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文档简介
中考数学综合题专题训练【以三角形为根底的综合题四】专题解析1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB,连接PC.〔1〕如图1,当∠APB=90°时,①求证:PC平分∠ACB;②假设PC=6eq\r(,2),求BC的长;〔2〕如图2,当∠APB=60°,PC=5eq\r(,2)时,求BC的长.AACBP图1AACBP图2〔1〕①证明:过点P分别作AC、BC的垂线,垂足为E、F则四边形ECFP是矩形,∠EPF=90°ACBP图1DEF∵∠APB=90°,∴∠EPA=ACBP图1DEF又PA=PB,∠PEA=∠PFB=90°,∴△PEA≌△PFB∴PE=PF,∴矩形ECFP是正方形∴PC平分∠ACB②解:延长CB至D,使BD=AC=5,连接PD∵在四边形ACBP中,∠ACB=∠APB=90°∴∠PAC+∠PBC=180°∵∠PBD+∠PBC=180°,∴∠PAC=∠PBD又PA=PB,AC=BD,∴△PAC≌△PBD∴PC=PD,∠APC=∠BPD∵∠APC+∠BPC=90°,∴∠BPD+∠BPC=90°即∠CPD=90°,∴△PCD是等腰直角三角形∴CD=eq\r(,2)PC=12∴BC=CD-BD=12-5=7ACBP图2EDAEA〔2〕以AC为边向外作等边三角形ACD,作ACBP图2EDAEA则DE=EQ\F(1,2)AC=EQ\F(5,2),CE=EQ\F(eq\r(,3),2)AC=EQ\F(5,2)eq\r(,3)∵PA=PB,∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形∴AB=AP,∠BAP=60°=∠DAC,∴∠DAB=∠CAP又AD=AC,∴△ADB≌△ACP∴BD=PC=5eq\r(,2)在Rt△BDE中,由勾股定理得:(EQ\F(5,2)2+(EQ\F(5,2)eq\r(,3)+BC2=(5eq\r(,2))2,解得BC=EQ\F(5,2)(eq\r(,7)-eq\r(,3))2.在平面直角坐标系中,点A〔5,0〕,点B在第一象限,且AB与直线l:y=EQ\F(3,4)*平行,AB长为8,假设点P是直线l上的动点,求△PAB的切圆面积的最大值.AABOy*l解:∵AB∥直线l,点P在直线l上∴△PAB的面积S△PAB是定值设△PAB的切圆的半径为r,则S=EQ\F(1,2)PA·r+EQ\F(1,2)PB·r+EQ\F(1,2)AB·r∴r=EQ\F(2S△PAB,PA+PB+AB)∵AB长为8,是定值,∴当PA+PB最小时,r最大,从而切圆面积最大作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,连接PB,则PA+PB最小此时PA+PB=PA+PB′=AB′ABOy*lB′PMABOy*lB′PMN∴直线l垂直平分线段BB′∵AB∥直线l,∴AB⊥BB′∴△ABB′是直角三角形且∠ABB′=90°作AM⊥直线l于M,作MN⊥OA于N,设M〔m,EQ\F(3,4)m〕则ON=m,MN=EQ\F(3,4)m,OM=EQ\F(5,4)m由△OAM∽△OMN,得EQ\F(AM,OA)=EQ\F(MN,OM)=EQ\F(3,5)∴AM=EQ\F(3,5)OA=EQ\F(3,5)×5=3,∴BB′=2AM=6又AB=8,∴AB′=10∴r=EQ\F(2S△PAB,AB+AB′)=EQ\F(AB·AM,AB+AB′)=EQ\F(8×3,8+10)=EQ\F(4,3)∴△PAB的切圆面积的最大值是:π×(EQ\F(4,3)2=EQ\F(16,9)π3.△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4.过点C作直线l∥AB.点D在线段BC上,点E在直线l上.假设∠ADE=120°,CE=1,求DC的长.解:①当点E在点C上方时,如图1在AC上取点F,使DF=DC,连接DF∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=30°ABDCElF图1ABDCElF图1G∴∠FDC=120°,∠DFA=150°∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAC=120°∴∠DCE=150°,∴∠DFA=∠DCE∵∠ADE=∠FDC=120°∴∠ADF=∠EDC=120°-∠FDE在△ADF和△EDC中∠ADF=∠EDC,DF=DC,∠DFA=∠DCE∴△ADF≌△EDC,∴AF=CE=1∴FC=AC-AF=4-1=3ABDCElF图2过D作DG⊥AC于G,则GC=EQ\F(1,2)FCABDCElF图2∴DC=EQ\F(GC,cos30°)=eq\r(,3)②当点E在点C下方时i〕情形1,如图2在CA延长线上取点F,使DF=DC,连接DF则∠F=∠DCF=∠DCE=30°,∴∠FDC=120°又∵∠ADE=120°,∴∠ADF=∠EDC=120°-∠ADC∴△ADF≌△EDC,∴AF=CE=1∴FC=AC+AF=4+1=5,∴DC=EQ\F(5,3)eq\r(,3)ii〕情形2,如图3过D作DF⊥AC于F,过E作EG⊥BC于G则∠BDF=90°+30°=120°又∵∠ADE=120°,∴∠ADF=∠EDG=120°-∠ADBFCBA图3lEDG∴△ADF≌△EDG,∴EQ\F(AF,DF)=EQ\F(EGFCBA图3lEDG设DC=*,则DG=EQ\F(eq\r(,3),2)-*∴EQ\F(4-EQ\F(eq\r(,3),2)*,EQ\F(1,2)*)=EQ\F(EQ\F(1,2),EQ\F(eq\r(,3),2)-*)解得*1=EQ\F(5eq\r(,3)+eq\r(,39),3)>4eq\r(,3)〔舍去〕,*2=EQ\F(5eq\r(,3)-eq\r(,39),3)综上所述,DC的长为eq\r(,3)或EQ\F(5,3)eq\r(,3)或EQ\F(5eq\r(,3)-eq\r(,39),3)4.如图1是边长分别为4eq\r(,3)和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起〔C与C′重合〕,固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD、BE,CE的延长线交AB于F〔如图2〕.〔1〕探究线段BE与AD之间的大小关系,并证明你的结论;〔2〕将图2中的△CDE沿射线CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE记为△PQR〔如图3〕,当点Q与点F重合时停顿平移.设△PQR移动的时间为t秒,△PQR与△AFC重叠局部的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值围;〔3〕在〔2〕的条件下,如果对于同一个S的值,对应的t值恰好有两个,直接写出t的取值围.CAQCAQB图3FPRCAE′BD′(C′)图1CAEB(C′)图2DFCAQB图CAQB图1FR(P)证明:∵△ABC,△CDE都是等边三角形∴AC=BC,DC=EC,∠DCE=∠ACB=60°∵∠BCE=30°,∴∠ACE=30°∴∠ACD=30°,∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE,BE=AD〔2〕当点R恰好落在AC上时〔如图1〕∵∠ACF=30°,∠RPQ=60°,∴∠PRC=90°∴PC=2PR=6,QC=6-3=3CAQB图2FPR又∵CF=BC·cos30°=4eq\r(,3)×EQ\F(eq\r(,3),2)=6CAQB图2FPR∴PC=CF,此时点P与点F重合所需时间t1=3÷1=3〔秒〕当点R恰好落在AB上时〔如图2〕所需时间t2=(6-EQ\F(3,2))÷1=EQ\F(9,2)〔秒〕当点Q与点F重合时,所需时间t3=6÷1=6〔秒〕CAQB图3FPCAQB图3FPRMN①当0≤t≤3时〔如图3〕设PR、RQ分别交AC于M、N∵∠ACF=30°,∠PQR=60°,∴∠QNC=30°∴QN=QC,∠RNM=∠QNC=30°∴∠RMN=90°,RN=RQ-NQ=RQ-QC=3-t∴∠RM=EQ\F(1,2)(3-t),MN=EQ\F(eq\r(,3),2)(3-t)CAQB图4FPRG∴S△RMN=EQ\F(1,2)MN·RM=EQ\F(eq\r(,3),8)(3-t)2CAQB图4FPRG而S△PQR=EQ\F(1,2)×3×3×EQ\F(eq\r(,3),2)=EQ\F(9eq\r(,3),4)∴S=S△PQR-S△RMN=EQ\F(9eq\r(,3),4)-EQ\F(eq\r(,3),8)(3-t)2即y=-EQ\F(eq\r(,3),8)t2+EQ\F(3eq\r(,3),4)t+EQ\F(9eq\r(,3),8)②当3<t≤EQ\F(9,2)时〔如图4〕设PR交AB于G,则PF=t-3,GF=eq\r(,3)(t-3)∴S=S△PQR-S△PFG=EQ\F(9eq\r(,3),4)-EQ\F(eq\r(,3),2)(t-3)2CAQB图5FPRH即y=-EQ\F(eq\r(,3),2)t2+3eq\r(,3)t-EQ\F(9eq\r(,3),4)CAQB图5FPRH③当EQ\F(9,2)<t≤6时〔如图5〕设RQ交AB于H,则FQ=6-t,HQ=eq\r(,3)(6-t)∴S=S△FQH=EQ\F(eq\r(,3),2)(6-t)2〔3〕0≤t≤EQ\F(9,2)且t≠35.在等腰△ABC中,AB=AC,边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD.〔1〕如图1,假设∠BAC=30°,30°<m<180°,连接BD,请用含m的式子表示∠DBC的度数;〔2〕如图2,假设∠BAC=60°,0°<m<360°,连接BD、DC,直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值________________________;ABDC图2〔3〕如图3,假设∠BAC=90°,射线AD与直线BC相交于点E,是否存在旋转角度m,使EQ\F(AE,BE)=eq\r(,2),假设存在,求出所有符合条件的m的值;假设不存在,请说明理由.ABDC图2ABABDC图1ABDC图3E解:〔1〕∵AB=AD,∠BAD=m∴∠ABD=∠ADB=90°-EQ\F(1,2)m∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=75°-(90°-EQ\F(1,2)m)CABD即∠DBC=EQ\F(1,2)m-15°CABD〔2〕30°、120°、210°、300°分四种情况,如下图CABCABDCABDCAEBD〔3〕存在两个符合条件的m的值,m=30°或m=330°如图1,当点E在线段BC上时,作EF⊥AB于F在△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=45°ABDCE图1F在Rt△BEF中,∵∠FBE=45°,∴BE=ABDCE图1F在Rt△AEF中,∵EQ\F(AE,BE)=eq\r(,2),∴AE=eq\r(,2)BE=2EF∴sinm=EQ\F(EF,AE)=EQ\F(1,2),∴m=30°ABDCE图2F如图2,当点E在ABDCE图2F则BE=eq\r(,2)EF∵EQ\F(AE,BE)=eq\r(,2),∴AE=eq\r(,2)BE=2EF∴sin∠EAF=EQ\F(EF,AE)=EQ\F(1,2),∴∠EAF=30°∴m=330°6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.〔1〕假设E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;〔2〕当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停顿;设△FED的面积为y,F点运动的时间为*,求y与*的函数关系式;〔3〕在〔2〕的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与*的函数关系式.AABCDEF图2AABCDEF图1〔1〕证明:∵∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°∴AD=BD=DC∵AE=CF,∴△AED≌△CFD〔2〕解:依题意有:FC=AE=*∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴S△EDF=S四边形AEDF-S△AEF=9-EQ\F(1,2)(6-*)*=EQ\F(1,2)*2-3*+9∴y=EQ\F(1,2)*2-3*+9〔3〕依题意有:AF=BE=*-6,AD=DB,∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135°∴△ADF≌△BDE,∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=EQ\F(1,2)(*-6)*+9=EQ\F(1,2)*2-3*+9∴y=EQ\F(1,2)*2-3*+97.如图1,过△ABC的顶点A作高AD,将点A折叠到点D〔如图2〕,这时EF为折痕,且△BED和△CFD都是等腰三角形,再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠,使B、C两点都与点D重合,得到一个矩形EFGH〔如图3〕,我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形.〔1〕假设△ABC的面积为6,则折合矩形EFGH的面积为__________;〔2〕如图4,△ABC,在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH;〔3〕如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,则,BC边上的高AD=_________,正方形EFGH的对角线长为__________.图1图1图2图3图4ABDCBD(A)EFCEFHDGABC〔1〕3〔2〕作出的折合矩形EFGH为网格正方形AABCEFHG〔3〕2a,eq\r(,2)a8.如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.ABCDABCDE1答:结论一:________________________;结论二:________________________;结论三:________________________.〔2〕假设∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时〔点D不与点B、C重合〕,ABC〔备用图ABC〔备用图〕②假设△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.〔注意:在第〔2〕小题求解过程中,假设有运用〔1〕中得出的结论,须加以证明〕〔1〕如:AB=AC;∠BAD=∠CDE;∠ADB=∠DEC;∠ADC=∠AED;△ABD∽△DCE;△ADE≌△ACD;EQ\F(AB,DC)=EQ\F(AD,DE)=EQ\F(BD,CE);EQ\F(AE,AD)=EQ\F(AD,AC)=EQ\F(DE,CD);等〔2〕①∵∠B=∠C=45°,∴AB=AC,∠BAC=90°ABCDE1∵BC=2,∴AB=AC=eq\r(,ABCDE1解法一:∵∠1+∠EDC=∠B+∠DAB,∠1=∠B∴∠EDC=∠DAB,∴△ABD∽△DCE∴EQ\F(BD,CE)=EQ\F(AB,DC),即BD·DC=CE·AB设BD=*,CE=y,则DC=2-*有*(2-*)=eq\r(,2)y,即y=-EQ\F(eq\r(,2),2)*2+eq\r(,2)*=-EQ\F(eq\r(,2),2)(*-1)2+EQ\F(eq\r(,2),2)∵EQ\F(eq\r(,2),2)<0,∴当*=1时,y最大值=EQ\F(eq\r(,2),2)∴CE的最大值为EQ\F(eq\r(,2),2)解法二:∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD∴EQ\F(AD,AE)=EQ\F(AC,AD),∴AD2=AE·AC=(AC-CE)·AC=2-eq\r(,2)CE∴CE=eq\r(,2)-EQ\F(eq\r(,2),2)AD2∴当AD最小时,CE最大由垂线段最短,可知AD⊥BC∵AB=AC,∴D为BC的中点∵∠BAC=90°,∴AD=EQ\F(1,2)BC=EQ\F(1,2)×2=1∴CE=eq\r(,2)-EQ\F(eq\r(,2),2)×1=EQ\F(eq\r(,2),2)即CE的最大值为EQ\F(eq\r(,2),2)②分三种情形加以讨论:1〕当AE=DE时,则∠DAE=∠1=45°∵∠BAC=90°,∴AD平分∠BAC∵AB=AC,∴D为BC的中点∴BD=EQ\F(1,2)BC=12〕当AD=DE时解法一:∵∠1+∠EDC=∠B+∠DAB,∴∠EDC=∠DAB又∵∠B=∠C,∴△ABD≌△DCE∴AB=DC=eq\r(,2),∴BD=BC-DC=2-eq\r(,2)解法二:∵∠1=∠C,∠DAE=∠CAD∴△ADE∽△ACD∴当AD=DE时,DC=AC=eq\r(,2)∴BD=BC-DC=2-eq\r(,2)2〕当AD=AE时,则∠AED=∠1=45°,∠DAE=90°∴此时点D与B重合,与题意不符,应舍去综上所述,假设△ADE是等腰三角形,则BD的长为1或2-eq\r(,2)9.〔1〕如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D.求证:AB2=AD·AC;〔2〕如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为BC边上的点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F.假设EQ\F(AB,BC)=EQ\F(BD,DC)=1,求EQ\F(AF,FC)的值;〔3〕在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为直线BC上的动点〔点D不与B、C重合〕,直线BE⊥AD于点E,交直线AC于点F.假设EQ\F(AB,BC)=EQ\F(BD,DC)=n,请探究并直接写出EQ\F(AF,FC)的所有可能的值〔用含n的式子表示〕,不必证明.BBFACEDBACD图①图②BACD图①〔1〕证明:如图①,∵BD⊥AC,∠ABC=90°,∴BACD图①又∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC∴EQ\F(AB,AC)=EQ\F(AD,AB),∴AB2=AD·AC〔2〕解:方法一:如图②,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G∵BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90°,∴CG∥BF又∵EQ\F(AB,BC)=EQ\F(BD,DC)=1,∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC又∵∠BDE=∠CDG,∴△BDE≌△CDGFEBACD图②G∴EDFEBACD图②G由〔1〕可知:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD∴EQ\F(AE,DE)=EQ\F(AB2,BD2)=EQ\F((2BD)2,BD2)=4,∴AE=4DE∴EQ\F(AE,EG)=EQ\F(4DE,2DE)=2又∵CG∥BF,∴EQ\F(AF,FC)=EQ\F(AE,EG)=2方法二:如图③,过点D作DG∥BF交AC于点GFEBACD图③G∵EQ\F(AB,BC)=EQ\F(BD,DC)=1,AB=BC,BD=DC=EQ\F(1,2)BCFEBACD图③G∵DG∥BF,∴EQ\F(FC,FG)=EQ\F(BC,BD)=2,∴FC=2FG由〔1〕可知:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD∴EQ\F(AE,ED)=EQ\F(AB2,BD2)=EQ\F(BC2,BD2)=4又∵DG∥BF,∴EQ\F(AF,FG)=EQ\F(AE,ED)=4∴EQ\F(AF,FC)=EQ\F(AF,2FG)=2〔3〕①当点D在BC边上时,EQ\F(AF,FC)的值为n2+n②当点D在BC延长线上时,EQ\F(AF,FC)的值为n2-n③当点D在CB延长线上时,EQ\F(AF,FC)的值为n-n210.〔〕*数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上,从AB边开场绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.〔1〕小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:假设AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;〔2〕当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进展解决:小颖的方法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF〔如图2〕;小亮的方法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG〔如图3〕.请你从中任选一种方法进展证明;〔3〕小敏继续旋转三角板,在探究中得出:当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.现请你继续探究:当135°<α<180°时〔如图4〕,等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?假设成立,给出证明;假设不成立,说明理由.ABCABCDEG图3ABCDEF图2ABCDEM图1AABC图4AABCDEM图1证明:〔1〕∵∠BAC=90°,∠DAE=45°∴∠BAD+∠EAC=90°-45°=45°,∠DAM+∠MAE=45°∵AD平分∠BAM,∴∠BAD=∠DAM∴∠MAE=∠EAC,∴AE平分∠MAC〔2〕〔法一〕小颖的方法:将△ABD沿AD对折得到△AFD,连接EF〔如图2〕由对折可得:∠BAD=∠FAD,∠DFA=∠B=45°,DF=DBABCDEF图ABCDEF图2∵AF=AB,AB=AC,∴AF=AC∵AE=AE,∴△AEF≌△AEC∴∠AFE=∠C=45°,EF=EC∴∠DFE=45°+45°=90°∴在Rt△DEF中,DF2+EF2=DE2即BD2+CE2=DE2〔法二〕小亮的方法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG〔如图3〕ABCDEG图3由旋转可得:∠GAC=∠DAB,∠ACG=∠B=45°,ABCDEG图3∵∠BAD+∠EAC=45°,∴∠GAC+∠EAC=45°∴∠GAE=∠DAE=45°∵AE=AE,∴△AGE≌△ADE∴GE=DE,∠ECG=45°+45°=90°∴在Rt△ECG中,CG2+CE2=GE2即BD2+CE2=DE2〔3〕等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立ABC图4-145°FED法一:将△ABC图4-145°FED则BD=FD,AF=AB=AC,∠AFD=∠ABD=180°-45°=135°∠FAD=∠BAD,∠DAE=45°∵∠EAF=∠FAD+45°,∠EAC=90°+∠BAD-45°=∠BAD+45°∴∠EAF=∠EAC∵AE=AE,∴△AFE≌△ACE∴EF=EC,∠AFE=∠C=45°∴∠DFE=135°-45°=90°∴在Rt△DEF中,DF2+EF2=DE2即BD2+CE2=DE2ABC图4-245°GED法二:将△ABD绕点ABC图4-245°GED则BD=CG,AD=AG,∠ACG=∠ABD=180°-45°=135°∠DAG=90°,∠DAE=45°∵∠DAE=45°,∴∠GAE=90°-45°∴∠DAE=∠GAE∵AE=AE,∴△ADE≌△AGE,∴GE=DE∵∠ECG=135°-45°=90°∴在Rt△ECG中,CG2+CE2=GE2即BD2+CE2=DE211.〔模拟〕如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D为AB边上的一动点〔不与A、B重合〕,过D作DE∥BC,交AC于点E.把△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,连接BA′.设AD=*,△ADE的边DE上的高为y.〔1〕求y与*的函数关系式;〔2〕当*取何值时,以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;〔3〕当*取何值时,△A′DB是直角三角形?〔4〕当*取何值时,△A′DB是等腰三角形?ACACB备用图ACBEDA′解:〔1〕过A作AM⊥BC于M,交DE于N,则BM=EQ\F(1,2)BC=6ACBEDA′NM∵DE∥BC,∴ACBEDA′NM在Rt△ABM中,AM=eq\r(,52-32)=4∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC∴EQ\F(AD,AB)=EQ\F(AN,AM),∴EQ\F(*,5)=EQ\F(y,4)∴y=EQ\F(4,5)*〔0<*<5〕〔2〕∵△A′DE由△ADE折叠得到,∴A′D=AD,A′E=AE由〔1〕可得△ADE是等腰三角形,即AD=AE∴AD=A′D=AE=A′E,∴四边形ADA′E是菱形∴DA′∥AC,∴∠BDA′=∠BAC∵AB=AC=5,BC=6,∴∠BAC≠∠ABC,∠BAC≠∠C∴∠BDA′≠∠ABC,∠BDA′≠∠C∴有且只有当BD=A′D时,△DBA′∽△ABC∴5-*=*,∴*=EQ\F(5,2)〔3〕①∵∠BDA′=∠A≠90°,∴D不可能为直角顶点②假设∠BA′D=90°∵四边形ADA′E是菱形,∴点A′必在DE垂直平分线上,即直线AM上∵A′N=AN=y=EQ\F(4,5)*,AM=4,∴A′M=|4-EQ\F(8,5)*|在Rt△A′BM中,A′B2=A′M2+BM2=(4-EQ\F(8,5)*)2+32ACBEDA′NM在Rt△A′BD中,A′B2=A′D2+BD2=*ACBEDA′NM∴(4-EQ\F(8,5)*)2+32=*2+(5-*)2,解得*=0〔舍去〕或*=EQ\F(35,32)③假设∠A′BD=90°解法一:∵∠AMB=90°,∴△BA′M∽△ABM∴EQ\F(BA′,AB)=EQ\F(BM,AM),∴EQ\F(BA′,5)=EQ\F(3,4),∴BA′=EQ\F(15,4)在Rt△A′BD中,A′D2=A′B2+BD2∴*2=(EQ\F(15,4))2+(5-*)2,解得*=EQ\F(125,32)解法二:由②知,A′M=|4-EQ\F(8,5)*|在Rt△A′BM中,A′B2=A′M2+BM2=(4-EQ\F(8,5)*)2+32在Rt△A′BD中,A′B2=A′D2-BD2=*2-(5-*)2∴(4-EQ\F(8,5)*)2+32=*2-(5-*)2,解得*=5〔舍去〕或*=EQ\F(125,32)综上,当*=EQ\F(35,32)或*=eq\f(125,32)时,△A′DB是直角三角形〔4〕①假设BD=A′D,由〔2〕知,*=EQ\F(5,2)②假设BD=BA′,则BD2=A′B2∴(5-*)2=(4-EQ\F(8,5)*)2+32,解得*=0〔舍去〕或*=EQ\F(70,39)③假设A′D=A′B,则A′D2=A′B2∴*2=(4-EQ\F(8,5)*)2+32,解得*=5〔舍去〕或*=EQ\F(125,39)12.〔模拟〕如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点〔不与C、A重合〕,DE⊥直线AB于E点,点F是BD的中点,过点F作FG⊥直线AB于G点,连接EF,设AD=*.〔1〕①假设点D在AC边上,求FG的长〔用含*的式子表示〕;②假设点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求S与*的函数关系式,并写出*的取值围.〔2〕假设点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于O点,当DP+FP的值最小时,猜测DO与PO之间的数量关系,并加以证明.ABABC备用图AGFBEDC解:〔1〕①∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=eq\r(,AC2+BC2)=eq\r(,82+62)=10AGFBEDC图1∴sinA=EQ\F(BC,AB)=EQ\F(6,10)=EQ\F(3,5),cosA=EQ\F(AC,AB)=EQ\F(8,10)=EQ\F(4,5)AGFBEDC图1∵∠AED=90°,AD=*,∴DE=AD·sinA=EQ\F(3,5)*∵DE⊥AB,FG⊥AB,∴FG∥DE又∵F是BD的中点,∴FG=EQ\F(1,2)DE=EQ\F(3,10)*②在Rt△ADE中,DE=EQ\F(3,5)*,AE=AD·cosA=EQ\F(4,5)*i〕当点D在AC边上时,如图1AGFBEDC图2BE=AB-AGFBEDC图2∴S=EQ\F(1,2)BE·FG=EQ\F(1,2)(10-EQ\F(4,5)*)·EQ\F(3,10)*=EQ\F(3,25)*2-EQ\F(3,2)*〔0<*<8〕ii〕当点D在CA延长线上时,如图2BE=AB+AE=10+EQ\F(4,5)*∴S=EQ\F(1,2)BE·FG=EQ\F(1,2)(10+EQ\F(4,5)*)·EQ\F(3,10)*=EQ\F(3,25)*2+EQ\F(3,2)*〔*>0〕〔2〕猜测:DO=3POAGFBEDCOPD′H图3证明:作点D关于AB的对称点AGFBEDCOPD′H图3则DP+FP的值最小由〔1〕知FG=EQ\F(1,2)DE=EQ\F(1,2)D′E,即D′E=2FG由△D′PE∽△FPG,得EP=2PG=EQ\F(2,3)EG过P作PH⊥AB交EF于H,则PH=EQ\F(2,3)FG=EQ\F(1,3)DE由△DOE∽△POH,得DO=3PO13.〔模拟〕如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D、E分别是边AB、AC上的动点.将△ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处.〔1〕当DE∥BC时,判断以DE为直径的圆与BC的位置关系,并说明理由;〔2〕当△DEF为等腰三角形时,求AD的长;〔3〕假设以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,求AD的长;〔4〕随着点D、E的移动,点F位置也在不断变化,当点D从点B开场移动,至点E与点C重合,直接写出这一过程中点F移动的路径的长.EDEDABCFABC备用图解:〔1〕连接AF交DE于G,则AF⊥DE,AG=FG=EQ\F(1,2)AFEDABCFG∵在Rt△ABC中,∠A=90°,ABEDABCFG∵DE∥BC,∴AF⊥BC,△ADE∽△ABC得DE=EQ\F(1,2)BC=5,∴GF=EQ\F(5,2)∵S△ABC=EQ\F(1,2)BC·AF=EQ\F(1,2)AB·AC∴AF=EQ\F(AB·AC,BC)=EQ\F(6×8,10)=EQ\F(24,5),∴GF=EQ\F(1,2)AF=EQ\F(12,5)<EQ\F(5,2)∴以DE为直径的圆与BC相交EDABCF21〔2〕∵∠EDABCF21∴当△DEF为等腰三角形时,只能DF=EF此时△DEF为等腰直角三角形,∠1=45°∴∠2=∠1=45°,∴∠ADF=90°∴DF∥AC,∴△BDF∽△BAC,∴EQ\F(BD,DF)=EQ\F(BA,AC)设AD=*,则DF=*,BD=6-*∴EQ\F(6-*,*)=EQ\F(6,8),解得*=EQ\F(24,7)即AD的长为EQ\F(24,7)〔3〕①当∠FDE=∠ABC时,△FDE∽△ABC∵∠ADE=∠FDE,∴∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC由〔1〕知,此时AD=EQ\F(1,2)AB=3EDABCFG②当∠FDE=∠ACBEDABCFG连接AF交DE于G则AF⊥DE,AG=FG=EQ\F(1,2)AF,∴∠DAG+∠ADE=90°又∠ADE=∠FDE,∠B+∠ACB=90°∴∠DAG=∠B,∴AF=BF同理AF=CF,∴AF=BF=CF=EQ\F(1,2)BC=5∴AG=EQ\F(1,2)AF=EQ\F(5,2)由△ADG∽△BCA,得EQ\F(AD,AG)=EQ\F(BC,BA)EDABCF1F2得EQ\F(AD,EQ\F(5,2))=EQ\F(10,6),∴AD=EQ\F(25,6)EDABCF1F2〔4〕4提示:当点D与点B重合时,BF1=BA=6∴CF1=10-6=4当点E与点C重合时,CF2=CA=8∴点F移动的路径的长为F1F2=CF2-CF1=8-4=414.〔模拟〕如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,P是边AB上的一个动点,过点P作PD⊥AB交BC相于点D,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC作正方形DEFG,其中D、E在边BC上,F在边AC上.〔1〕设BP的长为*,正方形DEFG的边长为y,求y关于*的函数关系式,并确定函数的定义域;〔2〕当P、G、F三点共线时,求BP的长;〔3〕P、D、G三点能否构成等腰三角形?假设能,求出BP的长;假设不能,请说明理由.BCABCA备用图BCA备用图EPDBCAFGEEPDBCAFGH解:〔1〕∵△ABC中,AB=AC=10,BC=12∴BH=HC=6,AH=eq\r(,AB2-BH2)=8过A作AH⊥BC于H,则△DBP∽△ABH∴EQ\F(BD,AB)=EQ\F(PD,AH)=EQ\F(BP,BH),即EQ\F(BD,10)=EQ\F(PD,8)=EQ\F(*,6)EPDBCAFGH∴BD=EQ\F(5,3)*,PD=EPDBCAFGH又∵四边形DEFG是正方形,∴EF⊥BC,EF=DE=y由△FCE∽△ABH,得EC=EQ\F(3,4)y∴EQ\F(5,3)*+y+EQ\F(3,4)y=12BCAHM∴y=-EQ\F(20,21)*+EQ\F(48,7)BCAHM当点G落在边AB上,易知△AGF∽△ABC得EQ\F(y,12)=EQ\F(8-y,8),即y=EQ\F(24,5)∴-EQ\F(20,21)*+EQ\F(48,7)=EQ\F(24,5),解得*=EQ\F(54,25)过C作CM⊥AB于MEPDBCAFGH由△CBM∽△EPDBCAFGH∴EQ\F(54,25)≤*<EQ\F(36,5)〔2〕当P、G、F三点共线时,连接PG则PG∥BD,∠PGD=90°=∠AHB∴∠DPG=∠BDP=90°-∠BAHEPDBCAFG∴△PDG∽△ABH,得EPDBCAFG由△APF∽△ABC,得EQ\F(EQ\F(4,3)y+y,12)=EQ\F(8-y,8),即y=EQ\F(72,23)∴-EQ\F(20,21)*+EQ\F(48,7)=EQ\F(72,23),解得*=EQ\F(90,23)即BP的长为EQ\F(90,23)EPDBCAFGEPDBCAFG则EQ\F(4,3)*=-EQ\F(20,21)*+EQ\F(48,7),解得*=3②假设PD=PG,则∠PDG=∠PGD∵∠PDG+∠PDB=90°,∠B+∠PDB=90°,∠B=∠C∴∠PDG=∠PGD=∠B=∠CEPDBCAFG∴△PDG∽△ABC,得EPDBCAFG∴EQ\F(4,3)*=EQ\F(5,6)(-EQ\F(20,21)*+EQ\F(48,7),解得*=EQ\F(180,67)③假设PG=DG同理可得△GPD∽△ABC,GD=EQ\F(5,6)PD=EQ\F(10,9)*∴-EQ\F(20,21)*+EQ\F(48,7)=EQ\F(10,9)*,解得*=EQ\F(216,65)15.〔模拟〕如图,直线l:y=3*+6与*轴、y轴分别相交于A、B两点,点C的坐标为〔8,0〕.直线l沿*轴正方向平移m个单位〔0<m<10〕得到直线l′,直线l′与*轴、直线BC分别相交于点D、E.〔1〕求sin∠ACB的值;〔2〕当△CDE的面积为EQ\F(15,2)时,求直线l′的解析式;EABD*Oyll′C〔3〕将△CDE沿直线l′对折得到△C′DE,记△C′DE与四边形ADEB重叠局部的面积为S,求S关于m的函数EABD*Oyll′CEABD*Oyll′C解:〔1〕∵y=3EABD*Oyll′C∴B〔0,6〕,∴OB=6∵C〔8,0〕,∴OC=8∴BC=eq\r(,62+82)=10∴sin∠ACB=EQ\F(OB,BC)=EQ\F(6,10)=EQ\F(3,5)〔2〕∵y=3*+6,当y=0时,*=-2∴A〔-2,0〕,∴AC=BC=10EABDC′*Oyll′C∴S△ABC=EQ\F(1,2)AC·OB=EQ\F(1,2)EABDC′*Oyll′C由题意知l′∥l,∴△CDEN∽△CAB∴EQ\F(S△CDE,S△ABC)=(EQ\F(CD,CA)2,∴EQ\F(EQ\F(15,2),30)=(EQ\F(CD,10)2∴CD=5,∴D〔3,0〕设直线l′的解析式为y=3*+b,把D〔3,0〕代入,得b=-9∴直线l′的解析式为y=3*-9〔3〕由〔2〕可知,当m=5时,点C′正好落在AB上∴当5≤m<10时,点C′在△ABCEABDC′G*Oyll′CF∴S=S△C′DE=S△CDE=(EQ\F(CD,CA)2·S△ABC=(EQ\F(10-m,10)2×30=EQ\F(3,10)EABDC′G*Oyll′CF当0<m<5时,点C′在△ABC外,设C′D、C′E分别交AB于点F、G∵AC=BC=10,∴△ABC是等腰三角形易知△DAF、△EBG、△CDE都是与△CAB相似的等腰三角形∴S△DAF=S△EBG=(EQ\F(m,10)2·S△ABC=EQ\F(3,10)m2∴S=30-2×EQ\F(3,10)m2-EQ\F(3,10)(10-m)2=6m-EQ\F(9,10)m2综上可知,S关于m的函数关系式如下:S=eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(6m-EQ\F(9,10)m2〔0<m<5〕,EQ\F(3,10)(10-m)2〔5≤m<10〕))显然,在5≤m<10围,当m=5时,S最大=EQ\F(15,2)在0<m<5围,S=6m-EQ\F(9,10)m2=-EQ\F(9,10)(m-EQ\F(10,3)2+10,当m=EQ\F(10,3)时,S最大=10∴当m=EQ\F(10,3)时,S最大=10易知四边形DCEC′是菱形,所以当S最大时四边形DCEC′的周长=4×(10-m)=4×(10-EQ\F(10,3)=EQ\F(80,3)16.〔模拟〕车辆转弯时,能否顺利通过直角弯道的标准是:车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置〔如图1中=2\×GB3②的位置〕.例如,图2是*巷子的俯视图,巷子路面宽4m,转弯处为直角,车辆的车身为矩形ABCD,CD与DE、CE的夹角都是45°时,连接EF,交CD于点G,假设GF的长度至少能到达车身宽度,则车辆就能通过.〔1〕试说明长8m,宽3m的消防车不能通过该直角转弯;〔2〕为了能使长8m,宽3m的消防车通过该弯道,可以将转弯处改为圆弧〔EQ\o\ac(MM′,\s\up9(︵))和EQ\o\ac(NN′,\s\up9(︵))分别是以O为圆心,以OM和ON为半径的弧〕,具体方案如图3,其中OM⊥OM′,请你求出ON的最小值.图2D图2DBAGCEF图3NOMM′N′=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③图1DBAGCEFH解:〔1〕作FH⊥EC于HDBAGCEFH∴EF=4eq\r(2).且∠GEC=45°∵GC=EQ\F(1,2)DC=4,∴GE=GC=4∴GF=4eq\r(2)-4<3,即GF的长度未到达车身宽度∴消防车不能通过该直角转弯〔2〕假设C、D分别与M′、M重合,则△OGM为等腰直角三角形∴OG=4,OM=4eq\R(,2)DBAECNOMM′N′GF∴DBAECNOMM′N′GF∴FG=8-4eq\R(,2)<3.∴C、D在EQ\o\ac(MM′,\s\up9(︵))上连接OC,设ON=*在Rt△OCG中,OG=*+3,OC=*+4,CG=4由勾股定理得(*+3)2+42=(*+4)2解得*=4.5即ON的最小值为4.5米17.〔模拟〕如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB中点,以O为坐标原点,*轴与AC平行,y轴与CB平行,建立直角坐标系,AC与y轴交于点M,BC与*轴交于点N.将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处,绕点O旋转三角尺,三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q.〔1〕证明:△OMP∽△ONQ;ABPC*OMyQN〔2〕假设∠A=60°,AB=4,设点P的横坐标为*,PQ长为y.ABPC*OMyQN〔3〕假设∠A=60°,AB=4,当△PQC的面积为EQ\F(eq\r(,3),2)时,求CP的长.〔1〕证明:由题意知∠POQ=∠MON=90°∴∠PON+∠QON=90°,∠POM+∠PON=90°∴∠QON=∠POM∵ON∥AC,OM∥BC,且∠C=90°,∴∠OMP=∠ONQ=90°ABPC*OABPC*OMyQN〔2〕解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=4∴AC=2,BC=2eq\r(,3)∵O是AB的中点,且ON∥AC,OM∥BC∴OM=eq\r(,3),ON=1则P〔*,-eq\r(,3)〕,CP=1-*由△OMP∽△ONQ,得EQ\F(OM,ON)=EQ\F(MP,NQ)∴NQ=EQ\F(MP·ON,OM)=EQ\F(|*|,eq\r(,3)),CQ=EQ\F(*,eq\r(,3))+eq\r(,3)在Rt△CPQ中,y=PQ=eq\r(,CP2+CQ2)=eq\r(,(1-*)2+(EQ\F(*,eq\r(,3))+eq\r(,3))2)=EQ\F(2,3)eq\r(,3*2+92)即y关于*的函数关系为y=EQ\F(2,3)eq\r(,3*2+92)〔-1≤*≤1〕〔3〕①当点Q在边BC上时ABPC*OMyQN由〔2〕知,CP=1-*,CQ=EQ\F(*,eq\r(,3))+eq\r(,3)ABPC*OMyQN∴S△PQC=EQ\F(1,2)CP·CQ=EQ\F(1,2)(1-*)(EQ\F(*,eq\r(,3))+eq\r(,3))=EQ\F(eq\r(,3),2)解得*1=0,*2=-2∴CP=1或3②当点Q在BC延长线上时易知,CP=1-*,CQ=-EQ\F(*,eq\r(,3))-eq\r(,3)∴S△PQC=EQ\F(1,2)CP·CQ=EQ\F(1,2)(1-*)(-EQ\F(*,eq\r(,3))-eq\r(,3))=EQ\F(eq\r(,3),2)解得*1=-1-eq\r(,7),*2=-1+eq\r(,7)∵-EQ\F(*,eq\r(,3))-eq\r(,3)>0,∴*<-3∴*=-1+eq\r(,7)不合题意,应舍去,∴*=-1-eq\r(,7)∴CP=2+eq\r(,7)综上所述,当△PQC的面积为EQ\F(eq\r(,3),2)时,CP的长为1或3或2+eq\r(,7)EABCFPDG18.〔模拟〕如图,线段AB长为12,点C、D在线段AB上,且AC=DB=2.动点P从点C出发沿线段CD向点D移动〔移动到点D停顿〕,分别以AP、BP为斜边在线段AB同侧作等腰Rt△AEP和等腰Rt△BFP,连接EFEABCFPDG〔1〕求线段EF长的最小值;〔2〕当*为何值时,△EPF的外接圆与AB相切;〔3〕求四边形AEFB的面积y与*的函数关系式;〔4〕设EF的中点为G,直接写出整个运动过程中点G移动的路径的长.解:〔1〕作EH⊥AB于H,FK⊥AB于K,EL⊥FK于LEABCFPDGHKLMN∵AP=*,∴EABCFPDGHKLMNEH=EQ\F(1,2)AP=EQ\F(1,2)*,FK=EQ\F(1,2)PB=EQ\F(1,2)(12-*)=6-EQ\F(1,2)*EL=HK=HP+PK=EQ\F(1,2)AP+EQ\F(1,2)PB=6∴FL=FK-LK=FK-EH=6-EQ\F(1,2)*-EQ\F(1,2)*=6-*∴EF2=EL2+FL2=62+(6-*)2当*=6时,EF2有最小值36∴线段EF长的最小值是6〔2〕作GM⊥AB于M,则GM=EQ\F(1,2)(EH+FK)=3可见在点P由点C向点D移动过程中,点G到AB的距离始终为3,而由〔1〕知线段EF的长随*的变化而变化,当*=6,即点P运动到AB中点时,EF=6=2GM,而由题意可得∠EPF=90°,△EPF是直角三角形,所以点G是△EPF外接圆的圆心,只有此时△EPF的外接圆才与AB相切∴当*=6时,△EPF的外接圆与AB相切〔3〕延长AE、BF交于点H易知△ANB是等腰直角三角形,四边形PENF是矩形∴S四边形AEFB=S△ANB-S△ENF=S△ANB-S△EPF=EQ\F(1,2)×12×6-EQ\F(1,2)·EQ\F(eq\r(,2),2)*·EQ\F(eq\r(,2),2)(12-*)=EQ\F(1,4)*2-3*+36即y=EQ\F(1,4)*2-3*+36〔4〕由〔2〕知点G到AB的距离始终为3,所以随着点P的移动,点G的移动路径是一条平行于AB的线段∵AB=12,AC=DB=2,∴AD=10∵点P在线段CD上,∴2≤*≤10∵AM=AH+HM=EQ\F(1,2)AP+EQ\F(1,2)HK=EQ\F(1,2)*+3∴当*=2时,AM=4;当*=10时,AM=8∴点G移动的路径长为8-4=419.〔模拟〕在Rt△ABC中,∠C=90°,D、E分别为CB、CA延长线上的点,BE与AD的交点为P.〔1〕假设BD=AC,AE=CD,在图1中画出符合题意的图形,直接写出∠APE的度数;〔2〕假设AC=EQ
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