2021年高考数学真题逐题解析与类似题型练习第9题 样本的数字特征（原卷）

第9题样本的数字特征

--"＞原题呈现

【原题】有一组样本数据看“2,…,x“，由这组数据得到新样本数据/，为，…,北,其中y=x,+c

(i=l,2,…,”),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】因为y=Xj+c,所以*=一£七,y=一＞2(巧+。)=%+(?,因为CHO,所以yHX,A错误：设

n,=1n,=1

第一组中位数为4,则第二组的中位数为％=/+c,cwO,所以％错误；第一组数据的标准差

s=&£(玉一寸，第二组数据的标准差s'=口£()，,一斤=\£(%-寸C正确；若第一组数据

Vni=lVvn/=!'Vni=l'

的极差为X1mx-Xnlin，则第二组数据的极差为,皿一Win="max+。)一(/in+◊=%皿一小“，故D正确；故

选CD

【就题论题】本题涉及到中位数、平均数、标准差及极差等样本的数字特征，题型是常规题型,考生在复习时

训练的比较多，绝大部分考生都能得分.

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查样本的数字特征，考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：中等偏易.

【考情分析】概率与统计是高考重点，在高考试卷中既有客观题又有解答题，由于该模块涉及知识点比较多,

高考命题没有固定的热点，一般情况下，统计与概率、随机变量的分布列都会涉及，客观题至少会有2道.

【得分秘籍】

(1)众数、中位数、平均数

①众数：一组数据中出现次数最多的数.

②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在正中间位置的数(或中间两个数的平均数)

叫做这组数据的中位数.

③平均数：如果n个数X1,X2,…,Xn,那么」=壬+9+…+X/叫做这n个数的平均数.

n

(2)三种数字特征的优缺点

众数：优点：①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算.

缺点：它只能表达样本数据中很少的一部分信息,无法客观地反映总体特征.

中位数：优点：①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据

的信息.

缺点：对极端值不敏感.

平均数：优点：是反映数据集中趋势的量.一般情况下可以反映出更多关于样本数据全体的信息.

缺点：代表性不强，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”，对平均数的影响越大.

(3)极差、标准差、方差

①一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.

②标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用S表示,S=3g(茗-1)2

③方差是标准差的平方.

(3)对方差与标准差概念的理解

①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、

方差越小，数据的离散程度越小.

②标准差、方差的取值范围是：。+8>“独立”与“互斥”的区别

③因为方差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数

据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

(4)有关平均数、方差的一些结论

若数据X1,X2,…,Xn的平均数为，方差为S2.

22

则axi,ax2,...,axn的平均数为ax，方差为as.

22

数据mx1+a,mx2+a,...,mxn+a的平均数为根x+a,方差为ms.

(5)标准差(方差)的两个作用

①标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小.

②在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确

定稳定性.

(6)众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系

①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示,即在样本数据的频率分布直方图中，最

高矩形的底边中点的横坐标.

②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.

【易错警示】

（1）混淆标准差与方差

（2）求数据的中位数时没有按照从小到大（或从大到小）的顺序排列.

三、以例及类

（以下所选试题均来自新高考I卷地区2020年1-6月模拟试卷）

一、单选题

1.（2021福建省龙岩市高三三模）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布

形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为中位数为N,平均数为P,则（）

A.N<M<PB.M<N<P

C.M<P<ND.P<N<M

2.（2021广东省深圳市高三一模）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠

病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18

至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）

D.37

3.（2021河北省邯郸市高三一模）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某

中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）、（2）班

两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高,说明该项教育越好）.下列说法正确的是

()

德10

体美

实级:而三（1）班的数据虚线:高三（2）班的数据

A.高三（2）班五项评价得分的极差为1.5

B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分

C.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高

D.各项评价得分中,这两班的体育得分相差最大

4.（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）俗话说：“一心不能二用"，意思是我们做事情要专心，那么，“一

心'’到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后,做了一个研究，他们在本年级随机抽取男生和女生各

100名,要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如下,则下列

说法正确的是（）

①男生"一心二用''所需平均时间平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都强于男生；③女生用时众

数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布.

A.①④B.②③C.①③D.①③④

5.（2021江苏省南通市学科基地高三下学期高考全真模拟）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目的选拔赛,

四人的平均成绩和方差见下表

甲乙丙T

平均成绩X/环9.08.98.69.0

方差52/环22.82.82.13.5

如果从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，那么最佳人选是（)

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知某城市9月平均气温为28.5℃,如当月最热日和最冷日的平均

气温相差不超过10℃,则该月平均气温在30℃及以上的日子最多有多少天？（）

A.24B.25C.26D.27

7.（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时

间前往敬老院、消防队等场所劳动服务.经统计■，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s.后来

经核实，发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为

15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时.更正后重新计算,得到标准差为邑，则5

与4的大小关系为（）

A.s=SIB.SV。C.s>S|D.无法判断

8.（2021湖南省长沙市长郡中学高三下学期保温卷）已知某6个数据的平均数为4,方差为8,现加入2和6两

个新数据，此时8个数据的方差为（）

A.8B.7C.6D.5

9.（2021湖北省武汉市华中师范大学附中高三下学期5月押题卷）为庆祝中国共产党成立100周年/、B、C

、。四个兴趣小组举行党史知识竞赛,每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况,若该组

每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A、B、C、D四个小组成员失分数据信息如下，则一定为

“优秀小组'’的是（）

A.A组中位数为2,极差为8B.B组平均数为2,众数为2

C.C组平均数为1,方差大于0D.D组平均数为2,方差为3

10.（2021河北省张家口市高三三模）某中学春季运动会上,12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成

绩从高到低取前6位进入决赛，如果小明知道了自己的成绩后，则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判

断自己能否进入决赛（）

A.中位数B.平均数C.极差D.方差

H.（2021福建省三明市高三三模）某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作II的上班通行

时间，并进行初步处理，得到频率分布表如下（T表示通行时间，单位为分钟）：

通行时间15<T<2020<T<2525<T<3030<T<3535<T<40

频率0.10.30.30.20.1

该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号召，准备每天

从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车，当天上班的通行时间为30分

钟.将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，对唐先生上班通行时间的判断,以下正确的是（）

A.开小车出行的通行时间的中位数为27.5分钟

B.开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为0.01

C.选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费5分钟

D.若选择骑自行车和开小车的概率相等，则平均通行时间为28.5分钟

12.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1,另一

个数由6改为9,其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

13.（2021福建省厦门市高三三模）记考试成绩Z的均值为〃，方差为a?,若Z满足

0.66<P（〃—b<Z<〃+b）<0.70,则认为考试试卷设置合理.在某次考试后，从20000名考生中随机抽

取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为63.5,方差为169,将数据分成7组，得到如图所示的频率分

布直方图.用样本估计总体，则（）

A.本次考试成绩不低于80分的考生约为5000人

B.a=0.03

C.本次考试成绩的中位数约为70

D.本次考试试卷设置合理

14.（2021广东省佛山市高三下学期二模）百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.

近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校

及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下,

根据图中信息，下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率三在校生规模+适龄青少年总人数X100%）

2020年高中阶段教育在校生结构

其他适龄教育

中等职业学校

38.83%

普通高中

60.10%

A.近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长

B.近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人

C.2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万

D.2020年，普通高中的在校生超过2470万人

15.（2021湖北省武汉市高三下学期5月质量检测）某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了

一套量化评价标准.下表是该校甲、乙两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分（得分越高,说明该

项教育越好）.下列说法正确的是（）

德智体美劳

甲班9.59.599.58

乙班9.599.598.5

A.甲班五项得分的极差为1.5

B.甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数

C.甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数

D.甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差

16.（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月第一次调研）冬末春初，乍暖还寒,人们容易感冒发热.

若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不

超过5人体温高于37.3C,则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3C人数的统计特征数中,

能判定该公司没有发生群体性发热的为（）

A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1

C.均值为3,众数为4D.均值为2,标准差为尤

三、填空题

17.（2021山东省济南市高三二模）习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺

望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好某党小组为响应习总

书记号召，重温百年奋斗的恢弘史诗，以信仰之光照亮前行之路，组织开展党史学习教育知识竞赛活动，其中7

名党员在这次活动中的成绩统计如图所示.则这7个成绩的