双曲线相关知识点复习

双曲线相关知识点讲解一・双曲线的定义及双曲线的标准方程：1双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F1F2I）的点的轨迹（||PFJ-PF』=2a<|F1F2|（a为常数））这两个定点叫双曲线的焦点.要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2aV|F1F2I,这两点与椭圆的定义有本质的不同.当IMF1I-|MF2I=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当IMF1I-IMF2I=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=IF1F21时，轨迹是一直线上以F「F2为端点向外的两条射线；当2a>|FiF21时，动点轨迹不存在.双曲线的标准方程：［-b2=1和二-b2=1（a>0，b>0）.这里b2=c2-a2，其中|FF|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲/亩标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的内外部：⑴点P(x0,yo)在双曲线|2-b-=1(a>0,b>0)的内部。壬-*>1-

(2)点P(x0,y0)在双曲线m-壬=1(a>0,b>0)的外部。壬-壬<1-双曲线的方程与渐近线方程的关系（1） 若双曲线方程为上-b_=1°渐近线方程：三-苔=0。y=±-x.（2） 若渐近线方程为y=±叽o:±b=0°双曲线可设为土-M=X.（3） 若双曲线与三-亲=1有公共渐近线，可设为三-苏=X（"0，焦点在x轴上，X<0，焦点在y轴上）.双曲线的简单几何性质挡-虻=1（a>0，b>0）a2 b2⑴范围：IxINa，y^R

⑵对称性：关于尤、y轴均对称，关于原点中心对称⑶顶点：轴端点A1（—a，0），A2（S0）⑷渐近线：若双曲线方程为挡-^2=1n渐近线方程挡-^2=0ny=±叽a2b2 a2b2 a若渐近线方程为y=±bxna±b=0n双曲线可设为土-b-八若双曲线与三-三=1有公共渐近线，可设为三-b-八（人〉o，焦点在x轴上，X<0，焦点在y轴上）与双曲线咔-22=1共渐近线的双曲线系方程是-22=槌"0）ab2 a2b2与双曲线三-22=1共焦点的双曲线系方程是己二-^^=1a2b2 a2+kb2-k五双曲线圭号=心〉0）与『壬=如〉0）的区别和联系标准方程亲-亲=1(a,b〉0)ar-若=1(a,b〉0)性质焦点八、、八、、(c,0),(-c,0)，(0,c),(0,-c)焦距2c范围1xl>a,ygRlyl>a,xgR顶点(a,0),(-a,0)(0,-a),(0,a)对称性关于x轴、y轴和原点对称B的横坐标，则|A8|=J1+k26.弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点AB的横坐标，则|A8|=J1+k2，若y1，y2分别为A、B的纵坐标，则|AB|=y1-y2I。

典型例题分析考点1双曲线的定义及标准方程题型1:运用双曲线的定义［例1］某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上）【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.［解析］如图，以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（—1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得IPAI=IPCI，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=—x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|—|PA|=340X4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线n--=1上，依题意得a=680,c=1020，b2=c2-a2=10202-6802=5x3402故双曲线方程为-―—=168025x3402用y=—x代入上式，得X=±680*5，V|PB|>|PA|,X=-680\'5,J=680%5,即尸(-680\.5,680\5),故PO=680勾而答：巨响发生在接报中心的西偏北45。距中心680（10^处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】J2 -1.设P为双曲线X2-［a=1上的一点鸟、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF］|：|PF2|=3：2,则△pf1f2的面积为 （ ） _解析：a=1,b=廿12,c=普13，由|尸尸|：|尸尸|=3:2①又|PF|-1PF2|=2a=2,②由①②解得|PF「=6,|PF「=4.

IPF|2+IPF|2=52,1FF|2=52,1 2 12PFF为百角三角形，12一1, ,, ,1-<—S=IPFI-1PFI=x6x4=12.故选B。TOC\o"1-5"\h\z△PF］F2 2 1 22X2y2一如图2所示，F为双曲线C:云一三=1的左9 16焦点，双曲线C上的点P与P7iG=1,2,3）关于y轴对称，则PF|+|PF|+|PF|-|PF-|PF|-\PF的值是（）1 2 3 4 5 6A.9B.16C.18 D.27［解析］|PF|-|PF|=|PF|-PF|=|PF|-|PF|=6，选C16 2’ 5 3 41X2 y23.P是双曲线一-b-=1(Q>0,b>0)左支上的一点，F］、F2分别是左、为2。，则APFF2的内切圆的圆心的横坐标为()(A)—a (B)—b (C)—c (D)a+b—c［解析］设APF1F2的内切圆的圆心的横坐标为X0，由圆的切线性质知，PF—PF=Ic—xI—Ix—（-c）I=2anx=—a2 1 0 0 0题型2求双曲线的标准方程［例2］已知双曲线C与双曲线兰-号=1有公共焦点，且过点(3,，16 4的方程.【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组图2右焦点，且焦距2).求双曲线CX2y图2右焦点，且焦距2).求双曲线C［解析］解法一：设双曲线方程为一2—^^=1.由题意易求c=2「5.TOC\o"1-5"\h\z(3件：2)2 4又双曲线过点(3^2，2)，「・ 一—=1.a2 b2又Va2+b2=(2t5)2，.展2=12,b2=8.X2y2故所求双曲线的方程为X。-y=1.12 8X2 y2解法二：设双曲线方程为~-—-—-=1，16—k4+k将点(3"2，2)代入得k=4，所以双曲线方程为三一=1.12 8【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、》，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】已知双曲线的渐近线方程是y=±工，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程2为；［解析］设双曲线方程为X2-4J2=X，当人〉0时，化为〒—=—=1，.，•2=1。:.X=2。，TOC\o"1-5"\h\z人人 \44当X<0时，化为 —-^-=1， 2-—-=10/•X=—20，\o"CurrentDocument"人一X \ 4——4X2y2 y2x2,综上，双曲线方程为布一飞-=1或w =1以抛物线y2=8%'3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是X±\；3y=0的双曲线方程为 .［解析］抛物线y2=8拓X的焦点F为(2占,0)，设双曲线方程为X2—3y2=X，4X x2y2一.=(2*3)2/.X=9，双曲线方程为亏—3=16.已知点M(-3,0)，N(3,0)，8(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点尸，则尸点的轨迹方程为TOC\o"1-5"\h\zy2 . y2 .A.x2———=1(x<—1) B.x2———=1(x>1)8 8y2 < y 2C.x2+q=1(x>0) D.x2一=1(x>1)8 10［解析］PM—PN=BM—BN=2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2双曲线的几何性质题型1与渐近线有关的问题焦点为(0,6)，且与双曲线旦—y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 ()2A.旦—匹=1 B.坦—均=1 C.圮—旦=1 D.旦—圮=11224 1224 2412 2412［解析］从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B基础巩固训练…一工2 V2 , „,X2V2 以椭圆+ =1的右焦点为圆心，且与双曲线云-三=1的渐近线相切的圆的方169144 916程是（A）X2+y2-10X+9=0 （B）X2+y2-10%-9=0（C）X2+y2+10x+9=0 （D）X2+y2+10x-9=0［解析］椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A类型三：综合练习1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为1&0）.（I） 求双曲线C的方程（II） 若直线l:V=kx+J2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA•OB>2（其中O为原点），求k的取值范围, … X2V2,解（1）设双曲线方程为一—一=1a2b2由已知得a=寸3,c=2，再由a2+b2=22，得b2=1X2故双曲线C的方程为"■-y2=1.(2)将y=kx+(2代入%2-y2=1得(1-3k2)x21—3k2壬0由直线l与双曲线交与不同的两点得（ （l）A= +36（1-32）=36（1-k2）>0①设A(x,y),B(x,y),，则AA AB-9'= ，由OA•OB>2得xx+yy>2，B1一3k2 ABAB而xx+yy=xx+(kx+侦2)(kx_ 2)=(k2+1)xx+\2k(x+x)+2ABABABA b AB AB-9 :― 6\2k 3k2+7=(k2+1) +侦22k +2= 1-3k2 1-3k2 3k2-13k2+7 一 -3k2+9 - 1…一于是行>2，即成=>°解此不等式得3<k2<3.②故的取值范围为(故的取值范围为(-1，-W-)UI\,172.已知直线y=ax+1与双曲线3x2->2=1交于A、B点。求a的取值范围；(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； 1 (3)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=x对称？若存在，2请求出a的值；若不存在，说明理由。「y=ax+1解：(1)由< 消去y，得(3-a2)x2-2ax—2=0(1)13x2—y2=13-a2丰0 7 k依题意〈 即-J6<a<J6且a。邛(2)A>0x+x=2。(3)(2fA(x1(2fA(x1,y1)，TOC\o"1-5"\h\z—2 .xx= (4)12 3-a2•/以AB为直径的圆过原点..・OA1OB:.xx+yy=012 12但yy=a2xx+a(x+x)+12a(3)(4)，x+x=3-2 2a・..(a2+1)- +a- +1=0解得a=±1且满足(2)1 「 1(3)假设存在实数a，使A、B关于y=5x对称，则直线y=ax+1与y=；x垂直A A即a即a=-2直线i的方程为y=-2x+1将a=-2代入⑶得x1+x2=4AB中点的横坐标为2 纵坐标为y=-2x2+1=-3

,…、 1 1但AB中点(2,-3)不在直线y="X上，即不存在实数a，使A、B关于直线y=5x对称。(1)椭圆C:+匕=1(a>b>0)上的点A(1,七)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程；设K是(1)中椭圆上的动点，F1是左焦点，求线段F1K的中点的轨迹方程；已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在并记为y乩时，那么kpM-叽是与点P位置无关的定值。试对双曲线好-尹=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。a2b2解：(1)好+尹=14 3设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在甘+年=1上—设M(x,y),N(-x,-y),P(x,y),x尹x1 1 1 1 ooo1则y2=b2(号一1) y2=b2(x2一1)1kPM-kkPM-k=y0—”PN Xo-%-y“+”=y2-y2=X0+X1 X0-X22_2b2(^ozi)a2 =b2X0-X2为定值.y24.已知双曲线x2-专=1y24.已知双曲线x2-专=1,问过点A(1,1)能否作直线/，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。错解设符合题意的直线l存在并设P(气，X之)、X12一耳=1⑴)-(2)(X-X)(X+X)=2(y=2(4)=2(5)将=2(y=2(4)=2(5)将(4)、(5)代入(3)得 X1-x=2(y1-y2)若X1 则直线I的斜率k= =2 所以符合题设条件的直线l存在。X一X其方程为2x-y-1=0剖析(3)式成立的前提下，由(4)、(5)两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错—y)(y+y)(3) 因为A(1,1)为线段pq的中点，12 12误的。应在上述解题的基础上，再由误的。应在上述解题的基础上，再由y=2x-1y2 得2x2—4x+3=。 根据△=—8<。，说明所求直线不存在。TOC\o"1-5"\h\zX2- =125.已知两定点F1(-很,0),F'很,0),满足条件\PF2|-\PFJ=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx—1与曲线E交于A、B两点。 _(I)求k的取值范围； ——(II)如果aB=6/3且曲线E上存在点C,使OAbO=m,O求C秫的值和AABC的®^S。 —一一解：(I)由双曲线的定义可知，曲线E是以F](—^2,0),F2G2,0)为焦点的双曲线的左支，且c=<2,a=1,易知b=1故曲线E的方程为x2-y2=1(xv0)设A(x,y),B(x,y)，由题意建立方程组[y="一：11 22 [x2-y2=1消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有1-k2^0A=(2k)-8G-k2)〉0< -2k 解得-很<kv-1x+x= <01 2 1-k2-2 八|罕2=斥〉0

依题意得2«尹=点整理后得28k4-55k2+依题意得2«尹=点但―、2<k<—1 k= 一 2故直线AB的方程为左-x+y+1=0设C(x,y)，由已知0A+OB=mOC，得(x,y)+(x,y)=(mx,my)0 0 1 1 2 2 0 0:.(mx0,my。)=fX±S:.(mx0,my。)=2又"l+%=切2又"l+%=切=—4、'5y+y=k(x+x)—2+x2)—2=k2^—2=k^~i=8•:点Cf-4右将点C的坐标代入曲线E的方程，得兰—里=1得m=±4,m2m2但当m=—4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意：.m=4，点C的坐标为［<5,2)C到AB的距离为+12:+12:AABC的面积S==*'36•已知P为双曲线〉〉1(a>b>0)的右支上一点(yp>°)'A、B分别是椭圆X2y2一 …— .房+b_=1的长轴顶点,连接店交椭圆于D'若AAC«与g面积相等.求直线PD的斜率和直线CD的倾斜角;a,⑵当方的值为多少时，直线CD恰好过椭圆的右焦点?7.已知双曲线的焦点在X轴上，渐近线方程为y二±气；'2工，焦距为2%：3.（1） 求双曲线的方程；（2） 过点A（2,1）的直线l与双曲线交于P、P，求线段PP的中点P的轨迹方程；TOC\o"1-5"\h\z1 2 12（3） 过点B（U）能否作直线m，使m与所给双曲线有两个交点Q、Q2，且点B是线段QQ2的中点，若m存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.8.已知双曲线X2-y2=2的左、右焦点分别为F，F，过点F的动直线与双曲线相交于1 2 2A，B两点.（I） 若动点M满足FM=FA+FB+FO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；1 1 1 1（II） 在X轴上是否存在定点C，使CA•CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. _解：由条件知F（-2，0），F（2，0），设A（x，y），B（x，y）.1 2 11 2 2（I）解法一:（I）设M（x，y），则则FM=（x+2，y），FA=（x+2，y），1 1 1 1

FB=(x+2,y)，FO=(2,0)，由FM=FA+FB+FO得1 2 2 1 1x+x=x—4,、y1+y2=yx+2x+x=x—4,、y1+y2=y于是AB的中点坐标为一 y一 y/ 、即y-y=o(x-x).1 2x-81 2TOC\o"1-5"\h\z当AB不与x轴垂直时，亳~y2=——2 ox1-x2x-4—2x-8又因为A,B两点在双曲线上，所以xLi2=2，x;-y;=2，两式相减得(x-x)(x+x)=(y-y)(y+y)，即(x-x)(x-4)=(y-y)y.12 12 12 12 1 2 1 2将y-y=-^(x-x)代入上式，化简得(x—6)2—y2=4.1 2x-81 2当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(8,0)，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.(II)假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA^B为常数.当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x—2)(k丰土1).代入x2-y2=2有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0.4k2则x,x是上述方程的两个实根，所以x+x=—-1 2 1 2 k2-1于是CACB=(x-m)(x-m)+k2(x-2)(x-2)TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2=(k2+1)x1x-(2k2+m)(x+x)+4k2+m2(k2+1)(4k2+2)—4k2(2k2+m)+我2 2k2-1 — k2-1 2m22(1-2m)k2+2 4-4m +m2=2(1-2m)+ +m2.k2-1 k2-1因为C^^B是与k无关的常数，所以4-4m=0,即m=1,此时C^^B=-1.当AB与x轴垂直时，点A,B的坐标可分别设为（2八：2）,（2,-寸2）,此时C^^B=（,2）』1,一点）=—1.故在顼上存在定点C（1,0），使CAaCB为常数.22..海市虹曰区ZU1U-WU11学年第二学期高三教学防是测试理科）〔本题满分姑分）已规T- °ffl圆二+写=1 过点"任0）,威Q,3）的宜线倾斜前为里，原点到该a-b~ 6直线的距离为虫.lid求桥01的方程「斜率大1•零的宜^过D（-k功与榔同交于E•「两点.若旬=2方克求宜眺EF的方程：匚舞是否存在实数卜宜^y=Lt+2^jH于户，0四点.以用为直径的圆过点Bf-L□）?若存在.求出A的值打若不存在卜谐说明理由.找、，闭分）<l〕ill—=--—U'b=— ■-Ja'+b2、得4=Vs.b=1、TOC\o"1-5"\h\zt；3 2 2 2和椰5程是，y+;.-=1 Sk2）设E「：.v=JH_y-]ini>0）代A+v?=i，^（wr2+3）t2-2my-2-U►3设E0、Wgyj.iI|ED=2E7,得y,=-2y?.2jji --h~2 ..由v,+为二一如二—； ■LA=-2;■/=—: 8 分W+3 〜 m"+3得[一蝴一「=一.，・，m=l，用=-lL舍■上LL汶害上Illi分）"+3tn"+3.国哉EF的方程为:x-y-1l'|ia-y+I=0 10分n-L抵将}=h+上气FV-k符〔3尸4ISA-+12虹+9二1）D3UP（xrQ%、.、）.p口九TL役的园id：少—L0）.则PD1Qh-即[.弓+LjUg+Lt,1=（*+顷电+1）+」'E=。.■<A,+--y2=kx.2+2.TOC\o"1-5"\h\z得侦'+IiJtjX,,+（.!&+1心]+jc?）+5=—I；：+:汀=0. 14 分7 7解得A=—、此INr■■[VA>0■.-.{n-\k=--满足题设条件一 1泌9.（2009上海卷）（本题满分16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为FC3,0），一条渐近线m：x+<2y=0,设过点A（-^■'2,0）的直线l的方向向量V=（1,k）。（1） 求双曲线C的方程；（2） 若过原点的直线h//1，且a与1的距离为福，求K的值；（3） 证明：当k>皇时，在双曲线C的右支上不存在点。，使之到直线l的距离2为柜.（1）解设双曲线C的方程为X2-2J2=X（人〉0）TOC\o"1-5"\h\zc人一 一 _一. X2 一.,.入+万 涓，解得X=2,双曲线C的方程为~2—y2=1解直线l:kx-y+3<2k=0，直线a:kx-y=0/\3显k\ 、、还由题意，得，—==\6，解得k=±~—~1+k2 2证明方法一设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0则直线l与b的距离d=3*2\妇,当k>堕2时，d>46<1+k2 2又双曲线C的渐近线为x±<2y=0双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于如6。故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为/6(3)方法二假设双曲线C右支上存在点Q(X0,y0)到直线l的距离为J6，'1R-*+3独部⑴则］ JT+k2TOC\o"1-5"\h\zX2-2y2=2 (2)由(1)得y=kx+3^2k土J6.J1+k2设t=3克k±*f1+k2，一v2 一〜r 一当