实变函数论的产生发展意义及讨论

本科课程论文论文题目：实变函数论的产生、发展、意义及讨论院系：数学科学学院专业：数学姓名：***学号：*************指导教师：职称：年2月24日目录TOC\o"1-2"\h\z第一章 实变函数的产生背景和发展历史 3第1节 积分概念的第一次扩张：Stieltjes积分 4第2节 容量理论 4第3节 Lebesgue的工作 6第二章 实分析和数学分析的比较及新理论获得的成果 8第1节 实分析中普通的测度和积分 8第2节 两种分析的比较 9第三章 对Lebesgue不可测集的见解 12第四章 实变函数产生的意义及总结 14实变函数论的产生、发展、意义及讨论****学号：******专业：数学类摘要：复分析，实分析和泛函分析构成了自微积分创立以来当代分析数学的三大分支。本文对实变函数论做了较为系统的梳理，回想了实变函数论的创立背景，发展历程，在某几个方面比较了实变函数和数学分析的区别，另外还讨论了Lebesgue不可测集存在的因素。核心字：Lebesgue，测度理论，Riemann积分，Lebesgue积分，实分析，选择公理第一章实变函数的产生背景与发展历史微积分奠基于16,17世纪，它的扩张统治了18世纪，形成了数学分析这门基础分支。至18世纪末19世纪初，黎曼积分意义下的微积分理论基本成熟，但是数学家逐步发现某些奇怪的现象，揭示出了黎曼积分存在很大的缺点。这些奇怪的现象涉及：持续而不可微的函数；含有有界的不是黎曼可积的导数的函数；可积函数列的极限函数不总是黎曼可积等等。另首先由Dirichlet,Riemann,Cantor,UlisseDini，Jordan和19世纪其它数学家建立起来的Fourier级数理论已经成为应用数学满意的工具，但是对于追求完美的数学家而言，这种建立在数学分析基础上的级数理论存在诸多不抱负的地方，离函数和级数关系的统一性，对称性和完备性有相称的差距。在这两个因素的作用下，以Lebesgue为首的一批数学家建立了新的积分理论，从而开创了实分析这一新的重要的数学分支。这里先讲一下Lebesgue之前的数学家的工作。函数论的重点在于积分论，大多数不抱负的地方能够能够通过扩张积分的概念解决。因此函数论的研究在某种程度上能够说是Riemann,Darboux,DuBois-Reymond,Cantor等数学家工作的继续。1积分概念的第一次扩充：Stieltjes积分1894年Stieltjes发表了一篇题为《连分数理论》（Recherchessurlesfractionscontinues)的论文，在论文中为了表达一种解析函数序列的极限，他引进了一种新的积分。Stieltjes把质量沿一根直线的分布当作是点密度的推广，质量分布用非负递增函数表达，表达在区间上的总质量，对于区间，作Riemann和，是的一种分划，。Stieltjes证明了当在上持续，分划的最大子区间长度趋于0时，上和式趋于一种极限，这个极限记作。这事实上就是推广了的Riemann积分，但是Stieljes除了将积分区间趋于推广至无穷区间之外并没有做其它推动。Stieltjes积分不是基于前文中提到的两个推动函数论研究的动力的产物，只是Stieltjes为解决一种特殊问题而造出来的积分，还不含有普遍性。但是后来的Lebesgue积分及随之发展起来的实分析却是为理解决Riemann积分及数学分析的局限性而研究出来的。MorrisKline在他的名著《古今数学思想》中有一段这样的话：数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴奉献的许多人的工作之上的，需要一种人走出那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜想和阐明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来。在Lebesgue提出他的理论之前，已有某些数学家做了不少准备工作。这里需要提一下容量理论。1.2容量理论在Riemann积分意义下，闭区间上的持续函数总是可积的。不可积的函数是非持续函数中的某些函数，也就是说函数不持续点的性质决定了函数的可积性，因此有必要研究函数的不持续点，因此势必首先要找到度量这些点集的工具。容量（content)理论和后来的测度论就是为了把长度概念扩充到普通直线上非持续区间的点集而引进的。容量理论的基本思想和俄罗斯套娃有点像。想象一下俄罗斯套娃，最里面的那个套娃被最外面也就是最大的套娃包住，最大的套娃内有一种次大的套娃，次大的套娃内有一种更小的套娃，等等，这些套娃都包住最内的套娃，并且逐步变小。在数学上的点集，以一维点集为例。点集E被区间覆盖，考虑区间某些性质比较好的子区间，从中找到一组适宜的子区间覆盖住E，然后逐步缩小这些子区间，必要的时候适宜扩充这些子区间的种类，并保持继续覆盖住E。这样得到一串序列，容量普通定义为序列长度的下确界。容量的概念首先由AxelHaenack于1881年在他的《微积分原理》（DieElementederDifferential-undIntegralrechnung，1881)中提出。DuBois-Reymond，OttoStolz和Cantor也提出过相似的概念。OttoStolz和Cantor还用矩形和立方体替代区间，把容量的概念扩充到高维点集。容量概念的使用揭示了存在着正容量的无处稠密集，而以该集合为不持续点集的函数在Riemann意义下是不可积的。但是容量的概念还不是很完善，它的进一步完善工作由Peano，Jordan和Borel完毕。Peano在《无穷小分析》（Applicazionigeometrichedelcalcoloinfinitesimale,1887)引进了区域的内容量和外容量的概念。内容量定义为包含在区域R内的一切区域的度量的上确界，外容量定义为包含区域R的一切区域的度量的下确界。如果内容量和外容量相等，这个相似的值就定义为区域R的面积（度量）。通过这个办法，Peano把一种区域的面积概念严密化了。Jordan为了搞清晰平面区域E上的二重积分理论，进一步完善了容量理论。在Riemann积分的定义下，二维区域E上的积分是通过用平行于坐标轴的直线将区域E分成一种一种的矩形“小格子”，再取代表元作积求和得到，即.这种解决方式存在一种问题：在E的边界附近可能不是完整地包含于E内，要使上述定义对的就得规定当的度量趋于0时，边界处的度量总和也趋于0。在过去，数学家都默认为上述条件满足，但是当Peano发现能填满矩形的Peano曲线之后，数学家变得谨慎起来。Jordan看待这个问题，采用了严密定义区域的容量的办法。1893年，Jordan在《分析教程》引进了容量的概念。他有关中点集E的容量定义是从外容量出发的，Jordan也用了内容量的概念。如果E的外容量和内容量相等，就说E含有容量。Jordan还把他的容量概念扩充到高维状况，同时还证明了有限可加性（有限多个不相交的含有容量的集合的并含有容量，且等于各集合的容量之和）。Jordan的容量概念清晰有力。借助容量概念，对含有容量的二维区域E就不存在上述的和式与否故意义的问题。进一步还能够用累次积分计算重积分。尽管如此，Jordan的容量理论还是不够完善，在他的定义下，有界开集不一定有容量，有界区间的有理点集也没有容量。容量理论的进一步完善由Borel完毕，他是Lebesgue的老师。事实上Lebesgue是在Borel思想指导下，结合前人的工作，提出了他的测度理论和积分理论。学术界学生继承完善老师的思想的例子诸多。Borel对容量作出的重要改善是不再用有穷个区间去覆盖逼近E，而是把一种有界开集的各个构成区间的长度总和作为开集的测度。在此基础上定义上可数个不相交可测集的并集的测度为各个测度之和；另外如果A，B都是可测的并且A包含在B内，定义A，B的差集的测度为B-A的测度。Borel还考虑了测度为0的集合。1.3Lebesgue的工作Lebesgue（1875-1941）1875年出生于法国波夫（瓦茨省），毕业于巴黎师范学院。19在巴黎大学通过博士论文答辩，获得哲学博士学位。19被选为巴黎科学院院士。Lebesgue早年从事Fourier级数研究，并获得了一定的成就，后转向数学分析。此时Borel已经把容量进一步完善化，引向了他称之为测度的理论。Lebesgue将测度理论改善，于19发表了出名论文《积分，长度与面积》（Integrale,longueur,aire)，第一次叙述了他的测度理论和积分思想。Lebesgue的积分论建立在点集的测度理论之上。考虑1维情形，设E是中的一种点集。E中的点能够被中一族有限个或可列无限个区间集包围而成为内点。则能够证明这样区间能够被互不重叠的区间集合替代，使得E的每一种点是中某个区间的内点或是两个相邻区间的公共端点。令表达这样的区间长度和，的下确界定义为E的外测度，记为。同时定义E的内测度为的测度减去E在中的补集的外测度：，记为。如果等于，则称E是可测的，测度等于（）。但是现在往往不再使用内测度这一概念，往往先是建立环上的测度，再扩充环并定义外测度，在扩充之后的环上用Caratheodory条件找出Lebesgue集。这种办法比较自然，也能够减少复杂程度。这在下文会做进一步介绍。Lebesgue测度与Borel测度的区别在于，他对Borel测度意义下的零测度集作了增补，使得Lebesgue测度成为完全测度。这点很重要，如此一来在背面解决函数的可积性时方便了诸多。另外Lebesgue还注意到了Lebesgue不可测集的存在。Lebesgue不可测集同样放在下文讨论。Lebesgue建立测度理论的下一步是引入新的积分。这种积分就是今天说的在Lebesgue可测状况下的可积函数的积分。因此势必先要弄明白什么是可测函数。设E是轴上一有界可测集。如果对于任何常数，集合是可测的，就称是可测的。现在能够引入Lebesgue积分的概念了。设是中上有界可测函数，是可测集。和分别是在上的最小值和最大值。在上任取一组分点。记，任取，作和式称它为在分点组下的一种和数。如果存在数，满足就称在上Lebesgue可积，积分值就是。记作.Lebesgue证明当时，上一切有界可测函数都是Lebesgue可积的。Lebesgue不仅提出了完善的测度理论和新型积分，还对它们进行了进一步的研究，得出了诸多精彩的成果，开辟了实变函数这一新的数学领域。这一点放在下一部分穿插讨论。实分析与数学分析的比较及新理论获得的成果2.1实分析中普通的测度和积分上面提到的Lebesgue积分用的是Lebesgue测度，在实分析中这是一种惯用的测度，但测度远远不止这一种。要将Lebesgue的理论严格化，数学家首先构造了一种代数构造——环。环是集上满足对集的“”和“—”运算封闭的非空集类。有了环之后，再定义测度，测度为环上的集函数，它满足1.空集函数值为0；2.函数值非负；3.可列可加性。如果记环为，测度为，则称为中集的测度。这样造出来的环和测度往往不能满足实际需求。上面的环不一定能包含全部需要研究的集，例如在解决无限个集的并时，当集的个数趋向无穷时，它们的并不一定在环内。再例如直观上测度为0的集的子集测度也应当为0，但是对上面的环，这样的子集可能根本就不在环内。因此数学家提出了-环，它解决了第一种问题。但如果直接把环扩张成包含它本身的最小-环，又会有一种新的问题。环的构造十分复杂，不便于研究。数学家采用了另外一种对策：首先把环扩张成包含它的一种-环。表达中能用中一列元素加以覆盖的子集全体成的类。这个环不一定是最小的-环（）。由于环扩张了，势必要对原来的测度进行延拓，在上做集函数：当时，定义，成为上的外测度。外测度满足，非负性和单调性但不满足可列可加性，因此还不能成为测度。再从中用Caratheodory条件找出一部分集构成一种集类，记为，使得能成为的测度。能够证明是一种-环。对前面提到的Lebesgue测度而言就是常说的，当中的元素称为-可测集。的构造也比较简朴，如果是上的-有限测度，那么中任何集都能够表达为中集与一种-零集的和或差。对是全直线的状况而言，如果是直线上有限的左开右闭区间所成的环，就称中的每个集为Borel集，记为，此时中的集能够用中的开、闭集来刻画。任何-可测集必是某个Borel集与Lebesgue零集的和集（差集）。和尚有一种较好的性质，是上的完全测度，即中任何测度为0的集的任何子集都必属于。由此可见，采用这种“波折”的扩张延拓法得到的成果是令人满意的。有了这些准备工作就能够定义可测函数，引入新积分。除了事先定义可测空间之外，办法与前文所叙没有大的区别。使用单调覆盖技术能够进一步把积分推广至无穷情形。下面把重点放在实分析中惯用到的Lebesgue测度和Lebesgue积分上，比较Lebesgue积分和Riemann积分的差别。2.2两种分析的比较Riemann积分的缺点大都来自其对函数持续性的过分依赖。说得通俗一点，Riemann积分的定义是将自变量区间分成许多社区间，在每个社区间，将近似当作一种常数后乘以社区间长度，最后取和，通过将社区间无限细分使和值越来越精确。因此可积规定在社区间上变动不大，也就是必须是“基本持续”的。但诸多函数达不到这个苛刻的规定，Lebesgue积分就不存在这个问题。Lebesgue是比Riemann积分使用范畴更广的积分，上Riemann可积的函数必然是Lebesgue可积的，但反过来不一定对。例如定义在上的Dirichlet函数，在有理点函数值取1，在无理点函数值取0。这个函数到处不持续，在Riemann积分意义下是不可积的，但在Lebesgue积分意义下是可积的，此时。在Lebesgue积分理论中有一种很重要的概念叫“几乎到处”。是测度空间，，是与中的点有关的某个命题。如果存在一种测度为零的集，当时，命题成立，就称在上几乎到处成立。Lebesgue本人证明了上一种有界函数Riemann可积的充足必要条件是它在上几乎到处持续。前面提到的Dirichlet函数在区间上到处不持续，因此不是Riemann可积的。这就是两种新的积分的联系和比较。使用Lebesgue积分在解决诸多问题上有方便之处。在Riemann积分意义下，解决函数序列极限的分析性质时对函数序列的收敛性规定很苛刻，往往规定函数序列一致收敛。这里简朴讨论一下在Lebesgue积分意义下，函数列极限的积分性质。实分析理论中有两种重要的收敛“几乎到处收敛”和“依测度收敛”（这里单讲前者）。是上可测函数列，在上几乎到处收敛到指除去一种零测度集外，的极限是。在考察积分极限时有三个重要的定理，分别是控制收敛定理，Levi定理和Fatou定理。这三个定理事实上是等价的，应用这三个定理能够发现新积分在鉴定积分和极限能够交换次序时，所规定的条件要比原积分弱得多。以Levi定理为例。对于上可积函数序列，并且，而是上积分有限的函数，那么。Lebesgue积分在Fourier级数理论中非常有用。这方面最重要的奉献是Lebesgue本人做出的。在Riemann积分意义下，一种有界可积函数的Fourier展开式系数，当趋向无穷大时必趋于0。Lebesgue对这个成果做了推广，得到当是一种Lebesgue可积函数时，不必考虑与否有界，必有。Lebesgue同时证明了如果是由三角级数表达的有界函数，即，则就是的Fourier展开式系数。Lebesgue还证明了对任意Lebesgue可积的函数，不管的Fourier级数与否收敛到，都能够逐项积分，即，另外，对上的任一函数，只要它在Lebesgue平方可积，就成立Parseval等式。在Riemann积分意义下，持续函数存在定积分和原函数之间的对应，但对普通的函数这种对应关系不一定成立。例如能够找到一类函数是Riemann可积的，但是在某些点上却不存在导数。另首先，Volterra证明了存在函数在某个区间上有有界的但非Riemann可积的导数。在Lebesgue积分意义下，能够证明如果是Lebesgue可积的，那么就几乎到处含有导数，且导数等于。反过来，如果函数在上可导，且导函数有界，那么Lebesgue可积，成立。对于无界的情形，讨论起来要复杂某些，但是Lebesgue通过引入导出数，有界变差函数等概念之后比较美丽地解决了这个问题。Lebesgue本人给出了将积分推广至二维的情形的一种成果，但是更加好的成果由Fubini给出。将Lebesgue积分推广至二维情形时，首先要引入乘积测度。在此简要阐明。对两个-有限的测度空间，作乘积可测空间上集函数：如果，并且有矩形时，规定，对于普通的能够通过选用中一列单调集合列覆盖，这时定义。上述记为。Fubini定理表明如果是上的-有限的可测矩形，是有限函数且有关乘积测度可积时，重积分和两个累次积分值相等，即，对于普通的，能够通过将分割成小矩形得到相似的成果。实分析在函数研究方面也发挥了巨大的威力。例如Jordan分解定理表明上的有界变差函数能够分解成两个单调增加的函数之差。Lebesgue分解定理表明上的有界变差函数必能够分解为上的跳跃函数，全持续函数和奇异的有界变差函数之和。除去相差一种常数外，分解由唯一拟定。通过这些解决，函数性质的研究要比直接切入简朴得多。对Lebesgue不可测集的见解前面提到Lebesgue在提出自己的理论时注意到了Lebesgue不可测集的存在。在讨论Lebesgue不可测集的存在性前需要提到选择公理。在数学构造中，序构造是一种基本的构造，在有限集中能够将元素排列得到一种良序。如果每个集合都能够像有限集那样被良序化，无疑有助于研究。这就是良序定理。为了证明良序定理，德国数学家ErnstZermelo在19提出了选择公理（axiomofchoic，简称AC），并在此基础上给出了良序定理的证明。与否存在Lebesgue不可测集，这个问题到现在还没有“原则答案”。这是由于迄今没人给出否认的答案，只有人运用选择公理给出了必定的答案。一种常见的构造办法是在必定选择公理的基础上，运用Lebesgue测度的平移不变性给出的。这里之因此运用Lebesgue测度的平移不变性构造集合是由于普通的对集合取和、通、差得到的集合都是Borel集，固然是Lebesgue可测的。认真考察一下这种构造法的过程。对中的数，当为有理数时，称相亲，否则称互斥。能够证明在上述定义下，在中定义了一种等价关系，决定了中数的一种分划，即将中的数分解成一族两两不相交的相亲集的和集，记为的等价类。根据选择公理，能够从这些相亲集中各选出一种代表元构成一种集合，记为，则对任何为单元素集。就是我们要找的Lebesgue不可测集。如果将中的有理数排成一列，记，即平移后的集合。对于任何为单元素集，不妨设之为。则为有理数，并且都在中，因此，因此是中的某一种，设之为。则有。从而任何，必在中，即。另外，对于任意两个不同的自然数，如果存在，则都属于。又易见这两个数属于同一种相亲集，且由于不等，因此不是相似的数，由的作法可知它与每个相亲集的通集有且只有一种元素，这就与存在产生了矛盾。因此是一列两两不相交的集。又由，可知，因此。由Lebesgue测度的平移不变性和可列可加性得显然等式的最左边是不不大于0且是有限的，从而必须不不大于0又等于0，这个矛盾阐明是不可测的。上面的构造法看不出存在什么问题，因此要么是Lebesgue的测度论还存在不够抱负的地方，以致不能描述这样一种事实上能够构造出的集合；要么就是选择公理存在问题。对于Lebesgue测度本身与否抱负这个不好讨论，相反对于选择公理的合理性却始终存在争议。在当代数学理论中，有许多重要的成果都离不开选择公理。例如泛函分析中的Banach扩张定理，拓扑学中的Tychonoff定理，集合论中的基数可比定理，代数学中的基底存在定理。特别是美国数学家Paul.Cohen在1963年证明了选择公理与常见的Zermelo-Fraenkel公理体系的独立性之后，大多数数学家接受了它。但是选择公理又是如此地让人不放心。Poincare曾评价公理集合论说：“我们围住了一群羊，但是羊棚里或许已有狼了”。“巴拿赫-塔斯基悖论”等反映了ZFC系统并不完备。“巴拿赫-塔斯基悖论”是存在不可测集的成果，而不可测集的出现能够说是承认选择公理的成果（R.M.Solovay在1964年证明了“实直线R的一切子集都是Lebesgue可测的”（简记为LM）与不包含选择公理的Zermelo-Fraenkel公理体系是相容的）。不管如何，基础的才是最要紧的，选择公理始终饱受诟病，数学