2021年高考数学模拟试卷（带解析）

2021年高考数学模拟联考试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中只有一项是符合题目要求的.））

1.设集合4={%比2+%—2<0},B={x\0<x<3},则4UB=（）

A.{x|-2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|-1<x<3]D.{x|0<x<2}

2.已知i是虚数单位，z是复数，若（l+3i）z=2-i,则复数z的虚部为（）

7.777.

--1--------1

A.10B.10C.10D.10

71

3.在△4BC中，“sin4=cosB"是"C=2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数f（x）=ln（5/PTT+kx）的图象不可能是（）

5.已知圆/+y2-4%+4y+。=0截直线％+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数Q

的取值范围为（）

A.(8-V17，S+V17)B,(8-^17»8)

C.(-9,4-oo)D.(-9,8)

(X2+2)(x--),

6.X的展开式中的常数项是()

A.-5B.15C.20D.-25

7.已知双曲线C5-，=l（a>0,b>0）的实轴长为16,左焦点为F,M是双曲线C的

一条渐近线上的点，且OM_LMF,。为坐标原点，若SA°MF=16,则双曲线C的离心率

为（）

A.—B.V5C.V3D.—

22

]

8.已知函数/（x）=2+1+x+2,若不等式/'（m・铲+1）+/（m-2X）>5对任意的

x>。恒成立，则实数m的最小值为（）

1近-1返

A.V22B/'/2-Ic.2D.i-2

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.））

9.设a,b,c为实数，且a>b>0,则下列不等式中正确的是（）

上得）a<g）b

A.&DB.ac2>be2C.NND.lga2>lg（ah）

（A>0,O）>0,|。|〈马

10.函数/'（%）=力85（3%+枢）2的部分图象如

q,兀-2兀

图所示，且满足23,现将图象沿%轴向左平移4个单位，得到函数旷=

g（x）的图象.

下列说法正确的是（）

试卷第2页，总18页

A.g（x）在126上是增函数

_5兀

x=---

B.g（x）的图象关于6对称

C.g（x）是奇函数

[工12L][2&a]

D.g（尤）在区间°12'12」上的值域是13’3」

11.已知四棱锥P-4BCD,底面4BCD为矩形，侧面PCD1平面ABCD,BC=2®

CD=PC=PD=2V6.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）

A.BM_L平面PCO

B.PA〃面MBO

C.四棱锥M-4BCD外接球的表面积为36兀

D.四棱锥M-4BC0的体积为6

12.设立为等比数列｛%｝的前n项和，满足臼=3,且％,-2a2,4a3成等差数列，则下

列结论正确的是（）

B.3szi=6+CLn

,-----二工建旦

C.若数列｛aj中存在两项,，as使得MaP“则pS的最小值为3

t=CSn-^=Cir卫

D.若恒成立，则Tn—t的最小值为6

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.））

己知1及|=2,|b|=i,a+b=(2,-v3),则|a+2b户

13.

_2L返2L

14.若V3cos(3—a)-sina=3,则sin(2a+6)=

15.已知直线y=2x-2与抛物线y2=8x交于A,B两点，抛物线的焦点为F,则FA・

FB的值为.

x-m

班已知函数6ln(-x)g(x)=

2

x2x,若函数

h(x)=g(f(x))口

m有3个不同的零点X2>x3,且％1<%2<刀3，贝疗(%1)+

/(x2)+2/(向)的取值范围是.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.))

17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是直角梯形，Z.DAB=90°,AD//BC,

AD1.侧面PAB,APAB是等边三角形，£M=4B=2,BC=\AD,E是线段4B的中

点.

(1)求证：PEJ.CD；

(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值.

②8s-Fsi遥3

18.在①Esin4+asinB=4csin4sinB,=2,③

(a-«b)sinA+bsinB=csinC,这三个条件中任选一个，补充到下面的问

试卷第4页，总18页

题中，并解决该问题.

15

已知△力BC中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边，sin力sinB=4,c=2,

,求角C及△ABC的面积S.

n

19.己知数列｛&J满足的=-5,且a九+2an_!=（-2）-3（n>2且nGN*）.

（1）求取，。3的值；

aj入

（2）设%=（-2）n,是否存在实数九使得｛与｝是等差数列？若存在，求出;i的值,

否则，说明理由.

（3）求｛%｝的前n项和％.

20.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某

地车牌竞价的基本规则是：①"盲拍"，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并

不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根

据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2018年4月份的

车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍

的人数（如表）：

月份2017.112017.122018.012018.022018.03

月份编号t12345

竞拍人数y（万人）0.50.611.41.7

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编

号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=bt+a,并预测

2018年4月份参与竞拍的人数；

（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一

个抽样调查，得到如表一份频数表：

报价区间（万元）■2)[2,3)[3,4)[4,5)56)[6,7]

频数206060302010

⑴求这200位竞拍人员报价X的平均值x和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区

间的中点值代替)；

(")假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(〃,d),且“与可分别由

⑴中所求的样本平均数x及s2估值.若2018年4月份实际发放车牌数量为3174,请你合

理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.

参考公式及数据：①回归方程y=bx+a,其中b=丝，a=y-bXi

Si=inxi2-W

②/=i#=55,1=色切=18.8,TL7x1.3；

③若随机变量Z服从正态分布N(〃,d),则P(〃—cr<Z<〃+b)=0.6826,PQi—

2。VZV〃+2a)=0.9544,尸(〃一3。<ZV〃+3。)=0.9974.

22

C：马座或1(a>b>0)1

2i.已知椭圆ab的离心率为2,直线

1：y=--z-x+2

/与椭圆C有且仅有一个公共点4

(1)求椭圆C的方程及4点坐标；

(2)设直线，与％轴交于点B.过点8的直线与C交于E,F两点，记4在x轴上的投影为G,

7为BG的中点，直线4E,AF与％轴分别交于M,N两点.试探究•|7W|是否为定值?

若为定值，求出此定值，否则，请说明理由.

22.已知函数/(%)=/-2mx+21nx(m>0).

(1)讨论函数/'(%)的单调性；

(2)若%1，不为函数/(%)的两个极值点，且%1，小为函数九(%)=皿％-c/一bx的两个

、蚯

零点，%!<x2.求证：当S时，

X1+x-

(X]-X2)h’(------9-)

试卷第6页，总18页

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中只有一项是符合题目要求的.）

1.

【答案】

A

【解析】

此题暂无解析

2.

【答案】

B

【解析】

此题暂无解析

3.

【答案】

B

【解析】

此题暂无解析

4.

【答案】

C

【解析】

观察选项可知，A,B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C,。选项的函数

图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论

5.

【答案】

D

【解析】

此题暂无解析

6.

【答案】

D

【解析】

（X-）6

求出X展开式的通项公式，分别令x的指数为0,-2,求出对应的7•值，从而

计算得解.

7.

【答案】

A

【解析】

求得双曲线C一条渐近线方程为y运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和

三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4遮，进而得到双曲线的离心率.

8.

【答案】

C

【解析】

此题暂无解析

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分J

9.

【答案】

A,C,D

【解析】

此题暂无解析

10.

【答案】

B,C,D

【解析】

此题暂无解析

11.

【答案】

B,C

【解析】

设4CnDB=0,取CD中点为E,连接4E,可得PE=3a.AE=3五,PA=

>JPE2+AE2=6.

A,根据，PB=6丰BC,即可判定平面PCD不可能；

B,由OM〃P4可得24〃面MBD；

C,由OM=。0=OB=OC=。4=3,即可得四棱锥M-4BCD外接球的表面积.

D,利用体积公式可得四棱锥M-4BCD的体积为U3VP-ABCD=|x|x2V3x2V6x

3a=12.

12.

【答案】

A,B,D

【解析】

此题暂无解析

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分J

13.

【答案】

2M

【解析】

此题暂无解析

14.

【答案】

5

T

试卷第8页，总18页

【解析】

此题暂无解析

15.

【答案】

-11

【解析】

此题暂无解析

16.

【答案】

,o)U(o,2)

ee

【解析】

此题暂无解析

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.

【答案】

(1)证明:1••4D1侧面PZB,PEu平面P4B,

AD±EP.

又・•・ZiPaB是等边三角形，E是线段48的中点，

AB1EP.

ADnAB=A,

PE_L平面4BCD.

CDu平面4BCD,

PE1CD.

(2)解：以E为原点，EA,EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

ED=(2,1,0),EP=(0,0,V3),PC=(1,-1,-V3).

设蔡=(x,y,z)为平面PDE的一个法向量.

n-ED=2%4-y=0/

(n-EP=v3z=0,

令％=1,可得n=(1,—2,0).

设PC与平面PDE所成的角为仇得

sin0=Icos<PC-n>\=」二。

|PC|-|n|

所以PC与平面POE所成角的正弦值为，

【解析】

(I)根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD1EPS.AB1EP,从而得到PE，平

面ZBCD.再结合线面垂直的性质定理，可得PE1CD；

(〃)以E为原点，EA,EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.可得E、C、

D、P各点的坐标，从而得到向量晶、EP,而的坐标，利用垂直向量数量积等于。的

方法，可得平面PDE一个法向量曾=(1,-2,0),最后根据直线与平面所成角的公式，

可得PC与平面PDE所成角的正弦值为|.

18.

【答案】

若选①bsinA+asinB=4csin4sinB,

因为bsinA+asinB=4csin4sinB,

所以由正弦定理得sinBsinA+sin/lsinB=7sinCsin力sinB,

即2sinBsin4=4sinCsinAsinB,所以

C=csinAsinB=

若6,由

B<

7，

sinAsinB<C-7

从而4,矛盾.

K

故6,

接下来求^4BC的面积S.

2R=

sinC

法一：设A/IBC外接圆的半径为R,则由正弦定理，得

a=2Rsin4=5sin/l,b=2RsinB=4sinB,

ab=16sinAsinB=4（l-h/5）,

试卷第10页，总18页

9ii

.SAABCaabsinC二百X4（1+夜）X万=5*K/5

V5....._V3

~^rcosAcosD-sinAsinB=—

法二：由题意可得cosC=«,即2,

5W3

sinAsinB=

4

2-M

cosAcosB=~T~

3

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB^"

A-*，罕）

8o

K71

A-B=—B-A=

4或T,

K8兀

当A-B;飞一时,A+B=

又—

兀

2sin-r-

csinB4

b-=272

sinC

silTT

由正弦定理，得

SAABC=4bcsinA=yX2V2X6sin-^-=2V8（除Xy-^y-X坐）=7+V§

K

当B人3时，同理可得SAABC_4+J5,

故AABC的面积为

cos2C_2V3sin咚W5=2

选②2,

cos2C_6V3sin2-7_+V3=2

因为6v°,

所以4cos^C_(l-cosC)+V3-4=0

即2cos%+禽。。$03=2,(2COSC-A/3)(COSC+J5)=0,

所以8SJ5或cosC=-«

(舍)，

K

c=-^-

因为ce(o,yr)f,

以下同解法同①.

选③(a-V3b)sinA+bsinB=csinC(

由(a-J§b)sinA+bsinB=csinC,及正弦定理得

(a-V5b)a+b2=c2,

222

gpa+b-c=V4ab(

2,,22人份

a+b-c73

cosC='

由余弦定理得2ab3,

兀

0<C<71,.•

以下解法同①.

【解析】

._l

sinrC-TT

若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2,结合范

围C6（0,兀），可求C的值，接下来求△ABC的面积S,

法一：设△力BC外接圆的半径为R,则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积

公式即可求解.

返1

法二：由题意可得cosC=2,利用三角函数恒等变换的应用可求cos（4-B）=2,

5兀5兀

A-B€J）可求，,B的值，由正弦定理得b,利用三角

结合范围6'6

形的面积公式即可求解.

选②利用二倍角公式化简己知等式，可得（2cosC-«）（cosC+V3）=0,解

得cosC,结合范围ce（0,兀），可求c的值，以下同解法同①.

选③由已知利用正弦定理得a2+b2-c=V3ab（由余弦定理得c°sc,结合范

围0<C<7T,可求c的值，以下解法同①.

19.

试卷第12页，总18页

【答案】

由题设，知an+2an_]_(一4)一土

令y2,有及2+22广(-6)2-3,得&=]1，

令『3,有23+822=(-2)3-3,得的=_33；

「入」一

I+2b

由(I),可得5—2-2,(-2)24,

a3+X,X-33

“=(—4尸=-8

X+11入-5入-33

—十一

若数列出工是等差数列，则有7b2=&+仇，即2-3-8,解得

2=1,

下证：当；1=7时,数列｛b｝是等差数列，

由an+2a加广(一8)一与可得八+2厮=(_2严_7,

n+2

an+1+3an+3(-2)-3-2an+5an+2

n+1n

bn+1-bn=(-2).(-2)=(-2)nr一(-2)口=

(-27的-2-2an+2an+2

(-2严8=],

ai+1

b3=——=2!

数列｛%｝是公差为1的等差数列，又一4，二%=n+l，

故存在4=3使得数列｛%｝是等差数列；

ajl

bn=--------^n+8

由(2),可得(-2),

,a=(n+l)*(-2)n-8

,•，

/T“=2・(-2)+8・(-2)2+7・(-2)3+…+(n+2)•(-2)n

令n,

则

41tH

(-2)Tn=6・(-2)2+5・(-2)?+4・(-2)+-+(n+4)*(-2)

8n

两式相减,得2)n+3

47n=-4+[(—2)+(―2>+…7)]—(n+1),(―

4[7-(-2尸]8+(7n+4)•(-2严7

=-4+4+2-(n+1)-(-2)n+1--3

8+(2n+4)・(-2严7

■­•rn=-9,

-(3n+4)・(-2)*1-4

.5n=9F

【解析】

此题暂无解析

20.

【答案】

由题意求出C=3,

y=1.04.

由E之1t/=55>Yti=lstiyi=18.8,

Xi=lnxiyi—nxy18.8—5X3X1.043.2

b=――=0.32

着二M一心—55-5x3210

那么a=y-bx=1.04-0.32x3=0.08

从而得到回归直线方程为y=0.32x+0.08.

当t=6时，可得y=0.32x6+0.08=2(万)

①根据表中数据求解平均值x=黑x1.5+黑x2.5+黑x3.5+三x4.5+黑x

5.5+—x6.5=3.5.

样本方差S2=(-2)2X券+(-M)X黑+0+MX券+22X黑+32X『1.7.

(ii)P=0.1587.

''20000

正态分布N(〃,。2),可得(3.5,1.72)

P(ji—a<Z<n+a)=0.6826,

即3.5-1.7<Z<5.2.

P(Z>5.2)==0.1587,

2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元.

【解析】

(1)由题意求出t,y,£=母岸，若=1“9，代入公式求值，从而得到回归直线方程;

(2)根据(1)求出P.根据表中数据求解平均值x和样本方差s2,由正态分布

NQM),则pa-crvz<"+<?)=0.6826,由此可得3.5-1.7<Z<5.2.P(Z>

5.2)=上詈=0.1587,从而预测竞拍的最低成交价.

试卷第14页，总18页

21.

【答案】

设C的半焦距为c,则a2,即a6=4<2,b7—a2—c2—8c2,

2223

X,y_X_y1

c：+1H+-b=

r2c2-/2n21：y~x+6

所以5cbe,联立4c3c与，2,

得/—2x+2—3c2=7,依题意4=4—4(6—3c2)=2,

解得。2=1,所以a6=%匕2=3,

2”7

—+^-=1

故椭圆c的方程为43.

此时X8-2X+4-4C2=0,即%2―2%+1=7,

17

根为口，贝1方*1+2而,

所明点坐标为Q1

传，7)

易知8(4,4),乙

若直线EF的斜率为0,此时M(-2,N(3,0),0),

|TM|=4ITN14ITN1=1|TM|=4ITM|-|TN|4

2,5或2,2,则2,

72

“—=1

若直线EF的斜率不为0,设直线EF的方程为刀=7!丫+447,

得(3M+4)y2+24ny+36=5,

-24n36

=yy=

yi+y4—2-i2―2—

设Ea,yi),F(x5,y2),则3n+4,3n+4,

4力53(X1-1)、

”(卜7—3，5)

可得直线AE的方程为1，则71

3(x「5)36(X1-1)(3n+6)y1+43(2n+2)y4+3

|TM|=y-2-H—H------------------------------------------=—・-----------------------

2y「323yr32(2y2-3)22y8-3

同理，y5°,所以

河・初号。+2"3(2n+6)y2+3

2y6-37y2-3

293n+n+20)

[(5n+2)yj+4][(2n+2)y2+3]=(2n+6)yjy5+3(2n+2)(yj+y2)+8=^^-

9(2/+16"20)

(27^2)(2y-4)=4yy-6(y+y)+9=

216173n2+4

Q

ITMHITNI-

所以

Q

|TM|-|TN|-r

综上,4为定值.

【解析】

此题暂无解析

22.

【答案】

由于/(%)=—-2mx+51nx,xe(0,

22(x8-mx+l)

.0./,(x)=2x-2m4-X=X

对于方程/一nix+7=0,A=m2-8,

当机2一443,即Ov巾42时，

故/(%)在(4,+8)内单调递增，

当62—4>3,即zn>2时2—mx