eq\r(2)－4＜3，即GF的长度未到达车身宽度∴消防车不能通过该直角转弯〔2〕假设C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形∴OG＝4，OM＝4eq\R(,2)DBAECNOMM′N′GF∴DBAECNOMM′N′GF∴FG＝8－4eq\R(,2)＜3．∴C、D在EQ\o\ac(MM′,\s\up9(︵))上连接OC，设ON＝*在Rt△OCG中，OG＝*＋3，OC＝*＋4，CG＝4由勾股定理得(*＋3)2＋42＝(*＋4)2解得*＝4.5即ON的最小值为4.5米17．〔模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB中点，以O为坐标原点，*轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与*轴交于点N．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q．〔1〕证明：△OMP∽△ONQ；ABPC*OMyQN〔2〕假设∠A＝60°，AB＝4，设点P的横坐标为*，PQ长为y．ABPC*OMyQN〔3〕假设∠A＝60°，AB＝4，当△PQC的面积为EQ\F(eq\r(,3),2)时，求CP的长．〔1〕证明：由题意知∠POQ＝∠MON＝90°∴∠PON＋∠QON＝90°，∠POM＋∠PON＝90°∴∠QON＝∠POM∵ON∥AC，OM∥BC，且∠C＝90°，∴∠OMP＝∠ONQ＝90°ABPC*OABPC*OMyQN〔2〕解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝4∴AC＝2，BC＝2eq\r(,3)∵O是AB的中点，且ON∥AC，OM∥BC∴OM＝eq\r(,3)，ON＝1则P〔*，－eq\r(,3)〕，CP＝1－*由△OMP∽△ONQ，得EQ\F(OM,ON)＝EQ\F(MP,NQ)∴NQ＝EQ\F(MP·ON,OM)＝EQ\F(|*|,eq\r(,3))，CQ＝EQ\F(*,eq\r(,3))＋eq\r(,3)在Rt△CPQ中，y＝PQ＝eq\r(,CP2＋CQ2)＝eq\r(,(1－*)2＋(EQ\F(*,eq\r(,3))＋eq\r(,3))2)＝EQ\F(2,3)eq\r(,3*2＋92)即y关于*的函数关系为y＝EQ\F(2,3)eq\r(,3*2＋92)〔－1≤*≤1〕〔3〕①当点Q在边BC上时ABPC*OMyQN由〔2〕知，CP＝1－*，CQ＝EQ\F(*,eq\r(,3))＋eq\r(,3)ABPC*OMyQN∴S△PQC＝EQ\F(1,2)CP·CQ＝EQ\F(1,2)(1－*)(EQ\F(*,eq\r(,3))＋eq\r(,3))＝EQ\F(eq\r(,3),2)解得*1＝0，*2＝－2∴CP＝1或3②当点Q在BC延长线上时易知，CP＝1－*，CQ＝－EQ\F(*,eq\r(,3))－eq\r(,3)∴S△PQC＝EQ\F(1,2)CP·CQ＝EQ\F(1,2)(1－*)(－EQ\F(*,eq\r(,3))－eq\r(,3))＝EQ\F(eq\r(,3),2)解得*1＝－1－eq\r(,7)，*2＝－1＋eq\r(,7)∵－EQ\F(*,eq\r(,3))－eq\r(,3)＞0，∴*＜－3∴*＝－1＋eq\r(,7)不合题意，应舍去，∴*＝－1－eq\r(,7)∴CP＝2＋eq\r(,7)综上所述，当△PQC的面积为EQ\F(eq\r(,3),2)时，CP的长为1或3或2＋eq\r(,7)EABCFPDG18．〔模拟〕如图，线段AB长为12，点C、D在线段AB上，且AC＝DB＝2．动点P从点C出发沿线段CD向点D移动〔移动到点D停顿〕，分别以AP、BP为斜边在线段AB同侧作等腰Rt△AEP和等腰Rt△BFP，连接EFEABCFPDG〔1〕求线段EF长的最小值；〔2〕当*为何值时，△EPF的外接圆与AB相切；〔3〕求四边形AEFB的面积y与*的函数关系式；〔4〕设EF的中点为G，直接写出整个运动过程中点G移动的路径的长．解：〔1〕作EH⊥AB于H，FK⊥AB于K，EL⊥FK于LEABCFPDGHKLMN∵AP＝*，∴EABCFPDGHKLMNEH＝EQ\F(1,2)AP＝EQ\F(1,2)*，FK＝EQ\F(1,2)PB＝EQ\F(1,2)(12－*)＝6－EQ\F(1,2)*EL＝HK＝HP＋PK＝EQ\F(1,2)AP＋EQ\F(1,2)PB＝6∴FL＝FK－LK＝FK－EH＝6－EQ\F(1,2)*－EQ\F(1,2)*＝6－*∴EF2＝EL2＋FL2＝62＋(6－*)2当*＝6时，EF2有最小值36∴线段EF长的最小值是6〔2〕作GM⊥AB于M，则GM＝EQ\F(1,2)(EH＋FK)＝3可见在点P由点C向点D移动过程中，点G到AB的距离始终为3，而由〔1〕知线段EF的长随*的变化而变化，当*＝6，即点P运动到AB中点时，EF＝6＝2GM，而由题意可得∠EPF＝90°，△EPF是直角三角形，所以点G是△EPF外接圆的圆心，只有此时△EPF的外接圆才与AB相切∴当*＝6时，△EPF的外接圆与AB相切〔3〕延长AE、BF交于点H易知△ANB是等腰直角三角形，四边形PENF是矩形∴S四边形AEFB＝S△ANB－S△ENF＝S△ANB－S△EPF＝EQ\F(1,2)×12×6－EQ\F(1,2)·EQ\F(eq\r(,2),2)*·EQ\F(eq\r(,2),2)(12－*)＝EQ\F(1,4)*2－3*＋36即y＝EQ\F(1,4)*2－3*＋36〔4〕由〔2〕知点G到AB的距离始终为3，所以随着点P的移动，点G的移动路径是一条平行于AB的线段∵AB＝12，AC＝DB＝2，∴AD＝10∵点P在线段CD上，∴2≤*≤10∵AM＝AH＋HM＝EQ\F(1,2)AP＋EQ\F(1,2)HK＝EQ\F(1,2)*＋3∴当*＝2时，AM＝4；当*＝10时，AM＝8∴点G移动的路径长为8－4＝419．〔模拟〕在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CB、CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．〔1〕假设BD＝AC，AE＝CD，在图1中画出符合题意的图形，直接写出∠APE的度数；〔2〕假设AC＝EQ