2021高中数学人教A版选修2-1（第三章+空间向量与立体几何）章节练习试题（含详细解析）

2021年09月30日试卷

一、单选题（共25题；共0分）

1、（0分）如图，已知二面角a-PQ-£的大小为60。，点C为棱尸。上一点，4W

£,AC=2,Z/CP=30°,则点/到平面a的距离为（）

V33

B一C.D.

A.22

2、（0分）在正三棱柱1cl中，若AB=2,则点A到平面418c的距离为

）

A.在B.C.3V3

424D.V3

3、（0分）正方体ABCD-A1BiC1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（)

V3

A.立B.cD.

33-I

4、（0分）已知m、n、1是三条不同的直线，仇、/?、y是三个不同的平面，给出以下命

题：

①若mc.a,n\\a,则m||n；②若mua,nu°,aLS，aC0=l,mLI,贝!]zn1n；③

若n||zn,mca则n||a；④若ally,011y,则a||/?

其中正确命题的序号是（)

A.②④B.②③C.③④D.①③

5、（0分）下列各组向量不平行的是（)

A.a—(1,0,0),b=(—3,0,0)B.Q=(o,l,o),b=(1,0,1)

c.a=(0,l,-l),b=(0,-l,l)D.a=(1,0,0),h=(0,0,0)

6、（0分）若平面。，B的法向量分别为n1=(2,一3,5),ri2=(_3,1,-4),则().

A.a〃BB.a_LB

C.a,B相交但不垂直D.以上均不正确

7、（0分）如图，半径为次的扇形40B的圆心角为120。，点C在ZB上，且/COB=30°,若流；=

WA+fiOB,则2+“=()

A,

B

B.在「4V3

L.------

A.V333D.2V3

8、（0分）已知a=（cos0,1,sin0),b=(sin0,1,cos0)，则向量a+b与a-b的

夹角是（）.

A.0°B.30°C,60°D.90°

9、（0分）正方体ABCD—4BiGDi中，点P在aC上运动（包括端点），则BP与所成角的

取值范围是（）

A•哈

10、（0分）点P是棱长为1的正方体4BC0-4避£。1的底面ABCD上一点，则PA-

PZI的取值范围是（）

D.

C.[-1,0]

11、（0分）在正三棱柱4BC-AiBiG中若AB=2,=1则点A到平面&BC的距离为

（）

A.西B.当

4D.V3

12、（0分）已知平面向量a、b,a|=1,|b|=V3,且I2a+b|=V7,则向量a与

向量a+b的夹角为（）

A.-B.nc.-

236D.五

13、（0分）设a、夕是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题:

①若Ila,al/?,则Iu0；②若IIIa,a||0则，U伙③若Ila,a

/?，则11/?;④若I\\a,al/?,贝|JI18。

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

14、（0分）如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,0是平面A'B'C'D'的中心，则0

C.涯D.3

A.；NB.—422

15、（0分）空间直角坐标系中，点（一2,1,9）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.(-2,1,9)B.(—2,—1,-9)

C.(2,-1,9)D.(2,1,-9)

16、（0分）（2015秋•葫芦岛期末）点A在z轴上，它到点（2圾，爬，1）的距离是

Jjg,则点A的坐标是（）

A.（0,0,-1）B.（0,1,1）

C.（0,0,1）D.（0,0,13）

17、（0分）设％=酶!-/需，缸嚏=；嗣*编-曝蚪；=-颤!昔J-崛隰=据开编开蝙，（其中

外或段是两两垂直的单位向量），若曝=暴.带，舞%弗，则实数鼠群&皆的值分别是（）

A.B.一和

c.-wD.7翦兽

18、（0分）在空间直角坐标系中，点M的坐标是荆翔梅，则点M关于y轴的对称点坐标为

（）

A.（4,0,6）B.（-4,7,-6）

C.（-4,0,-6）D.（-4,7.0）

19、（0分）在空间直角坐标系中，4（4,1,9）,8（10,-1,6）,<7（2,4,3）,则/4BC为（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.钝角三角形D.锐角三角形

20、(0分)在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0(A,

B,C,DGR,且A,B,C不同时为零)，点玳运，吃)到平面a的距离为：

dj+By©+Cz^+Dj

+京七一，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心0到侧面的

距离等于()

A.~B.5

C-2D-5

21、(0分)设一球的球心为空间直角坐标系的原点。，球面上有两个点4B,其坐标分别为

(1,2,2),(2,-2,1).则|4B|=()

A.18B.12C.3V2D.2次

22、(0分)设点.薪蔚北随是直角坐标系陟-醐5中一点，则点豳?关于春轴对称的点的坐标为

()

A.B.

C-N-X-lIllD.(-2-1,-3|

23、(0分)在平行六面体4BCD—AB'C'D'中，若42=xG+2y/1+3zC0,则x+y+z等于

A.-B.-C.-D.-

3666

24、(0分)在空间直角坐标系中，点P(l,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是

A.(1,-2,3)B.(-1,2,-3)

C.(―1,—2,3)D.(1,—2,—3)

25、(0分)己知点4(0,1),8(3,2),向量品1=(一4,一3),则命=()

A.(7,4)B.(-7,-4)C.(1,4)D.(-1,4)

二、填空题（共10题；共0分）

26、（0分）若向量a=（1,X,2）,b=（2,-1,2）,且a±b,则A等于

______________.27、（0分）与a=（2,—1,2）共线且满足a•b=-9的向量b=___________。

28、（0分）【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中

学，惠州一中）高三下学期第三次联考】如图，在同一个平面内，三个单位向量后,后,左

满足条件：£1与A的夹角为a,且tana=7,而与流:与的夹角为45。.若后=加京+

nOB（m,nG/?）,则m+n的值为（）

29、(0分)四棱锥P—力BCD中，PAABCD,ABAD=90",PA=AB=BC=^AD=1,

BC//AD,已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角Q-PD-4的平面角大小为弓，若动点Q

的轨迹将ABCD分成面积为Si，S2（Si<S2）的两部分，则Si：S2=.

30、（0分）二面角a-1-p的平面角为120°,在面a内，ABL1于B,AB=2在平面B

内，CDL1于D,CD=3,BD=1,M是棱1上的一个动点，则AM+CM的最小值为

______________31、（0分）已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面，对

平面ABC外一点0,给出下列表达式：OM=xOA+yOB+OC,其中x,y是实数，则

x+y=

32、（0分）在空间直角坐标系中，点（-2,1,4）关于y轴的对称点的坐标为________.

33、（0分）若4（4,-7,1）,B（6,2,z）,\AB\=11,则2=_____.

34、（0分）已知在空间四边形。4BC中，6c1=且>=3点M在04上，且。M=3M4N

为BC中点，用覆b,展表示MN,则MN等于.

35、(0分).已知A(l,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线0P上运动，

当勰•西取最小值时，点Q的坐标是_.

三、解答题（共5题；共0分）

36、(0分)已知三棱锥P-ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形4BCD为边长

为夜的正方形，Z\ABE和ABCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

(I)证明：平面P/4C1平面ZBC;

(11)求二面角4一「。一8的余弦值；

(HI)若点M在棱PC上，满足寰=3u刍J，点N在棱BP上，且BMJ.AN,求警的取值范

PM33BP

围.

37、(0分)如图，四棱柱ABC。-AiBiQA的底面4BCD是菱形，ACnBD=0,4。1底

面ABCD,4速'=/a=鼠

A

(I)证明：平面4也。_1■平面BBRD；

(H)若^BAD=60°,求二面角B-OBi-C的余弦值.

38、(0分)如图，已知A)BiC「ABC是正三棱柱，D是AC中点.

(1)证明ABi〃平面DBCi；

(2)假设AB1±BCi,BC=2,求线段ABi在侧面BiBCCi上的射影长.

31

39、(0分)如图所示，在长、宽、高分别为翦=呈，.=鹫，用=胃的长方体

士期:-闻高勰离!的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为布的所有向量；

(3)试写出与蒸:相等的所有向量;

(4)试写出属('的相反向量.

40、（0分）如图，四棱锥P-ABCD中，PAJ.底面ABCD,AB〃DC,DAJ.AB,AB=AP=2,

DA=DC=1,E为PC上一点，且PE=|PC.

(I)求PE的长；

(II)求证：AE_L平面PBC；

(III)求二面角B-AE-D的度数.

试卷答案

I.【答案】c

【解析】【解答】过A作AOJLa于0,点A到平面a的距离为A0；作ADJ_PQ于D,连

接0D,则AD_LCD,A0±OD,NADO就是二面角a-PQ-0的大小为60°.VAC=2,

ZACP=30°，所以AD=ACsin30°=2X#fId4d6bc-3997-47af-bd4d-a7884268585d#=l,在

A

本题考查空间几何体中点、线、面的关系，正确作出所求距离是解题的关键，考查计算能

力与空间想象能力。

2.【答案】B

【解析】【解答】设点A到平面A1BC的距离为h,则三棱锥辞做一座钟的体积为

二h=翦,选B..

求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得.“等积

法”是常用的求点到平面的距离的方法.

3.【答案】D

【解析】【解答】正方体上下底面中心的连线平行于BB।,上下底面中心的连线平面

ACD।所成角即为线面角，直角三角形中求出此角的余弦值.如图，设上下底面的中心分

别为01,0；

010与平面ACD।所成角就是BB।与平面ACDi所成角，贝U可知cosN。】。。1=煦=三=

鸟故选D.

本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体

积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现

4.【答案】A

【解析】【解答】①中直线还可能异面；③中需指明直线n不在平面内。

本题以命题真假的判断为载体，考查了空间中线线与线面平行的判断和空间点、线、面位

置关系的判断等知识点，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】【解答】选项A,由于因此是平行向量。

选项B中，由于对应的坐标不成比例，故不是平行向量.

选项C中，由于因此是平行向量。

选项D中，由于不满足系数比成比例，因此不是平行向量，故选B.

理解向量的平行，即为其坐标的三个值对应成比例即可，因此属于基础题。

6.【答案】C

【解析】因为m•血=2X(-3)+(-3)X1+5X(-4)=-29力0,所以m与n?不垂直，又ni,n2

不共线，所以a与B相交但不垂直.故选C.

7.【答案】A

【解析】

如图所示，建立直角坐标系，:NBOC=30。,OC=b,二C(国cos30°,V5sin30。)，即C(|,?)户

乙BOA=120。,；./l(V3cosl20",V3sinl200),即4(-今|),又

3__遗入+/g(4—更

2一假3解得'-k

{~==丁

•••A+p=V3,故选A.

【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，属于难

题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，

运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；

（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立

坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答

8.【答案】D

【解析】因为a+b=(cos。+sin。，2,sin。+cos。)，a-b=(cos。-sin0,0,sin

0-cos0).

所以(a+b)・(a-b)=(cos0+sin0)(cos9-sin0)+2X0+(sin8+cos6)(sin

cos0)=cos20-sin20+sin29-cos2。=0.

所以(a+b)_L(a-b),即向量a+b与a-b的夹角是90°.故选D.

9.［答案】D

【解析】以点D为原点，DA、DC、DDi分别为％、y、z建立空间直角坐标系，设正方体棱

长为1,设点P坐标为(居1一居》),则加=(%-1,一居初后1=(一1。1)设而、BA的夹角为

—»­»

a,所以cosa=¥心刍=_厂=1—,所以当％=：时，cosa取最大值=

J@T)2+2%2X&

\BP\\BC1\和宇1镇32

7o当％=1时，cosa取最小值：,a=，因为BCJ/4D1。故选D。

623

【点睛】因为BCJ/ADi，所以求BCi、BP夹角的取值范围。建立坐标系，用空间向量求夹

角余弦，再求最大、最小值。

10.【答案】D

【解析】

以点。为原点，以ZM所在的直线为％轴，以DC所在的直线为y轴，以。劣所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，可得点4(1,0,0),G(0,1,1),设点P的坐标为(x,y,z),则0WxWl,0WyW

—>T—>—>

l,z=1,:・PA=(1-%,—y,-1),PC1=(一居1—y,0),・•・PA•PC1=-x(l-x)—y(l—y)4-0=%2-

X+y2_y=由二次函数的性质可得，当％=丫=/，易孑2取得最大

值为-5当x=0或1时，且当y=0或1时，易.乙取得最大值为0,由此易.2的取值范围

是［心，。］,故选D.

11.【答案】B

赭闻-短料的体积为FI

【解析】【解答】设点,圆到平面&翻a的距离为h,则三棱锥启cj

上瞬播,即严如."怒h=/邓才所以故选

B。

本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得.“等

积法”

是常用的求点到平面的距离的方法.

12.【答案】B

【解析】【解答］”，；阿喇中/=号二q=领：„,结合平行四边形法

则可知是以为临边的矩形的对角线向量，所以所求夹角窗满足

B毋战

设|夹角为融，，则要求两向量的夹角需求出两向量的模及数量

积，而后代入公式即可

13.【答案】B

【解析】【解答】对于命题①，若曰1•偏磨1.好，则，瀚枫或小二好,命题①错误;

对于命题②，若则於二耕或调熟，命题②错误；对于命题③，若

i?JL金龈蒲勰，则S1./?,命题③正确；对于命题④，若滞&维糜」撰，则

修1.加，命题④正确，故选B.

14.【答案】B

【解析】【解答】连接.6|于密;|二/您一一/蜉瞥/静…「平面

.赖一|平面土?螂，点融到平面1J豳^的距离为因为

为感宵的中点，所以。到平面ABCf&|的距离是

本题中把握住点0是平面斜线段/!鸳'的中点，从而将0到面的距离转化为副到面的距

离，做出其垂线段求长度即可；本题还可采用空间向量法计算

15.【答案】B

【解析】【解答】在空间直角坐标系中某一点关于x轴的对称点x坐标不变，所以点（一

2,1,9）关于x轴的对称点（一2,—1,一9）故选B.

在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点x坐标不变，其余坐标互为相反数，点关于y

轴的对称点y坐标不变，其余坐标互为相反数，点关于z轴的对称点z坐标不变，其余坐

标互为相反数，

16.【答案】C

【解析】试题分析：设A（0,0,z）,由题意和距离公式可得z的方程，解方程可得.

解：由点A在z轴上设A（0,0,z）,

,:卜到点（2加，娓，1）的距离是JW，

（2圾-0）2+（75-0）2+（z-1）2=13,

解得z=l,故A的坐标为（0,0,1），

故选：C.

考点：空间两点间的距离公式.

17.【答案】B

【解析】试题分析：由题：

阿=您期旗—飘外.糠4网烫不翼嫄一郅康-号飒普甫一驾菠=怪糜外辑『年卷号，因此

;雪圆.寻耀一普»=詈"M

■■■-鼠fl•翼就*游=暑=±履=工

!多—&卿—,=堂!“=t,故选B

考点：向量的计算

18.【答案】B

【解析】试题分析：点M关于y轴的对称点坐标y坐标不变，x,z坐标互为相反数，所以

对称点为G兔德颜

考点：空间点的坐标

19.【答案】B

【解析】试题分析：因为=(10-4)2+(-1-I)2+(6-9)2=49,AC2=(2-4)2+

(4-+(3-9产=49,BC2=(2-10)2+(4+1)2+(3-6产=98,ffjAB2+AC2=BC2,所以

4aBe为等腰直角三角形，故选B.

考点：空间距离公式.

20.【答案】B

【解析】以底面中心0为原点建立空间直角坐标系。一号Z,则A(l,1,0),B(-1,1,

0),P(0,0,2),设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将以上3个坐标代入计算得A

C=--D--

=0,B=-D,2，所以一Dy—2Dz+D=0,即2y+z—2=0,

(⑵:0+0-2：2/

G=---j-------------------------------

y/TTi5.

故选B.

21.【答案】C

【解析】,：A,B两点的坐标分别是4(1,2,2),B(2,—2,1),/.\AB\=

J(2-1尸+(-2—+(1—=3V2,故选C.

22.【答案】A

【解析】试题分析：点缠关于密轴对称的点与点影的横坐标相同，纵坐标，竖坐标互为

相反数，所以对称点为

考点：空间点的坐标

23.【答案】D

【解析】试题分析：由空间向量基本定理得鼠+cK,所以x=l,2y=l,3z=l；.

y=-1,z=1-

)23

11

A%+y+z=—

6

考点：空间向量基本定理

24.【答案】A

【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面xoz对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是

点P(l,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是(1,-2,3),选A.

25.【答案】B

【解析】分析：由条件求得易，再根据鼠=辰-几求解即可得到结果.

详解：由条件得几=(3,1),

又晶=(-4,-3),

：.BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

故选B.

点睛：本题考查向量坐标的求法和向量的减法运算，解题时注意向量运算法则的正确运

用，主要考查学生的基本运算能力，属于容易题.

26.【答案】6

【解析】【解答】解：••,向量3=(1,X,2),b=(2,-1,2),且展_Lb,

/.a-b=2-X+4=0,

解得X=6.

故答案为：6.

利用向量垂直的性质能求出实数X的值.

27.【答案】(-2,1,-2)

【解析】

首先利用共线设出石的坐标，再利用数量积为-9的条件求出向量b-

依题意设b=na=(2n,-n,2n)>所以a-&=4n+n+4n=-9)解得n=-故

b=(-2,1,-2)-

【点睛】

本小题主要考查空间两个向量共线的表示，考查空间向量数量积的计算,属于基础题.

28.【答案】言

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

由tana=7知a为锐角，且sina=部,cosa=京故cos（a+45。）=-|,

4

sin^a+45°）=

：,点B,C的坐标为（-1，»篇，黑），

.•.而=(一|,》辰=(率*.

—>—>—»

又0C=mOA+nOB,

哈黑）=加一然）

5及

m=——

解得8

7日

n=—

8

5\/2,7>/2

•'m+九=3\f2

-8-----8-=--2-

29.【答案】『

4

【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q

(0,b,0)(b>0).

由题意可知A(0,0,0),1)(2,0,0),P(0,0,1),

二茄=(-2,0,1),丽=(-2,b,0).(2,0,0).

设平面APD的法向量为元=(xi，zi),平面PDQ的法向量为6=(X2，y2»z2)

贝.信•DP=0in2-DP=0

%•AD=0\n2,DQ=0

pijf-2%1+Zi=0(-2X2+z2=0

t2%i=0'(一2%2+by2=0，

令yi=0得信=(0,1,0),令Z2=2得R=(1,I，2).

»TT2TTf4

••九1•九2=B，MlI=1，I几2I=J5+/

・・•二面角Q-PD-A的平面角大小为9

4

九i.九2

cos<n-n>-=荐即金=¥，解得b=2V5.

x2225

\ni\\n2\二

,S4ADQ="DSQ=1x2x|V5=|V5.

-

S梯形ABCB$△ADQ=1X(1+2)X1—|V5=|—|V5.

VS1<S2,AS1=|-|V5,S2=|V5..,.SI：S2=(375-4)：4.

点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ,确定

点Q在y轴上的位置，由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.

30.【答案】[“岳”]

【解析】【解答】解：将二面角a-1-B平摊开来，即为图形

当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC

而AE=5,EC=1

故AC=V26

故答案为：V26

要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上

找一点使AM+CM即可，而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长

即可.

31.【答案】["$]

【解析】【解答】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，

则对平面ABC外一点0,满足OM=xOA+yOB+[OC,

所以x+y+~1>

所以x+y=1.

故答案为：|.

由四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1,列出方程求出x+y的值。

32.【答案】,1,-4)

【解析】试题分析：在坐标系中关于坐标轴的对称问题，例如：关于x轴对称横坐标不

变，其余变为相反数，其它坐标轴同理.故本题中的点(-2,1,4)关于y轴的对称点的坐标

为：(2,1,-4).

考点：1.空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点问题；2.相反数.

33.【答案】一售或曾

【解析】试题分析：由空间两点间的距离公式可得：懊树=稠存》后一曙=矍1,解得*为

-瞥或飞。

考点：1.空间两点间的距离；

34.【答案】-与+

422

【解析】如图：

0

M

C

A

R

■：MN=ON-OM,ON=^0B-OV)

・•・MTN=-1(TOB+OTQ--3OTA=-±3Ta+±Lb+±Ic7.

2'74422

35.【答案】母I"1)

【解析】试题分析：设Q(x,y,z)

A(1,2,3),(2,1,2),P(1,1,2),

则由点Q在直线OP上可得存在实数人使得防=人用三（入，X,2X）

则Q(入，X,2X)

QA-(1-入，2-A,3-2A),

QB=(2-X,1-X,2-2X)

g魁•(g§=(1-X)(2~X)+(2~A.)(1-X)+(3-2A.)(2~2A.)=2(3A.2-8A.+5)

根据二次函数的性质可得当人三时，取得最小值q

注士鲫

此时专明.

考点：本题主要考查向量的坐标运算、向量的数量积。

点评：根据空间向量数量积的坐标运算公式，求出函•醺的表达式，进而将问题转化为

一个二次函数最值问题，是解答本题的关键.

36.【答案】（I）见解析；（n）日；（m）黑e9|].

【解析】试题分析：第一问取AC中点0,根据等腰三角形的性质求得P014C,根据题中所

给的边长，利用勾股定理求得P0_L0B,利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定

理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求

得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向

量垂直的条件，利用向量的数量积等于0,得出所求的比值〃与；I的关系式，利用函数的有

关知识求得结果.

设4C的中点为0,连接8。，PO.由题意

PA=PB=PC=V2,PO=1,AO=BO=CO=1

因为在APAC中，PA=PC,。为AC的中点

所以POLAC,

因为在4P0B中，PO=1,OB=1,PB=y/2

所以PO1OB

因为力CnOB=。，AC,OBu平面ABC

所以POJL平面ABC

因为P。u平面P4C

所以平面P4C1平面4BC

方法2：

设4c的中点为。，连接B。，P0.

因为在4P4C中，PA=PC,。为4c的中点

所以P。1AC,

因为PA=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO

所以APOA^4P0B丝APOC

所以Z.POA=Z.POB=Z.POC=90°

所以P。OB

因为4CnOB=。，AC,OBu平面ABC

所以P0_L平面力8c

因为POu平面PAC

所以平面P4C，平面ABC

方法3：

设AC的中点为。，连接P0,因为在4P4c中，PA=PC,

所以P。_L4C

设AB的中点Q,连接PQ,OQ及OB.

因为在4048中，0A=08,Q为力B的中点

所以OQ1AB.

因为在4P4B中，PA=PB,Q为AB的中点

所以PQ1AB.

^^JPQOOQ=Q,PQ,OQc^FffiOPQ

所以48J•平面OPQ

因为OPu平面OPQ

所以。PJ.AB

因为ABn4C=44B,ACu平面48c

所以PO_L平面4BC

因为P。u平面P4C

所以平面PACJ_平面ABC

(II)由PO_L平面ABC,OB1AC,如图建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),C(l,0,0),B(0,l,0),4(-1,0,0),P(0,0,l)

由。BJ■平面APC,故平面力PC的法向量为防=(0,1,0)

由而=(1,-1,0),PC=(1,0,-1)

设平面PBC的法向量为/=(x,y,z),则

由卜@=°得:

ln-PC=0b-z=0

令％=1,得y=l,z=l,即n=(1,1,1)

—>n-OB1_V3

cos<n,OB>=

|n|■\0B\Bl3

由二面角A-PC-B是锐二面角，

所以二面角4一PC-B的余弦值为经

(III)设BN=〃BP,0<g<1,则

BM=BC+CM=BC+ACP=(1,-1,0)+A(-1,0,1)=(1-A,-1,A)

AN=AB+BN=AB+而P=(1,1,0)+“(0,—1,1)=(1,1-出〃)

令BM=0

得（i—a）•i+（―1）,（1—〃）+a•〃=o

即〃=士=1一2，U是关于X的单调递增函数，

1+A1+X

当4时，

所以强［怎

37.【答案】（I）证明见解析；（II）-4.

4

【解析】试题分析：（1）证明邮1,面可函，则BDu面BB1DW，从而面40C，

面BBiDiD；

（2）建立空间直角坐标系，利用面BOB「面OB】C的法向量/，装夹角的余弦值可得二面角

B-OB1一C的余弦值。

试题解析：（I）证明：因为4。1平面4BCD,BDu平面力BCD,所以a01BD.