信息安全数学基础第一阶段知识总结办公文档

1）设a，b≠1）设a，b≠0,c≠0是三个整数。若c|b，b｜a，则c|a。（2）设a，b,c≠0是三个整数，若(p1)2中的一个数同余。且仅与一个数同余。例1利用定理判断3.勒让德符号定义1设p是素数，定义勒让．性质定理4：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理5：设是不全为零的整数．(i）若则（ii)若(且（2)若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．3．求两个正整数的最大公因数．信息安全数学基础第一阶段知识总结ba2整除的基本性质3整除的相关定理，特别地,当a，特别地,当a是模m的原根，即ord(a)(m)时,这(m)个数组成模m的简化剩余系m是模m的原根当00(260)16666240240(mod77),设m=77,b=2，令a=1。将40写成二进制,余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p—1）/2，且（p—1)/2个平方剩余与序列：12,22,,主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化.（1）若不全为零,则最大公因数存在并且一个互素剩余类．在与模互素的全部剩余类中，各取出一整数组成的系，叫做模的一组简化剩余系．在完全剩余系1k一定有解，且解是唯一的例1一个互素剩余类．在与模互素的全部剩余类中，各取出一整数组成的系，叫做模的一组简化剩余系．在完全剩余系1k一定有解，且解是唯一的例1计算21000000(mod77).解一利用2。4定理1（Euler定，特别地,当a是模m的原根，即ord(a)(m)时,这(m)个数组成模m的简化剩余系m是模m的原根当,c)=1,则c|b。（8）设p是素数,若p｜ab，则p｜a或p｜b（9）设a1,…，an是n个整数定理1：设任意三个不全为零的整数,且则立则①最大公因数设定理6:若只需证①是一个则有下面的定理：是个正整数，则的一个公因数．②是的公因数中最大例dm)最大公因数设定理6:若只需证①是一个则有下面的定理：是个正整数，则的一个公因数．②是的公因数中最大例dm)成立的最小正整数e叫做a对模m的指数，记作ord(a)m.2．指数的性质定理1设m>1是整数，m是正整数，若同余式x2a(modm),(a,m)1有解，则a叫做模m的平方剩余（二次剩余）；否则,式x2a(modp),(a,p)1定理1(欧拉判别条件)设p是奇素数，（a，p）=1，则(i）a是模③④设是,:若定理3：若则:定理4:若定理:若定理3：若则:定理4:若定理5：若定理6：若,则且且则则定理7：若定理8：若定理9设整数n有十进少减少1，且是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数是零的情况，即由（1)知，定理2:(7)设p是奇素数，如果整数a，1b满足a≡b（modp)，则abpp（8)(1)p1（9）互倒定律任一整数n>1都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是唯一的。即n=p1…psn则又2．形成完全剩余系的充要条件．定理2:个整数形成模的完全剩余系的充要条件是：2．形成完全剩余系的充要条件．定理2:个整数形成模的完全剩余系的充要条件是：3．完全剩余系的性质．定式x2a(modp),(a,p)1定理1(欧拉判别条件)设p是奇素数，（a，p）=1，则(i）a是模能否导出2．由能否导出两两互素？2．最大公因数的存在性（1）若不全为零,则最大公因数，则的最大存在并3．（wilson）设p是一个素数.则(p1)!1(modp)〈四>模重复平方计算法主要掌握运用该方则且〈一〉、同余的定义．<二>、性质．在模的剩余类则个整数中各取一个数称为模的一组完全剩余系．任意个连续的整数一定构成模的一组完全剩余系．000k+…+a1000+a,0≤a〈1000（在模的剩余类则个整数中各取一个数称为模的一组完全剩余系．任意个连续的整数一定构成模的一组完全剩余系．000k+…+a1000+a,0≤a〈1000（a0+a2+…）(a1+a3+…）例1：求7除的余数m是正整数，若同余式x2a(modm),(a,m)1有解，则a叫做模m的平方剩余（二次剩余）；否则,且仅当(d,(m))13．原根存在的条件定理1设p是奇素数，则模p的原根存在.定理2设g是模p的一个且kk—11且且则则定理10设整数n有1000进制表示式:k则则1(modp);并且当a是模1(modp);并且当a是模p的平方剩余时,同余式（1）恰有二解。定理2设p是奇素数,则模p的简化剩个类中的一个，且仅属于一个．（2）中任意两个整数属于同一类的充要条件是〈二〉、完全剩余系1．定义2：理）及模重复平方计算法直接计算。因为77＝7·11，(77)(7)(11)60,所以由2.4定理1（<一〉、剩余类．则a’〈三>简化剩余系40＝23＋25,运用模重复平方法，我们依次计算如下：(1）n0,计算a00（2)n1=0，计算a1｜a｜.（ii)若b|a，则40＝23＋25,运用模重复平方法，我们依次计算如下：(1）n0,计算a00（2)n1=0，计算a1｜a｜.（ii)若b|a，则bc|ac。(iii）若b｜a，则1〈|b｜≤｜a|。3整除的相关定理（理及性质定理1设m>1是整数，a是与m互素的整数。则1a0,a1,,aordm(a)1模m两两不同余a，b都是非零整数.若a｜b，b｜a，则a=±b（6)设a,b，c是三个整数，且b≠0，c≠0,如果则aa1s11ppp定理8设m1，m2是互素的两个正整数，如果x1,x2分别遍历模m1和m2的简化剩余系，则m2x1+m1x2遍历模m1m2的简化剩余系。k〈四>模重复平方计算法少减少1，且是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数是零的情况，即由（少减少1，且是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数是零的情况，即由（1)知，定理2:sa+tb。（4）若整数a1，…,an…,s，整数都是整数c≠0的倍数，则对任意n个整数nn（5)设数只有1和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．2．性质定理1：设是大于1的整数,则至少有一个amm性质3设m〉1是整数,a是与m互素的整数设d≥0，为整数，则ord(a)ord(a)m二原根1ba1m第三章同余式）（，（n式又叫做模m的n次同余式.≡b（modm）的全部解为数只有1和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．2．性质定理1：设是大于1的整数,数只有1和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．2．性质定理1：设是大于1的整数,则至少有一个义1:设是一个给定的正整数．则定理1:设叫做模的剩余类．是模的剩余类，则有（1）中每一个整数必属于这m2的简化剩余系，则m2x1+m1x2遍历模m1m2的简化剩余系。，则n有标准因数分解式为npap|m是正整数，若同余式x2a(modm),(a,m)1有解，则a叫做模m的平方剩余（二次剩余）；否则,13531x1m)1xkm)k24解二令x21000000x1122abb2b 2421的整数，则一次同余式ax≡1(modm1的整数，则一次同余式ax≡1(modm）有唯一解x≡a’(modm）.定理3设m是一个正整数,a是00(260)16666240240(mod77),设m=77,b=2，令a=1。将40写成二进制,c|a,c|b，则c｜a±b（3）设a,b，c是三个整数。若c|a，c｜b则对任意整数s，t，有c|求解：6．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握)方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方令m7,m11,mmm77,Mm11,Mm7因为77=7·11，所以计算因为77=7·11，所以计算x（mod77）因为Euler定理给出b(mod11)22(7)261(化剩余系，则也遍历模的简化剩余系定理8设m1，m2是互素的两个正整数，如果x1,x2分别遍历模m1和理）及模重复平方计算法直接计算。因为77＝7·11，(77)(7)(11)60,所以由2.4定理1（余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p—1）/2，且（p—1)/2个平方剩余与序列：12,22,,2第四章二次同余式与平方剩余，（2m是正整数，若同余式x2a(modm),(a,m)1有解，则a叫做模m的平方剩余（二次剩余）；否则,sa+tb。（4）若整数a1，…,an…,s，整数都是整数m是正整数，若同余式x2a(modm),(a,m)1有解，则a叫做模m的平方剩余（二次剩余）；否则,sa+tb。（4）若整数a1，…,an…,s，整数都是整数c≠0的倍数，则对任意n个整数nn（5)设mod7),7M'1(mod11)，得到12M'2,M'8故x≡2·11·2+8·7·1≡100≡2数，则3．求两个以上整数的最小公倍数定理3：设只需证：①是②设是例1求是个正整数，若则的一个公倍数，ap,pp（2）11pp2ap任一整数n>1都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是唯一的。即n=p1…ps00(260)16666240240(mod77),设m=77,b=2，令a=1。将40写成二进制,1k一定有解，且解是唯一的例1计算21000000(mod77).解一利用2。4定理1（Euler定1的整数，则一次同余式ax≡1(modm）有唯一解x≡a’(modm）.定理3设m是一个正整数,a是p228任一整数n>1都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是唯一的。即n=p1…ps00(260)16666240240(mod77),设m=77,b=2，令a=1。将40写成二进制,1k一定有解，且解是唯一的例1计算21000000(mod77).解一利用2。4定理1（Euler定1的整数，则一次同余式ax≡1(modm）有唯一解x≡a’(modm）.定理3设m是一个正整数,a是p22853218235qppqa2p1（9）互倒定律若p，q是互素奇素数，则235所以(((135则a叫做模m的原根,c)=1,则c|b。（8）设p是素数,若,c)=1,则c|b。（8）设p是素数,若p｜ab，则p｜a或p｜b（9）设a1,…，an是n个整数m〉1是整数，a是与m互素的整数，则ord(a)|(m)m性质