2024届一轮复习人教A版 第4章三角函数第5节三角恒等变换 学案

第五节三角恒等变换考试要求：1．经历用单位圆推导出两角差的余弦公式的过程．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．一、教材概念·结论·性质重现1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；tan(α－β)＝tanα-tanβ1+tanαtan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tan1．形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数，可视为和角公式的逆用，化为f(x)＝a2+b2·sin(x＋φ)或f(x)＝a22．tanα±tanβ＝tan(α±β)(1±tanαtanβ)．2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tan1．二倍角公式中的角是任意的．2．1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，cos2α＝1+cos2α2，sin2二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立． (√)(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtan(4)当α是第一象限角时，sinα2＝1-cosα(5)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立． (√)2．tan1A．1 B．－1C．2 D．－2A解析：因为tan13．已知sinα＋cosα＝13，则sin2πA．118 C．89 B解析：由sinα＋cosα＝13，两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－所以sin2π4-α＝1-cosπ24．sin4712解析：原式＝sin30＝sin30°cos5．化简：2sin4sinα解析：2＝2sinα+2sin考点1公式的简单应用——基础性1．sin(－260°)cos35°－sin10°sin145°＝()A．22 B．－C．12 D．－A解析：sin(－260°)cos35°－sin10°sin145°＝－sin(180°＋80°)cos35°－sin(90°－80°)sin(180°－35°)＝sin80°cos35°－cos80°sin35°＝sin(80°－35°)＝sin45°＝222．(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25A．12 C．22 D解析：由题意，cos2π12－cos25π12＝cos2π12－cos2π2-π12＝cos2π3．(2022·云南模拟)tan87°－tan27°－3tan27°·tan87°＝()A．2 B．3C．－2 D．－5B解析：因为tan87°-所以tan87°－tan27°＝3+所以tan87°－tan27°－3tan27°tan87°＝3.应用三角恒等变换公式化简求值的关注点(1)记清公式及其变形形式是关键．(2)注意对公式的整体把握，要熟悉公式的逆用及变形，T1是公式的逆用，T3是公式的变形应用．(3)注意与诱导公式的综合应用，T1，T2都是先应用诱导公式，再进行化简求值．考点2三角函数的化简求值问题——综合性考向1给值求值问题(1)若sin3π8+α＝13A．1718 B．－C．79 D．－C解析：因为sin3π8+α所以cos3π4+2α＝cos23π8+α＝1－2sin2(2)已知θ∈0，π2，且cosA．724 C．±724 D．±D解析：因为cos2θsinθ-π4＝cos2所以cosθ＋sinθ＝75又因为θ∈0，π2，且cos2θ＋sin所以cosθ＝35，sinθ＝45或cosθ＝45，sinθ＝35，则tanθ＝故tan2θ＝2tanθ1本例(1)中，若把已知条件改为cos3π8+α＝1解：因为cos3π8+α＝＝cosπ+3＝－2cos23π8给值求值问题的一般步骤(1)化简条件式或待求式．(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．考向2给值求角问题(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋A．3π4C．7π4 DC解析：因为α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，所以cosα＝－255所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈3π2，2π，所以α(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα+π4sinβ，则(A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1C解析：因为sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα+π4sin所以2sinα+β+π4＝22cosα+π4sinβ，即sinα+β+π所以sinα+π4cosβ＋sinβcosα+π4＝2cos所以sinα+π4cosβ－sinβcosα+π所以α＋π4－β＝kπ，k∈Z，所以α－β＝kπ－π4，所以tan(α－本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝31010，则απ4解析：因为α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝所以cosα＝255，sinβ＝所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×又0<α＋β<π，所以α＋β＝π4求角的原则是：通过求角的某种三角函数值来求角．在选取函数时，应遵循的规则是：(1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．(3)若角的范围是0，π21．(2022·攀枝花模拟)已知cosθ＋sinθ+π6＝32A．12 C．23 A解析：因为cosθ＋sinθ+π6＝cosθ＋32sinθ＋12cosθ＝332cosθ+122．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－－3π4解析：因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα-β+tanβ1又因为tan2α＝2tanα1-tan2α＝2所以tan(2α－β)＝tan2α-tan因为tanβ＝－17<0，所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以2α－β＝－考点3三角函数角的变换与式的变换——综合性考向1三角函数角的变换(1)若α，β∈π2，π，且sinα＝255，sin(α－β)＝－3A．－11525C．55 C解析：因为α，β∈π2，π，且sinα＝255，所以cosα＝－因为sin(α－β)＝－35，所以α－β∈-π2，0，所以cos(α－β则sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝255×(2)已知2cos2α+πA．－12 C．27 B解析：因为cos2α+π3＝1－2sin2α+π所以21-2sin化简得，4sin因为sinα+π6∈[－1，1]，所以sinα+π所以cosα-π＝sinα+π6＝本例(1)条件不变，求cos(2α－β)的值．解：因为α，β∈π2，π，且sinα＝所以cosα＝－1-sin2因为sin(α－β)＝－35，所以α－β∈-所以cos(α－β)＝1-sin2则cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝－55×4角的变换问题的关注点(1)明确各个角之间的关系：已知角与未知角、非特殊角与特殊角．(2)熟悉角的变换技巧：构造“已知角±特殊角＝所求角”．(3)掌握半角与倍角的转化方法：倍角公式．考向2三角函数式的变换(1)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan2α＝cosαA．1515 C．53 A解析：因为tan2α＝cosα2-sinα，所以tan2α＝sin因为α∈0，π2，所以cosα≠0，所以2sinα1-所以cosα＝1-sin2α＝154，所以tanα(2)若α∈π2，π，cos2α＋sin5πA．－32C．32 D．－3A解析：因为cos2α＋sin5π4-α＝0，所以cos2α－sin2所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)－22(cosα－sinα所以(cosα－sinα)cosα因为α∈π2，π，所以cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝所以α∈π2，3π4又(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α，所以12＝1＋sin2α，解得sin2α＝－1因为2α∈π，3π2，所以cos2α所以sin2α+π6＝32sin2α＋12cos2α＝三角函数式的变换问题的关注点(1)关键：明确各个三角函数名称之间的联系，进行恰当的弦切互化．(2)常用公式：诱导公式、同角三角函数的基本关系．1．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4+α＝13A．33 B．－C．539C解析：cosα+β2＝cosπ4+α-π4-β因为0＜α＜π2，所以π4＜π4＋α所以sinπ4+α＝又－π2＜β＜0，则π4＜π4所以sinπ4-β2＝63.故cosα+2．若α，β是锐角，且sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，则tan(α－－73解析：因为sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝两式平方相加得2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝12即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝3因为α，β是锐角，且sinα－sinβ＝－12所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－所以sin(α－β)＝－1-cos2所以tan(α－β)＝sinα-β考点4三角函数恒等变换的综合应用——应用性已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π解：(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x+π所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin2x+π6在区间0，又因为f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间(2)由(1)可知f(x0)＝2sin2x又因为f(x0)＝65，所以sin2x0由x0∈π4，π2，得2x0＋从而cos2x0+π6所以cos2x0＝cos2x0+π6-π6＝cos2x三角恒等变换的综合应用策略(1)进行三角恒等变换要注意：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系．(2)把y＝asinx＋bcosx化为y＝a2+b2·sin(已知函数f(x)＝4tanx·sinπ2-x(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间-π解：(1)f(x)的定义域为xxf(x)＝4tanxcosxcosx＝4sinxcosx＝4sinx1＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x-所以f(x)的最小正周期T＝2π(2)因为x∈-π所以2x－π3∈-由y＝sinx的图象可知，当2x－π3∈-即x∈-π4，-π当2x－π3∈-π2，π6，即x∈所以当x∈-π4，π4时，f(x拓展考点勾股关系视角下的恒等变换同角三角函数基本关系研究平方关系与商数关系，而平方关系反映出来的就是勾股关系，高考中出现频率较高的勾股数有9组，它们是(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)，(33，56，65)，(1，1，2)，(1，3，2)，(1，2，5)，(1，3，10)，熟记常用的勾股数，弄清三角恒等变换题目与勾股数的内在关系，能起到事半功倍的效果．已知x∈-π2，0，cos(π－x)＝－4A．724 B．－C．247 D．－D解析：因为x∈-π2，0，cos(π－所以cosx＝45，sinx＝－1-cos由同角三角函数的关系，得tanx＝sinxcosx因此，tan2x＝2tanx1-tan上述问题中含有两组勾股数，实际上由cosx＝45，我们会联想到勾股数(3，4，5)，直接得到sinx＝35，tanx＝34(关系研究时暂不探讨符号特征)，这时由于sin2x＝2sinxcosx＝2425，所以又会联想到勾股数(7，24，25)，又可直接得出cos2x＝725在△ABC中，A＝π4，cosB＝－1010，则sinC＝________，tan25543解析：因为cosB＝－1010且0<B<π，所以sinB＝1010.又A＝π4，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinπ4cosB＋cosπ4所以cosC＝255，tanC＝12，tan2C＝2已知tanαtanα+π[四字程序]读想算思求sin2的值1．能用到哪些公式？2．既有“切”又有“弦”，如何处理三角恒等变换1．转化与化归．2．数形结合tanαtan1．两角和的正弦、正切公式，二倍角公式等．2．切化弦sin2α22(sin2α＋cos2α1．弦切互化及“1”的代换．2．拆角凑角．3．构造图形思路参考：利用同角三角函数关系求值．解：由tanαtanα+π4＝tanαtanα当tanα＝－13时，α若α为第二象限角，则sinα＝110，cosα＝－3所以sin2α＝－35，cos2α＝4若α为第四象限角，则sinα＝－110，cosα＝3sin2α＝－35，cos2α＝4把sin2α＝－35，cos2α＝4得sin2α+π4＝22(sin2α当tanα＝2时，α可能为第一象限角或第三象限角．若α为第一象限角，则sinα＝25，cosα＝1所以sin2α＝45，cos2α＝－3若α为第三象限角，则sinα＝－25，cosα＝－1所以sin2α＝45，cos2α＝－3把sin2α＝45，cos2α＝－3sin2α+π4＝22(sin2α所以sin2α+π4＝思路参考：根据万能公式sin2α＝2tanα1+tan2解：由tanαtanα+π4解得tanα＝－13或tanα根据公式sin2α＝2tanα1+tan2可得当tanα＝－13时，sin2α＝－35，cos2α＝当tanα＝2时，sin2α＝45，cos2α＝－35，两种情况的结果都是sin2α+π4＝22(sin2α思路参考：利用同角三角函数基本关系中“1”的代换．解：由tanαtanα+π4解得tanα＝－13或tanαsin2α+π4＝22(sin2α＝22(2sinαcosα＋cos2α－sin2α＝2＝22×2tanα+1-tan2αtan2α思路参考：把正切转化为正弦、余弦的比值，得到α与α＋π4解：因为tanαtanα+π4所以sinαcosα+π4＝－23cosα·sinα+又π4＝α+π4所以sinπ4＝sin＝sinα+π4cosα－cosα+π4sinα＝由①②，得sinαcosα+π4＝－cosαsinα+π4＝把2α＋π4拆分为α＋α+sin2α+π4＝sinαcosα+π4＋cosαsinα+π思路参考：令α＋π4＝β，则2α＋π4＝α＋将原问题进行转化，然后构造几何图形求解．解：令α＋π4＝β，则2α＋π4＝α＋原题可转化为：已知tanαtanβ＝－23，求sin(如图，构造Rt△ABC，其中BC＝1，CD＝2，AD＝1，tanα＝13，tanβ＝－12，sin(α＋β)＝sin在△ABD中，BD＝5，AB＝10，AD＝1，由余弦定理得cosθ＝A＝102+5所以sin(α＋β)＝sinθ＝1-cos2θ＝1-1．基于课程标准，解答本题一般需要掌握运算求解能力、转化化归能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及两角和的正弦、正切公式等知识，渗透着转化与化归、数形结合等思想方法，有一定的综合性，对培养创造性思维能力起到了积极的作用．若tanπ4-θ＝3，则A．3B．－3C．34D．－A解析：(方法一)因为tanπ4-θ＝1-tanθ1+tanθ＝3，所以tanθ＝－12.所以(方法二)同方法一求得tanθ＝－12因为sin2θ＝2tanθ1+tan2cos2θ＝1-tan2θ1+tan所以cos2课时质量评价(二十五)A组全考点巩固练1．sin20°sin10°－cos20°cos10°＝()A．－32 B．－C．12 A解析：sin20°sin10°－cos20°cos10°＝－(cos20°·cos10°－sin20°sin10°)＝－cos(20°＋10°)＝－cos30°＝－322．tan67.5°－1tanA．1 B．2C．2 D．4C解析：tan67.5°－1tan67.5°＝sin67.5°3．(多选题)若sinα2＝33，A．cosα＝1B．sinα＝2C．sinα2+D．sinα2-AC解析：因为sinα2＝33，α∈(0，π)，所以α2∈0，π2，cosα2＝1-sin2α2＝63.则cosα＝1－2sin2α2＝1－2×3sinα2+π4＝sinα2cosπ4＋cosα2sinα2-π4＝sinα2cosπ4－cosα24．(多选题)下列选项中，值为14A．sinπ12sinB．13-2C．1D．cos72°·cos36°AD解析：对于A，sinπ12sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14，故A正确；对于B，13-2对于C，原式＝cos50°+3sin50°sin50°cos50°＝235．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为()A．π4 C．π2 A解析：由题意知：sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB+tanC1-tantan6．(2022·烟台质检)已知α∈-π3，π6，sin2αA．4-3310C．2+35A解析：因为sin2α2+π所以1-cosα+π整理可得cosα+π3＝因为α∈-π3，π6，可得α所以sinα+π3＝1-cos则sinα＝sinα+π3-π3＝sinα+π3cosπ3－cos7．(2022·北京卷)若函数f(x)＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则A＝________，fπ1－2解析：因为函数f(x)＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，所以32A－3×12＝0，所以A＝1，函数f(x)＝sinx－3所以fπ12＝2sinπ12-π3＝2sin-8．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈0，π2，则sin2532-156解析：因为cos4α－sin4α＝23，所以cos2α－sin2α＝cos2则sin2α＝1-cos22αcos2α+π3＝cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＝9．已知α∈0，π2，若sinα-π4＝3解：因为α∈0，π2，所以α－π又sinα-π4＝35，所以cosα-π4＝1-则sinα＝sinα-π4+π4＝sinα-π4cosπ4＋coscosα＝cosα-π4+π4＝cosα-π4cosπ4－sin所以sin2α＝2sinαcosα＝2×7210×B组新高考培优练10．(多选题)关于函数f(x)＝2cos2x－cos2x+πA．其图象可由y＝2sin2x的图象向左平移π8B．f(x)在0，C．f(x)在[0，π]上有2个零点D．f(x)在-πAC解析：f(x)＝2cos2x－cos2x+π2－1＝cos2x＋sin2x＝2sin由y＝2sin2x的图象向左平移π8个单位得y＝2sin2x+由正弦函数的性质可知f(x)在0，π8令f(x)＝0得sin2x+π4＝0，则x＝f(x)在-π2，11．已知cosα-π6＝34，则sin2α+πA．14 B．C．37D解析：由cosα-π6＝34，得sin2α+π6＝sin2α-π6+π再由cosα-π6＝34，得2cos2α2-π12－1＝所以sin2α+π6＋cos2α212．(多选题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？假设∠BAC＝θ，现有下述四个结论，其中正确的是()A．水深为12尺B．芦苇长为15尺C．tanθ2＝D．tanθ+π4ACD解析：设BC＝x，则AC＝x＋1，因为AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12，即水深为12尺，A正确；芦苇长为13尺，B错误