全等三角形讲义

全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等〞用表示，读作“全等于〞全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。1.以下说法：①全等图形的形状一样、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为〔〕A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．3.:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．5.:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____．2题2题3题4题5题三角形全等的条件一〔SSS〕三角形有六个条件：三条边和三个角如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等？满足一个条件：①只有一条边对应相等； ②只有一个角对应相等；结论：满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等；一边一角对应相等结论：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？两边一角对应相等结论：两角一边对应相等结论：三边对应相等结论：三个角对应相等结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等．简写为“边边边〞，或简记为〔S.S.S.〕。例1.：如图，DE=CE，DF=CF．求证：△DEF≌△CEF．例2.：如图，DA=CB，DB=CA．求证：△DAB≌△CBA．例3.：如图AB=CD,AD=BC，求证：AD∥BC。例4..：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=,BM=DN,求证：△AMB≌△D．例6.AB=CD，BF=CE，AE=CF，问AB∥CD吗？例6.：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D在BE边上.求证：∠CAE=∠DAB．课堂练习：1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是()A.120°B.125°C.127°D.104°2.如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的选项是()A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3.如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS〞证明______≌_______得到结论．4.如图,AD⊥BC，垂足为D，BD=CD.求证：△ABD≌△ACD.6.：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O．求证：△AOB≌△DOC．7.如图，：AB=AC，BE=CE，E为AD上一点，求证：∠BED=∠CED。8.：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC=BD,AE=BF，CF=DE。求证：AD∥BC课后练习：1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：∠AOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边一样的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？2.：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。3.如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．4.AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？10.如图，AC=BD，BC=AD，求证:△ABC≌△BAD．能力提高：1.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=2.：如图,E是AD上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE．3.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。(1)求证：△ABE≌△DCF;(2)CF∥BE.4.如图,AD=BC,AB=DC.求证：∠A+∠D=180°.三角形全等的条件二(SAS)定义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，则这两个三角形全等．简写成“边角边〞或简记为〔S.A.S.〕两边一角对应相等结论：例1.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△ABC≌△DEF．例2.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．例3.:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．例4.如图，，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：〔1〕AE=BF；〔2〕AE⊥BF．例5.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.课堂练习：1.在△ABC和△A'B'C'中,要使△ABC≌△A'B'C',需满足条件〔〕A.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'B.AB=A'B',BC=B'C',∠A=∠A'C.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠C'D.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠B'2.如图,在∠AOB的两边上截取AO=BO,在AO和BO上截取CO=DO,连结AD和BC交于点P,则△AOD≌△BOC理由是〔〕A.ASAB.SASC.AASD.SSS4题2题3题4题2题3题3.如图，在和中，，，根据〔SAS〕判定，还需的条件是〔〕A.B.C.D.以上三个均可以4.如图,AD=AE,AB=AC,BE、CD交于F,则图中相等的角共有___对,〔除去∠DFE=∠BFC〕()A.5B.4C.3D.26.如果两个三角形全等,则不正确的选项是〔〕A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等7.如图,:△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是〔〕A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE8题7题8题7题8.以下图中全等的三角形是〔〕A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ9.如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件〔〕A.AB=AD，BC=DEB.BC=DE，AC=AEC.∠B=∠D，∠C=∠ED.AC=AE，AB=AD10.：AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．11.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.12.如图，AD＝BC,∠ADC＝∠BCD.求证：∠BAC＝∠ABD．13.如图,:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF.14.如图,在中,，分别以AB,AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使．〔1〕求的度数；〔2〕求证：．15.如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE.求证：〔1〕∠B=∠C，〔2〕BD=CE16.如图∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。求证：AB=AC。课后练习：1.下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是〔〕A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EFB.AB=BC,∠B=∠E,DE=EFC.AB=EF,∠A=∠D,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF2.如图，AD,BC相交于点O，OA=OD，OB=OC．以下结论正确的选项是〔〕A.B.C.D.3.如图，，，．以下结论不正确的有〔〕．A.B.C.AB=BCD.BD=CE4.如下图,△ABC与△BDE都是等边三角形,AB<BD,假设△ABC不动,将△BDE绕B点旋转,则旋转过程中,AE与CD的大小关系为()A.AE=CDB.AE>CDC.AE<CDD.无法确定5.：如图,CEAB,DFAB,垂足分别为E,F,AF=BE,且AC=BD,则不正确的结论是〔〕A.Rt△AEC≌Rt△BFDB.∠C+∠B=90°C.∠A=∠DD.AC∥BD.6.如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．〔填“一定〞或“不一定〞或“一定不〞〕7.如图，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.8.如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，则∠AGC的度数是______.9.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．10.如图，△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是。11.:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。12.:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．13.如图,:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．14.:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．15.:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．16.如图，在中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。17.如右图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，〔1〕试证明：DE=BF；〔2〕连接DF、BE，猜测DF与BE的关系？并证明你的猜测的正确性．18.如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F点。求证：〔1〕AD∥BC〔2〕AF=BF．19.:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。能力提高：1.观察以下图形，则第个图形中三角形的个数是〔〕A. B. C. D.……第1个……第1个第2个第3个2.如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a，AD=h,CB=k,∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()A.aB.kC.D.h3.:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE。4.如图：ΔABC和ΔBDE是等边三角形，D在AE延长线上。求证：BD+DC=AD。5.：如图，BE、CF是△ABC的高，分别在射线BE与CF上取点P与Q，使BP=AC，CQ=AB。求证：〔1〕AQ=AP；〔2〕AP⊥AQ6.如图，△ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM=，AM与BN交于Q点。求∠AQN的度数。7.C为AB上一点,△A和△BCM是正三角形.(1)求证:AM=BN；(2)求∠AFN的度数.8.如图，△ABC的边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连MN形成△AMN，求证：△AMN的周长等于2。9.在中，，AD平分交BC于D点，求证：AC=AB+BD。10.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜测AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜测；(2)假设将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的部，请你画出一个变换后的图形，并对照图形标记字母，题(1)中猜测的结论是否仍然成立？假设成立，直接写出结论，不必证明；假设不成立，请说明理由.11.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE.三角形全等的条件三、四〔ASA,AAS〕定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，则这两个三角形全等．简记为“角边角〞或简记为(A.S.A.)。如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，则这两个三角形全等，简记为“角角边〞或简记为〔A.A.S〕两角一边对应相等结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃DBDBCA〔2〕带哪一块呢？〔3〕带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？例1.如图，∠BDA=∠CEA，AE=AD．求证:AB=AC．例2.如图，∠ACB=900，AC=BC，D为AB上一点,AE⊥CD，BF⊥CD，交CD延长线于F点.求证：BF=CE.例3.如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。〔1〕求证：AE=CD，〔2〕假设BD=5㎝，求AC的长。例4.如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥GD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE=EF+BF。例5.如图，在中，AD是角平分线，CF⊥AD交AB于F，垂足为M，CE∥AD交BA的延长线于E，求证：AC=AE=AF。例6.如图，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．课堂练习1.：如图,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,则不正确的结论是()A.∠A与∠D互为余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠22.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值围是()A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<133.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF，且BF=DE，假设BD=10，BF=2，则EF=_______4.：如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB.5.如图，，，试说明△ABC≌△DCB.6.如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.7.如图：在△ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它们相交于点H，且AH=2BD.求证：AE=BE.8.:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E,CE=CD.求证：∠ADE=∠EDC．9.如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵假设连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．10.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,求证AB=AC+AD.课后练习：1.如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,求∠DBC的度数为()A.50°B.30°C.45°D.25°2.如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O。〔1〕由AD∥BC，可得=，由AB∥CD，可得=，又由，于是△ABD≌△CDB；〔2〕由，可得AD=CB，由，可得△AOD≌△COB；〔3〕图中全等三角形共有对。3.如图在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,假设BF=AC,则∠ABC的大小是4.：如图,∠1=∠2,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D.求证：AB=AD．5.如图，∠1＝∠2,∠B＝∠D，求证:△ABC≌△ADC．6.如图,∠C＝∠D,CE＝DE．求证:∠BAD＝∠ABC．7.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：〔1〕；〔2〕BO=DO．8.如图，点B、C、E在一条直线上，AB=CD，AC=BD，DE∥AC，试说明∠E=∠DBC。9.如图，，，AC、BD交于点，图中共有几对长度相等的线段，你是通过什么方法找到的？10.:如图,AB∥CD,∠1=∠2,O是AD的中点,EF、AD交于O．求证：O也是EF的中点．11.如图，AD=BE,AC∥DF,BC∥EF，求证:△ABC≌△DEF．8.：如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,F、C在直线BE上．求证：AB=DE,AC=DF．9.：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF。10.：如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F．求证：AC=BF．11.：如图,E、D、B、F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求证：AE∥CF.12.：如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC.AB、CD交于O点．求证：OE=OF．能力提高：1.:如图，AD=DC,∠ADC=∠DEB=∠B=90°,四边形ABCD的面积为16,则DE的长为〔〕A.5B.4C.3D.22.三角形ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E，使CE=BD，连结DE交BC于G，求证：DG=GE.3.：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°。求证：DE＝DF。4.在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．5.如图，点M为正△ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系"三角形全等的条件五定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．简记为H．L定理．〔或斜边直角边〕．例1.如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线A*上运动，当AP=时,才能使ΔABC与ΔPQA全等.例2.：如图，AB=CD，AE=DF，且AEBC于E，DFBC于F.求证：∠B=∠C。例3.：如图,E,B,F,C四点在同一直线上,∠A=∠D=90°,BE=FC,AB=DF．求证：∠E=∠C例4.如图，ABBC于B，ADDC于D，且CB=CD．求证：∠ABD=∠ADB.例5.证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。例6.：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。例7.：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE.课堂练习：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.斜边相等2.两个三角形有以下三对元素相等,则不能判定全等的是()A.一边和两个角B.两边和它们的夹角C.三边D.两边和一对角3.以下说法中，错误的选项是〔〕A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用B.两个锐角不能确定一个直角三角形C.一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形D.一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形3.：如图,AD=BC,AE,CF分别垂直BD于E、F,AE=CF,则图中有____对相等的角(除直角外)．〔〕A.3B.4C.5D.64.：如图，AC是∠BAD和∠BCD的角平分线，则△ABC≌△ADC用____判定．()A.AAAB.ASA或AASC.SSSD.SAS5.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=〔〕A．1：1B．3：1C．4：1D．2：36.如图,在以下给出的四组条件下，不一定能推导出△ABD≌△EBC的条件是()A.BE=BA,BD=BC,∠1=∠2B.∠3=∠4,∠1=∠2,AB=EBC.AB=EB,∠1=∠2,AD=ECD.AB=EB,∠1=∠2,∠C=∠D7.如图，AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是△和△8.：如图,AE,FC都垂直于BD,垂足为E、F,AD=BC,BE=DF．求证：OA=OC.9.：如图，DN=EM，且DNAB于D，EMAC于E，BM=．求证：∠B=∠C.10.：如图,BC是△ABC和△DCB的公共边,AB=DC,AC=DB,AE、DF分别垂直BC于E,F．求证：AE=DF．11.：如图,AB=CD,D、B到AC的距离DE=BF．求证：AB∥CD．12.：如图,OC=OD,ADOB于D,BCOA于C.求证：EA=EB．13.如图，：∠ACB和∠ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任一点，求证：CE=DE．14.：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求证：OB=OC．15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90O,直线l经过点C，AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D、E.求证：AD=CE。课后练习：1.以下条件中，不能判定两个直角三角形全等的是〔〕A.一条直角边和一个锐角分别相等B.两条直角边对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等2.在以下定理中假命题是〔〕A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是〔〕A．∠1<∠2B．∠1=∠2C．∠1>∠2D．不能确定4.在直角三角形ABC中,假设∠C=900，D是BC边上的一点,且AD=2CD,则∠ADB的度数是〔〕A.30°B.60°C.120°D.150°5.如图，BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或或或。6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，则∠ABC=度。7.如图，AD∥BC，∠A=900，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC，求证：∠DEC=90°8.如下图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．求证：BE=CF．9.BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．10.如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“〞栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证〞栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程：求证：11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB．12.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F．求证:FD∥CB。13.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，假设AB=CD。请答复以下问题：〔1〕BD平分EF；〔2〕假设将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。能力提高：1.：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．2.如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠CAB=300,△ACD、△ABE都是等边△,DE交AB于F，求证：DF=EF。3.BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。判断线段AP和AQ的关系，并证明.4.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数.角的平分线的性质角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线的画法：例1.O是△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，假设OD＝5，△ABC的周长等于20，则△ABC的面积等于S△ABC＝例2.如图，ΔABD的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.例3.如图：在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠ABC,BC⊥DF,垂足为F,AF交BD于E。求证：AE=EF.例4.如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在∠A的平分线上。例5.如下图，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上．DE=CD，EF=AC．求证：EF∥AB.例6.在△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB-AC>PB-PC．例7.如图，∠A+∠D=1800，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上．(1)探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系;(2)探讨线段BE与CE之间的位置关系．例8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE．课堂练习：1.如下图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ＝PQ，PR＝PS，则以下三个结论中正确的选项是()①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSPA．①和②B．②和③C．①和③D．全对2.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，以上结论正确的选项是〔〕A.①②③ B.①② C.①③ D.②③3.在△ABC和△A'B'C'中,①AB=A'B';②BC=B'C';③AC=A'C;④∠A=∠A';⑤∠B=∠B';⑥∠C=∠C';则以下哪组条件不保证△ABC≌△A'B'C'．()A.①②③B.①②⑤C.①⑤⑥D.①②④4.如图，点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有〔〕A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为______6.如图，AB∥CD，O是∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD间的距离等于7.ΔABC的周长是15，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥BC与点D，且OD=2，求ΔABC的面积。8.BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB。求证：D在∠BAC的平分线上．9.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，假设BG=CF，求证：AD为∠BAC的角平分线．10.△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．11.如图，A，B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间距离，但是绳不够长．你能帮她设计测量方案吗"如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理．课后练习：1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是〔〕A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠1>∠2D.不能确定2.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得的根据是〔〕A．SASB．ASAC．AASD．SSS3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是()A．1B.2C．3D．44.如图在RtΔABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交于点D，假设CD=n，AB=m，则ΔABD的面积是_______5.：如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，〔1〕假设以“ASA〞为依据，还缺条件.〔2〕假设以“AAS〞为依据，还缺条件.〔3〕假设以“SAS〞为依据，还缺条件.6.如图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有____________〔把你认为正确的序号都填上〕。7.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA。8.∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE.9.，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.10.如图：在△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点O。求证：OE=OF。11.AM为△ABC的中线，∠AMB，∠AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE+CF>EF．能力提高：1.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，假设AC=10cm，则△DBE的周长等于()A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm2.如下图，表示三条相互穿插的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有〔〕A.1处 B.2处 C.3处 D.4处3.如图,AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=360,则∠BED=4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB．5.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边中点，连接CD、BE并分别延长至F、G，使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证：AF=AG.6.如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD，DF⊥AB于F。求证：CD=DF。7.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且,求∠ABC+∠ADC的度数。8.如图：AD是△ABC中∠BAC的平分线，过AD的中点E作EF⊥AD交BC的延长线于F，连结AF。求证：∠B=∠CAF。9.△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？全等三角形复习一、选择题：1.如图，OA=OC，OB=OD，则图中全等三角形共有〔〕A.2对B.3对C.4对D.5对2.以下各图中，不一定全等的是〔〕A．有一个角是45°腰长