内蒙古牙克石市2024届八上数学期末教学质量检测试题含解析

内蒙古牙克石市2024届八上数学期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在平面直角坐标系中，直线与直线交与点，则关于，的方程组的解为（）‘A． B． C． D．2．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺3．如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y1＝x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣1时，y1＞y1．其中正确的是()A．①② B．②③ C．①③ D．①④4．若实数m、n满足|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．15 C．12或15 D．95．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）．A． B．C． D．6．点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．7．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．18．已知在四边形ABCD中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A． B． C． D．9．《个人所得税》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资薪金所得税，超过3500元，超过的部分（记为x）按阶梯征税，税率如下：级数x税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%若某人工资薪金税前为7000元，则税后工资薪金为（）A．245 B．350 C．6650 D．675510．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）二、填空题(每小题3分,共24分)11．在实数范围内分解因式：_______.12．已知和的图像交于点，那么关于的二元一次方程组的解是____________．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC,则∠A＝________________°．14．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a☆b=3a+b，已知关于x的不等式：x☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m的值是________．15．计算：=_____．16．因式分解：3xy﹣6y=_____．17．若点在第二、四象限角平分线上，则点的坐标为__________．18．若，则的值是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）寿阳某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元，购买一个足球、一个篮球各需多少元？20．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，CD、BE分别是△ABC的高和角平分线，求∠BCD、∠CEB的度数．21．（6分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍.（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？（2）若租用甲、乙两车各运12趟需支付运费4800元，且乙车每趟运费比甲车少200元.求单独租用一台车，租用哪台车合算？22．（8分）如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；（1）根据题意，补全图形；（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN的最小值．23．（8分）面对资源紧缺与环境保护问题，发展电动汽车成为汽车工业发展的主流趋势．我国某著名汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？在的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元的工资，给每名新工人每月发元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能的少？24．（8分）先化简，在求值：，其中a=1．25．（10分）（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知是等边三角形，点为边上中点，，交等边三角形外角平分线所在的直线于点，试探究与的数量关系．小明发现：过作，交于，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出与的数量关系，并说明理由．（2）（类比探究）如图②，当是线段上（除外）任意一点时（其他条件不变）试猜想与的数量关系并证明你的结论．（3）（拓展应用）当是线段上延长线上，且满足（其他条件不变）时，请判断的形状，并说明理由．26．（10分）如图，△ABC中，AD是角平分线，点G在CA的延长线上，GE交AB于F，交BC于点E，并且∠G=∠AFG．求证：AD∥EF．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】直接根据图像及一次函数与二元一次方程组的关系进行求解即可．【题目详解】解：由直线与直线交与点，可得：，所以；由图像可得：关于，的方程组的解为；故选A．【题目点拨】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是根据题意得到一次函数与二元一次方程组的关系即可．2、D【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【题目详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12，所以芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选：D．【题目点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3、D【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．【题目详解】因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a<0，①正确；一次函数\过一、二、三象限，所以b>0，②错误；由图象可得：当x>0时,y1<0，③错误；当x<−1时,y1>y1，④正确；故选D.【题目点拨】考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数与不等式，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4、B【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【题目详解】解：|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，解得m＝3，n＝6，当m＝3作腰时，三边为3，3，6，，不符合三边关系定理；当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝1．故选：B．【题目点拨】本题考查了等腰三角形，灵活根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键.5、C【分析】根据因式分解的定义即可判断．【题目详解】因式分解是指把多项式化成几个单项式或多项式积的形式，A、B错误，C正确．而，故D不正确．故选C．【题目点拨】此题主要考查因式分解的判断，解题的关键熟知因式分解的定义．6、A【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．【题目详解】解:点关于轴对称的点的坐标为故选：A．【题目点拨】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．7、B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;②利用三角形的外角性质即可证明;④作于，于,再证明即可证明平分.【题目详解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，①正确；∴，由三角形的外角性质得：∴°，②正确；作于，于，如图所示：则°，在和中，，∴，∴，∴平分，④正确；正确的个数有3个；故选B．【题目点拨】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.8、B【分析】利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN的取值范围．【题目详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB=3，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，；∵N是BC的中点，BG=GD，CD=5，∴NG是△BCD的中位线，，在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG＜MN＜MG+NG，即，∴，当MN=MG+NG，即MN=1时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是1＜MN≤1．故选B．【题目点拨】解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．9、D【分析】根据7000元超过3500元，所以应纳税部分是7000-3500=3500元，3500元分成2部分，第一部分1500元，按照3%纳税，剩下的3500-1500=2000元，按照10%纳税，分别根据应纳税额=收入×税率，求出两部分的应纳税额，即可得出税后工资薪金．【题目详解】解：税后工资薪金为：7000-1500×3%-（7000-3500-1500）×10%=6755（元），

故选：D．【题目点拨】此题主要考查了列代数式，特别要注意求出按什么税率缴税，分段计算即可解决问题．10、A【解题分析】点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】先把含未知数项配成完全平方，再根据平方差公式进行因式分解即可.【题目详解】故填：.【题目点拨】本题主要考查利用完全平方和平方差公式进行因式分解，熟练掌握公式是关键.12、【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解即可．【题目详解】∵和的图像交于点，∴关于的二元一次方程组的解是.故答案为．【题目点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．13、1．【解题分析】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝1°，故答案为1．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．14、-2【分析】根据新运算法则得到不等式3，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．【题目详解】∵☆，

∴，

根据图示知，已知不等式的解集是，∴，

故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方法．15、【分析】根据立方根的意义求解即可.【题目详解】.16、3y（x﹣2）．【分析】直接提取公因式进而分解因式即可．【题目详解】解：3xy﹣6y=3y（x﹣2）．故答案为：3y（x﹣2）．【题目点拨】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．17、（4，-4）【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标．【题目详解】解：∵点P（5+m，m-3）在第二、四象限的角平分线上，

∴（5+m）+（m-3）=0，

解得：m=-1，

∴P（4，-4）．

故答案为：（4，-4）．【题目点拨】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.18、49【分析】根据平方差公式把原式进行因式分解，把整体代入分解后的式子，化简后再次利用整体代入即可得．【题目详解】，原式，故答案为：49.【题目点拨】考查了“整体代换”思想在因式分解中的应用，平方差公式，熟记平方差公式，通过利用整体代入式解题关键．三、解答题(共66分)19、购买一个足球50元，一个篮球80元【分析】设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，然后根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论．【题目详解】解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得解得，∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．【题目点拨】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．20、∠BCD＝40°，∠CEB＝65°．【分析】在Rt△ABC中求得∠ABC=50°，在由CD⊥AB，即∠BDC=90°知∠BCD=40°，根据BE平分∠ABC知∠CBE=∠ABC=25°，由∠CEB=90°-∠CBE可得答案．【题目详解】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝40°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝25°，∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝65°．【题目点拨】本题主要考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及角平分线的定义．21、（1）甲18趟，乙36趟；（2）乙【分析】（1）设甲需要x趟，则乙需要2x趟，设总工作量为单位1，利用等量关系式：甲完成的工作+乙完成的工作=1列方程解答；（2）设甲每趟y元，则乙每趟(y－200)元，利用等量关系式：甲的费用+乙的费用=总费用，列方程可求得甲、乙一趟的费用，然后分别算出甲、乙的总费用，比较即可.【题目详解】（1）设甲单独运需要x趟，则乙需要2x趟则方程为：12解得：x=18故甲需要18趟，乙需要36趟（2）设甲每趟y元，则乙每趟(y－200)元则方程为：12(y+y－200)=4800解得：y=300故甲一趟300元，乙一趟100元故甲的总费用为：300×18=5400元乙的总费用为：100×36=3600元∵5400＜3600故乙划算，租乙车【题目点拨】本题考查一元一次方程的工程问题和方案为题，解题关键是根据题干找出等量关系式，列写合适的方程.22、（1）见解析；（2）ME＝BN，理由见解析；（3）当B，M，E三点共线时，BM+BN的最小值是．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）如图1，延长AM交BC于点F，根据角平分线的等于及垂直的等于可得∠MAE+∠CAM＝90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AF⊥BC，可得∠C+∠CAM＝90°，即可证明∠MAE=∠C，利用SAS即可证明△AME≌△CNB，根据全等三角形的性质可得ME=BN；（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，根据勾股定理求出BE的长即可得答案．【题目详解】（1）如图1所示：（2）ME＝BN．如图1，延长AM交BC于点F，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．∵AE⊥AB，∴∠MAE+∠BAM＝90°．∴∠MAE+∠CAM＝90°∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAE＝∠C．又∵AM＝CN，AE＝BC，∴△AME≌△CNB（SAS）．∴ME＝BN．（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，点M的位置如图2，∴BE即是BM+BN的最小值，∵AB＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝＝＝．∴BM+BN的最小值是．【题目点拨】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．23、(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装、辆电动汽车．工厂有种新工人的招聘方案．①新工人人，熟练工人；②新工人人，熟练工人；③新工人人，熟练工人；④新工人人，熟练工人．当，时（即新工人人，熟练工人），工厂每月支出的工资总额（元）尽可能地少．【解题分析】（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车”和“2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”列方程组求解；（2）设工厂有a名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据a，n都是正整数和0＜n＜10，进行分析n的值的情况；（3）建立函数关系式，根据使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，结合（2）进行分析即可得.【题目详解】（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据题意，得，解得，答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车；设工厂有名熟练工，根据题意，得，，，又，都是正整数，，所以，，，．即工厂有种新工人的招聘方案．①，，即新工人人，熟练工人；②，，即新工人人，熟练工人；③，，即新工人人，熟练工人；④，，即新工人人，熟练工人；结合知：要使新工人的数量多于熟练工，则，；或，；或，，根据题意，得，要使工厂每月支出的工资总额（元）尽可能地少，则应最大，显然当，时，（即新工人人，熟练工人），工厂每月支出的工资总额（元）尽可