2021年高考数学新高考Ⅰ卷真题试卷含答案及解析

2021年高考数学真题试卷(新高考I卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。(共8题；共40分)

1.设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,则(z(X+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圆锥的底面半径为V2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2>/2C.4D.4夜

.下列区间中，函数)单调递增的区间是()

4f(x)=7sin八(O

c/7r\cl3TT,3TTn

A.(0,5)V

B.(-,JT)C.(,3)0.(yz2H

5.已知F/2是椭圆C：大+乃=1的两个焦点，点M在C上，则|MFI||MF2|的最大值为()

94

A.13B.12C.9D.6

什sin0(l+sin2()),、

6.右tan0=-2,则-----------=()

sin0+cos°

C

A.--B.--1D.-

555

7•若过点(a,b)可以作曲线y二ex的两条切线，贝(J()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件"第一次

取出的球的数字是1",乙表示事件“第二次取出的球的数字是2",丙表示事件“两次取出的球的数字之和

是8",丁表示事件"两次取出的球的数字之和是7",则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共20分)

9.有一组样本数据xi,X2,...,Xn,由这组数据得到新样本数据yi,y2,.,yn,其中yi=Xi+c(i=l,2,...,n),c为非零

常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cosB，-sinB),P3(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),则()

A-1OPil=lopzlB-lAPil=IAP2IC0A0P=OPi0P2OA•OR=ow•opj

11.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=3遮

D.当NPBA最大时，|PB|=3V2

12.在正三棱柱ABC-&B1G中，AB=A&=1,点P满足丽=2品+N西，其中入00,1],fi

£[0,1]）则（）

A.当入=1时，△ABrP的周长为定值

B.当口=1时，三棱锥P-AiBC的体积为定值

C.当入=g时，有且仅有一个点P,使得&P1BP

D.当y=g时，有且仅有一个点P,使得4B,平面ABiP

三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共20分）

13.已知函数f（x）=x\a-2x-2-x）是偶函数，贝ija=

14.已知。为坐标原点，抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴

上一点，且PQ_LOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为

15.函数f（x）=|2x-l|-2lnx的最小值为

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dmxl2dm

的长方形纸.对折1次共可以得到lOdmx2dm、20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240

dm2,对折2次共可以得5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和

2

S2=180dmo以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么

Sk=isk=dm.

四、解答题：本题共6小题，共70分。（共6题；共70分）

17.已知数列｛即｝满足的=1,限1计+十1,：n为奇数

而+2,n为偶数

（1）记刈=。2我，写出b，b2>并求数列｛%｝的通项公式；

（2）求｛an｝的前20项和

18.某学校组织“一带一路"知识竞赛，有A,B两类问题•每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从

中随机抽U又一个问题I可答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一

个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0

分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与

回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

19.记AABC的内角AB,C的对边分别为a.,b.,c,已知b2=ac,点D在边AC上，BDsinZABC=asinC.

（1）证明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求coszABC.

AB=AD.O三棱锥A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O为BD的中点.

(1)证明：OAJLCD：

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45。，求三棱

锥A-BCD的体积.

.在平面直角坐标系中,己知点&(-点满足.记的轨

21xOyV17,0),F2(V17,0),M|MFt|-|MF2|=2M

迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|-|TB|=|TP|-|TQ|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

22.已知函数f(x)=x(1-lnx)

(1)讨论f(x)的单调性

(2)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b证明：2〈。工

答案解析部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.B

【考点】交集及其运算

解：根据交集的定义易知ACB是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3},

故答案为：B

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

2.C

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算

解:z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i

故答案为：C

【分析】根据复数的运算，结合共挽复数的定义求解即可.

3.B

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)

解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为I,底面半径为r,则有2”r=翳-x2n|

解得Z=2r=2V2

故答案为：B

【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.

4.A

【考点】正弦函数的单调性

解：由一三+2knWx—三W三+2k冗得一三+2/c五<x<—4-2kn，kWZ,当k=0时，

26233

是函数的一个增区间，显然(0,当,

\2)33

故答案为：A

【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.

5.C

【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义

22

解：由椭圆的定义可知a=9,b=4,|MFi|+|MF2|=2a=6,

则由基本不等式可得IMF1IIMF2KlMF1||M尸2|W曰)=9，

当且仅当|MFi|=|MFz|=3时，等号成立.

故答案为：C

【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.

6.C

【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用

sin0(sin20+2sin0cos0+cos20)_sin0(sin0+cos0)2

解：原式==sin0(sin04-cos。)

sin8+cos。sin8+cos。

__sin20+sin0cos0_tan20+tan0_2

sin2^+cos20tan20+l5

故答案为：c

【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.

7.D

【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程

解：由题意易知，当x趋近于-8时，切线为X=O,当X趋近于+8时，切线为y=+8,因此切线的交点必位

于第一象限，且在曲线丫=0、的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.

8.B

【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式

解:设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),

则P(4)=P(B)=]P(C)=^=gP(0)=白=*,

对于A,P(AC)=O；

对于B,P(4D)=Wi

36

对于c,P(BC)=2=9

对于D,P(CD)=O.

若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),

故B正确.

故答案为：B

【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.C,D

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

解：对于A,元=2耳*，y=%=%+-:…+与+c=元+c,因为CWO,所以元力歹

故A错误；

对于B,若X1,X2,……,Xn的中位数为Xk,因为y产Xi+c,因为CNO,所以yiM,……M的中位数为

yk=Xk+cHXk,故B错误；

对于C,yizy2z……,yn的标准差为%=j—+G2—丫产+…(%—=

：+C)-叵+c)]2+[(%2+c)—叵+c)]2+・・・[On+c)-叵+C)]2

=；J(%1-y)2+(%2—3)2+…(Xn-y)2

sx,故c正确;

对于D,设样本数据X1,X2,......,Xn中的最大为Xn,最小为X1,因为yi=Xi+C,所以y丫2,……心中的最大为

yn，最小为yi,

极差为yn-yi=(Xn+C)-(Xl+C)=Xn-Xl,故D正确.

故答案为：CD

【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.

10.A,C

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角

和与差的正弦公式

22

解：|OPi|=A/COS2a+sin2a=1,\0P2\=-Jcos^+sin^=1，故A正确；

因为|ZPi|=J(cosa-1尸+sin2a=72—2cosa,\AP2\=J(cos0-]尸+si/。=J2—2cosB，故

B错误；

因为。4-0P3=1xcos(a+0)+0xsin(a+.)=cos(a+0),

OPi,0P2=cosacosjS-sinasinS=cos(a+夕),

所以&-0P3=oh.0P2

故C正确；

因为。4•OP】=1xcosa4-0xsina=cosa，

0P2•0P3=(cos/?,—sin/?)•(cos(a+°),sin(a+/?))=cos/?xcos(a+/?)+(—sin/?)xsin(a+/?)=

cos(a+2£),

所以D错误

故答案为：AC.

【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.

11.A,C,D

【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系

解：直线AB为：2+：=1，即x+2y-4=0,

设点P(5+4cos0,5+4sin。)，则点P到直线AB的距离为d=忖+切”乎+产的-留=11+4V号(e+a),则

11-4遍„

dmax=-<1°，^min

所以A正确B错误；

又圆心0为(5,5),半径为4,则|0B|=J(5—0尸+(5—2]=V34，

所以当直线PB与圆相切时，NPBA取得最值，此时，\PB\=y/\OB\2-r2=V34-16=3VI

所以CD正确

故答案为：ACD.

【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.

12.B,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

解：由点P满足PB=ABC+〃西可知点P在正方形BCCiBi内，

对于A,当入=1时，可知点P在CJ（包括端点）上运动，如下图所示，ZkABiP中，ABX-y/2,AP-

4+〃2,B]P=Jl+（l-〃）2,

因此周长L=AB+AP+BiP不为定值，故A错误.

对于B,当n=l时，可知点P在BiCi（包括端点）上运动，如下图所示,

易知BiCi〃平面AiBC,即点P到平面AiBC的距离处处相等，

△AiBC的面积是定值，所以三棱锥P-AiBC的体积为定值，故B正确；

B

对于C,当4=3时，分别取线段BB1,CC1的中点M,N,可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如

卜图所示,

B

很显然若点P与D,Di重合，均满足题意，故C正确；

对于D,当4=1时，分别取线段BBi,CCi的中点D,Di,可知点P在线段DDi（包括端点）上运动,

如下图所示，

此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.

故答案为：BD

【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可，根据线线垂直及线面垂直

的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.

三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.1

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

解:设gM=a-2x-2-x，则题意可知函数g(x)为奇函数，则虱0$2。-2—,故a=l

故答案为：1

【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.

x=--

14.2

【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义

解：由题意可设P©,p),=2,KQP=-i

因此直线PQ的方程为：y-p=—

令y=0,得x=|p

因此|FQI=|「-3=2P=6

则p=3

因此抛物线C的准线方程为：x=-^=-|

【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.

15.1

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用

解：①当时，f(x)=2x-l-2lnx,则/'，(x)=2-|=与艾，

当X>1时，f'(X)>0,当g<X<l时，f'(X)<0,所以f(X)min=f(1)=1；

②当时，f(x)=l-2x-2lnx,则/>'(x)=-2-：=一^^<0,

此时函数f(x)=l-2x-2lnx在(0,j上为减函数，则f(x)min=fQ)=21n2>1,

综上，f(x)min=l

故答案为：1

【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解

n+3

16.5；720-240--

【考点】数列的求和，类比推理

解：对折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4种,面积和为3=4x30=120dm2;

2

对折4次有1.25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5种，面积和为S4=5xl5=75dm;

对折n次有n+1中类型，S.=察⑺+1),

因此再=240.((+尹•..+噤),转&=240.偿+套+…+第，

上式相减，得”*=2处(1+专+专+…+/—装匀=240(|一普)

则宓=240(3-詈)=720-240-

故答案为：5,720-240—

n

【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n次的图形种数，运用错位相减法可求2S,.

k-1

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17.(1)2n为偶数,

则a2n+l=a2n+2>«2n+2=a2n+l+1'

aa

2n+2=2n+3,即bn+1=bn+3,且瓦==a1+1=2,

・•・｛bn｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

：•b]—2,/)2=5,bn~~371—1.

(2)当九为奇数时，an=an+1—1,

・•・｛册｝的前20项和为

%+02----a2Q

=(%+Q3+…+Q19)+(@2++…+。20)

=[(a2-1)+(。4-1)■1----*■(。20-1)]+(。2+----1■。20)

=2(。2+@4+…+。20)—I。.

由(1)可知，

10x9

+…+a2o=瓦+与+…+bio=2X104---X3=155.

｛an｝的前20项和为2X155-10=300.

【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和

【分析】(1)根据等差数列的定义及通项公式即可求解；

(2)运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.

18.(1)X的取值可能为0,20,100,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

・•・X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

(2)假设先答B类题，得分为丫，

则y可能为o,so,wo,

p(y=0)=1-0.6=0.4,

P(y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

丫的分布列为

Y080100

P0.40.120.48

E(y)=0X0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

•••E(y)>E(X),

应先答B类题.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

【分析】(I)根据独立事件的概率，并列出X的分布列即可；

(2)根据独立事件的概率，并列出丫的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断.

19.(1)在4ABe中，

sin^ABCsinC

vBDsin^ABC=asinC,

...肚=-5—(2)

sinCsin^ABC'

联立©②得翌=小，即ac=b•BO,

BDQ

vb2=ac,

:.BD=b.

(2)若4。=2DC,

△ABC中，cosC=az+'d③,

2ab

一a2+(1)2-b2

△BCD中，COSC=—④，

2a-

3

•••(g)=@,

(a2+b2-c2)=3[a2+(1)2-b2],

整理得a2+b2~c2=3a2+--3b2,

3

2a2-—b2+c2=0,

3

vb2=ac，

QO

:.6a2—llac+3c2=0,即。=孑或。=鼻。，

若a=：时，b2=ac=^,

,“2”2f2^-+C2-lC27人

则cos^ABC=-------(舍)，

=——=T72="

2ac-c2-c6

若Q=|c，Z?2=ac=|c2,

a2+c2-b2沁/-

则cos^ABC1/=2=L

2ac3c2-3c212

【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用

【分析】(1)根据正弦定理求解即可;

(2)根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.

20.(1)AB=AD,0为BD中点，

AO1BD,

•••4。u面ABD,

面ABD1面BCD且面ABDn面BCD=BD,

■­■4。1面BCD,

：.AO1CD.

(2)以0为坐标原点，。。为y轴，。力为z轴，垂直OD且过。的直线为x轴,

设。弓1,0),。(0,1,0),8(0,-1,0),4(0,0®,,

・♦,EB=(O,,~BC=(y,|,0),

设西=Qi，yi，Zi)为面EBC法向量，

丽♦元=-，-|吟-0

{BC-n7=yX1+|yx=0

2yl4-mz1=0

+y/3y1=0'

2

令％=1，**,zi=—~»%i=-V3»

**•五=(—V3,1,—・),

面BCD法向量为OA=(0,0,m)

cosgOQ=\—r=\=y,解得m=l,

m14+港

:.OA=1,

S»ABD=axBDxOA=-x2xl=l,

匕-BCD-1^1=7-

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向

量求平面间的夹角

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；

（2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=l,再根据棱锥的体积公式直接求解即可.

21.（1）•••IMF/-\MF2\=2,

二轨迹C为双曲线右半支，=17,2a=2,

:.a2=1,b2=16,

：・x2--=1（%>0）.

（2）设TCpn）,

设AB：y—n=fc1fx--）,

y-n=/c1（x-1）

联立｛2产

x2---=1

16

2222

A（16-）x4-（fcx2-2左述）％—[ki—n4-hn-16=0,

%2-2kn

：•X+X1

t2的2-16

22

加+n-/c1n+16

%1+不

IC]2—16

|771|=Jl+ki2（/一｝，

|叫="+自2（打一｝，

（层+12）（1+七2）

\TA\■\TB\=（1+kr2）（X]_｝（X2一》

ki2-16

设PQ：y-n=k2（x-^）,

（九七2）

同理\TP\'\TQ\=2+12）（1+

2

k2-16

-\TA\-\TB\=\TP\-