微专题数列之三由数列的前n-项和Sn求其通项公式

4/4微专题数列之三由数列的前n项和Sn求其通项公式一、备考基础——查清对于题目中给出和关系的，一定要注意公式的正用和逆用．已知Sn求an，常用的方法是利用an＝Sn－Sn－1（n≥2），将已知等式转化为关于an的递推关系，再求数列的通项公式.要注意验证a1是否满足an.二、热点命题——悟通例1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为（）A.an＝2n－3B.an＝2n＋3C.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2))D.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n＋3，n≥2))[解析]当n＝1时，a1＝S1＝1－2＋2＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.又a1＝1不适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2.))变式训练：已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k（k∈N*）项满足5<ak<8，则k＝（）A.7B.6C.9D.8[解析]当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－9n)－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10.又a1＝－8适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10.由第k项满足5<ak<8，得5<2k－10<8，解得eq\f(15,2)<k<9,又因为k∈N*，所以k＝8.例2．设数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝eq\f(1,2)，Sn＝n2an，n∈N*.求数列{an}的通项公式；解：(1)Sn＝n2an，①当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，②①－②，得an＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2，n∈N*)，∴(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2，n∈N*)，∴a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,4)×eq\f(3,5)×…×eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)，∴an＝eq\f(1,n（n＋1）)，n∈N*.例3．设数列满足，求例4．（2013山东）设等差数列的前项和为,且,(Ⅰ)求数列的通项公式(Ⅱ)设数列满足,求的前项和解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋（2n－1）d＝2a1＋2（n－1）d＋1.))解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，当n＝1时，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；当n≥2时，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n).所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.又Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1)，两式相减得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).三、迁移应用——练透1.若数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．[解析]由a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减，得an＝3n.2.已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(3n2－n,2)，n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列.解：(1)由Sn＝eq\f(3n2－n,2)，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要aeq\o\al(2,n)＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2.而此时m∈N*，且m＞n，所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则数列{an}的通项公式an＝________________.解析：由已知可得Sn＝3n，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.当n＝1时，2·3n－1＝2.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))4.[2015·四川卷]设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.(2)由(1)得eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝eq\f(\f(1,2)1－\f(1,2)n,1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n).5.[2015·浙江卷]已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,3)b3＋…＋eq\f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由题意知，当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，eq\f(1,n)bn＝bn＋1－bn，整理得eq\f(bn＋1,n＋1)＝eq\f(bn,n)，所以bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．6.[2015·湖北部分高中调研]已知数列{an}为等差数列，a1＝1，公差d>0，数列{bn}为等比数列，且a2＝b1，a6＝b2，a18＝b3.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意正整数n均有eq\f(c1,b1)＋eq\f(c2,b2)＋…＋eq\f(cn,bn)＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)，若m为正整数，求所有满足不等式102<c1＋c2＋…＋cm<103的m的值．解：(1)由已知可知a2，a6，a18成等比数列，∴aeq\o\al(2,6)＝a2a18，即(a1＋5d)2＝(a1＋d)(a1＋17d)，8d2－8a1d＝∵d>0，a1＝1，∴a1＝d＝1，∴an＝n.由b1＝2，b2＝6，b3＝18，{bn}为等比数列，得bn＝2×3n－1.(2)∵eq\f(c1,b1)＋eq\f(c2,b2)＋…＋eq\f(cn,bn)＝eq\f(1,2)n2，∴当n＝1时，eq\f(c1,b1)＝eq\f(1,2)，∴c1＝1.当n≥2时，eq\f(c1,b1)＋…＋eq\f(cn－1,bn－1)＝eq\f(1,2)(n－1)2，∴cn＝(2n－1)·3n－1.易知当n＝1时也满足cn＝(2n－1)·3n－1，∴cn＝(2n－1)·3n－1.又cn＝(2n－1)·3n－1>0，c1＝1，c1＋c2＝10，c1＋c2＋c3＝55，c1＋c2＋c3＋c4＝244，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝973，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＋c6＝3646，∴m＝4或5.7.[2015·广东湛江调研]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋3n－12(n∈N*)．(1)试说明数列{an－3}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)若bn＝nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋3－12，∴a1＝当n>1时，Sn－Sn－1＝an＝2an＋3n－12－2an－1－3(n－1)＋12＝2an－2an－1＋3，∴an－3＝2(an－1－3)，∴{an－3}是以6为首项，2为公比的等比数列，∴an－3＝6×2n－1，∴an＝6×2n－1＋3.(2)bn＝nan＝6n×2n－1＋3n，∴Tn＝6×[1×20＋2×21＋3×22