2021年（文科数学）（甲卷）高考数学试卷真题+答案解析

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则Mp|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

2.（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至&5万元之间

3.(5分)已知(l-iyz=3+2i,则z=()

333.

A.-1——iB.-l+-iC.——4-Z

222

4.（5分）下列函数中是增函数的为（)

A.f(x)=-xB./(x)=(-YC.f(x)=x2D./(%)=Vx

22

5.(5分)点(3,0)到双曲线上-上=1的一条渐近线的距离为(

)

169

6.（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录

法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+/gV.已知某同学视力的五分记录

法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（）（晒。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

7.（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,

所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

9.（5分）记S“为等比数列｛”"｝的前”项和.若52=4,S4=6,则$6=（）

A.7B.8C.9D.10

10.（5分）将3个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

11.(5分)若。£(0,乙)，tan2a=-°sa-,则tana=()

22-sina

A而R不C.正D,巫

A•-----fc5•----

15533

若〃)，)=()

12.(5分)设/(x)是定义域为R的奇函数，S.f(l+x)=f(-x).T=g5V(i

A.--B.-1C.1D.-

3333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）若向量方，6满足|1|=3,\a-b[=5,ab=l,贝U|5|=.

14.（5分）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万，则该圆锥的侧面积为.

15.（5分）已知函数f（x）=2cos（公v+夕）的部分图像如图所示，则〃马=—.

16.(5分)已知耳，鸟为椭圆C：：+(=l的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且

\PQ\=\F.F2\,则四边形的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质

量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：K=.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（12分）记S“为数列｛&｝的前〃项和，己知%>0,a2=3at,且数列｛反｝是等差数列,证明：｛4｝是

等差数列.

19.(12分)已知直三棱柱ABC-A8C中，侧面A41AB为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CQ

的中点，BF1A.B,.

(1)求三棱锥F-EBC的体积；

(2)已知。为棱A4上的点，证明：BFJ.DE.

C

20.(12分)设函数/(x)=/x?+ar-3/nx+l,其中a>0.

(1)讨论fM的单调性；

(2)若y=f(x)的图像与无轴没有公共点，求a的取值范围.

21.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/:x=l交。于P,Q两点，B.OP1OQ.已

知点例(2,0),且0M与/相切.

(1)求C,00的方程；

(2)设4，4，A是c上的三个点，直线AA2,A4均与。时相切.判断直线与的位置关系，

并说明理由.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选

修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

方程为夕=242cos0.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点尸满足A户=写出尸的轨迹C1的参数方程，

并判断c与G是否有公共点.

［选修45不等式选讲J(10分)

23.已知函数f(x)=|x—2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像；

(2)若f(x+a)..g(x),求。的取值范围.

2021年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)设集合”={1,3,5,7,9},N={x\2x>l},则Mp|N=()

A.(7,9)B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【解答】解：因为N={x|2x>7}={x|x>Z},M={1,3,5,7,9},所以MDN={5,7,9}.故选：B.

2

【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题.

2.(5分)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据

整理得到如下频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【解答】解：对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故选项

A正确；

对于8,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02x3)X1=0.1=10%,故选项B正确；

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为

3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0.2+9x0.1+10x0.1+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5757C.故选项

C错误；

对于。，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+02)x1=0.64>0.5,

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项。正确.

故选：C.

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平

均数的计算方法，属于基础题.

3.(5分)已知(l-iyz=3+2i,则z=()

3333

A.-l--zB.-l+-zC.--+/D.---/

2222

【解答】解：因为(l-i>z=3+2i,所以z=="===T+

(1-z)2-2i(-2z)-i22

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运

算能力，属于基础题.

4.(5分)下列函数中是增函数的为()

A.f(x)=-xB.f(x)=(^)xC./(x)=x2D.f(x)=y/x

【解答】解：由一次函数性质可知f(x)=-x在R上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知/(X)=(|)v在K上是减函数，不符合题意；

由二次函数的性质可知/(幻=/在/?上不单调，不符合题意；

根据寤函数性质可知/(x)=也在R上单调递增，符合题意.故选：D.

【点评】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题.

22

5.(5分)点(3,0)到双曲线看-5=1的一条渐近线的距离为()

A.-B.-C.-D.-

5555

【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为三-汇=0,即3x±4y=0,

169

结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x-4y=0的距离，

9-0Q

则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离d==故选：力.

V9+165

【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题.

6.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录

法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+/gV.已知某同学视力的五分记录

法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（）（痫。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【解答】解：在L=5+lgV中，L=4.9,所以4.9=5+lgV,即/gV=-0.1,解得

ol

y=10-=-l-=-1L=—«0.8,所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选：C.

10°'痫1.259

【点评】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

7.（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.i亥正方体截去三棱锥A-EFG后,

所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

□

正视图

A.OB.□C.□D.□

【解答】解：由题意，作出正方体，截去三棱锥A-EFG,根据正视图,可得A-EFG在正方体左侧面,

如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是。图形，故选：D.

.二

©

DC

【点评】本题考查简单空间图形的三视图，属基础题.

8.（5分）在AA8C中，已知8=120。，AC=M,AB=2,则3c=（）

A.1B.>/2C.6D.3

【解答】解：设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

结合余弦定理，可得19=a2+4-2xax2xcosl20°,

即/+2a-15=0,解得a=3（“=-5舍去），所以BC=3.故选：D.

【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题.

9.（5分）记S“为等比数列｛/｝的前"项和.若S?=4,S4=6,则S$=（)

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：•・•$,为等比数列｛4｝的前〃项和，邑=4,邑=6,

由等比数列的性质，可知与，54-52,$6-S4成等比数列，

.-.4,2,七一6成等比数列，,22=4(56-6),解得$6=7.故选：A.

【点评】本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题.

10.(5分)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【解答】解：将3个I和2个0随机排成一行的方法可以是：00111,01011,01101,OHIO,10011,10101,

10110,11001,11010,11100,共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法，满足题

意的概率为色=0.6,故选：C.

10

【点评】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属于基础题.

八cosa

1.（5分）若2£（0,工））•tan2a—,则tana=（）

22-sina

A席B好c,正D.叵

A.---

15533

cosa得sin2acosa即2sinacosa_cosa

【解答】解：由tan2a=一,

2-sinacos2a2-sina1-Isir^a2-sina

•.,ae(0,^),:.cosa^O,则2$出0；(2—$1110)=1-2$M2£,解得sina=；,

则cosor=Jl-sin2a=tana=-S'na=.故选：A.

4cosaJ1515

4

【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题.

12.(5分)设，(x)是定义域为尺的奇函数，且/(l+x)=/(—x).若/(_g)=g,则/《)=()

A.--B.--C.-D.-

3333

【解答】解：由题意得/(一%)=一/(%)，X/(I+x)=/(-x)=-/(x),

所以/(2+x)=/(x),又/(_g)=g,则/e=〃2-g)=/(-g)=g.故选：C.

【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）若向量5满足|菊=3,\a-b\=5,ab=\,则|5|=_3&_.

【解答】解：由题意，可得0-5）2=1一2济6+52=25,

因为|。|=3,a-b=\,所以9-2x1+斤=25,所以户=18,|6|="7^=30.故答案为：3夜.

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题.

14.（5分）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万，则该圆锥的侧面积为_39万

【解答】解：由圆锥的底面半径为6,其体积为30乃，

设圆锥的高为〃，贝Ugx（万x62）x/7=3O/r,解得/j=g,所以圆锥的母线长/=Jgy+62ng,

所以圆锥的侧面积5=乃〃=乃x6x"=391.故答案为：39%.

2

【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题.

15.（5分）已知函数f（x）=2cos（Ox+e）的部分图像如图所示，则/（马

【解答】解：由图可知，/（x）的最小正周期7=：（者—（）=万，所以。吟=2,因为八。）=0,所以由

五点作图法可得2*2+夕=四，解得夕=一生,所以f（x）=2cos（2x-e）,

3266

所以/（乙）=2cos（2xM—马=-2cos^=—G.故答案为：.

2266

【点评】本题主要考查由）；=48式5+0的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力,

属于基础题.

16.（5分）已知片，工为椭圆C：菽+?=1的两个焦点，P，。为C上关于坐标原点对称的两点，且

1321=1461，则四边形PKOK的面积为8.

【解答】解：因为P，。为C上关于坐标原点对称的两点，且IPQR6巴

所以四边形尸片。鸟为矩形，设|尸/"=相，|?居|=〃，

由椭圆的定义可得II咫|+|「鸟\\=m+n=2a=8,所以＞+2而+"=64,

因为即加2+“2=48,所以,”=8,

所以四边形的面积为|P£||PR|=M〃=8.故答案为：8.

【点评】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质

量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表:

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

_n(ad-be)2

(a+b)(c4-d)(a+c){b+d)

Pg.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件,

因为甲的一级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为变=3；

2004

因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为当=?；

2005

n(ad-be)2

（2）根据2x2列联表，可得犬=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

400(150x80-50xl20)2

«10.256>6.635.

270x130x200x200

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

【点评】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题.

18.（12分）记S“为数列的前〃项和，已知a“>0,出=3《,且数列｛四｝是等差数列，证明：是

等差数列.

【解答】证明：设等差数列｛四｝的公差为",

由题意得=8；#7=J%+。2=J，％=,

则d=后-6=2瓜-M-如,所以厄=如+(〃-1)国="瓜,

所以5a=①；

当”..2时，有S,i=(〃-1)%②.

由①②，得an=Sn-S“_|=-1)?4=(2〃-l)q③，

经检验，当〃=1时也满足③.

所以““=(2〃-1)4,nsN+,

当.2时，an-a„_t=(2n-1)^-(2n-3)q=2q,

所以数列｛““｝是等差数列.

【点评】本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题.

19.(12分)已知直三棱柱ABC-A8c中，侧面用8田为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CC；

的中点，BF±4B1-

(1)求三棱锥尸-EBC的体积：

(2)已知。为棱A4上的点，证明：BFLDE.

【解答】解：（1）在直三棱柱ABC—ASG中，BBJAB],又B/_LAS，BBQBF=B,BBt,Bfu平

面BCC4，..A4，平面BCGq,-.■AB//AlBt,r.AB_L平面BCC#,:.ABLBC,又AB=BC=2,故

AC=y]22+2r=272,CE=>f2=BE,而侧面A4内8为正方形，CF=|cC,=1AB=1,

V=-5A£BC-CF=1X^XV2XV2X1=1,即三棱锥F-E3C的体积为:；

(2)证明：如图，取BC中点G,连接EG,B8,设B°nBF=H,

•.•点E是AC的中点，点G是BC的中点，:.EGUAB，EG!!AB//B.D,

G、B.。四点共面，由(1)可得43_L平面8CC|A,二EG_L平面，:.BFLEG,

f,P11

tanZCBF=——=-,tanZBB,G=——=-,且这两个角都是锐角，/.NCBF=ABB,G,

BC2'BB、21

/.ZBHBI=NBGBi+NCBF=ZBGB,+NBB、G=90°,BF±BXG,

又EGngG=G,EG,BQu平面EG3Q,r.平面EGBQ,

又£>Eu平面EG8Q,:.BFYDE.

【点评】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推理能

力，属于中档题.

20.（12分）设函数/（xh/x?+ar-3/nx+l,其中a＞0.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若y=/（x）的图像与x轴没有公共点，求。的取值范围.

【解答】解：（1）/'（X）=2片彳+a—「=2—+ax-3=（2ar+3）（七1）,%＞（））

XXX

因为a＞0,所以所以在（0」）上，r（x）＜0，/（X）单调递减，

2aaa

在d,+oo）上，r（x）＞o,/（X）单调递增.

a

综上所述，在（0」）上单调递减，在d,+oo）上/（X）单调递增.

aa

（2）由（1）可知，=/（-）=a2x（I）2+ax--3//1-+1=3+3/??Z7,

aaaa

因为y=/（x）的图像与X轴没有公共点，所以3+3/w＞0,所以“＞工,

所以。的取值范围为d,+8）.

e

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

21.（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/:x=l交C于P,。两点，5.OPA-OQ.己

知点M（2,0）,且与/相切.

（1）求C,QM的方程；

（2）设A，4,4是C上的三个点，直线AA2，AA均与相切.判断直线A»3与0M的位置关系，

并说明理由.

【解答】解：（1）因为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px（p>0）,令x=l,

贝!Iy=±y/Tp,

根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，。在X轴下方，故P（l,而），Q（l,-而），

因为OP_LOQ,故1+历x（一廊）=Onp=；,抛物线C的方程为：y2=x,

因为。M与/相切，故其半径为1,故0知:。-2）2+>2=1.

（2）设4（占,%），4（%,%），4（&，%）•

当A，4，4其中某一个为坐标原点时（假设A为坐标原点时），

设直线44方程为丘-丫=0,根据点〃（2,0）到直线距离为1可得/2k,=］，解得％=土立，联立直线AA,

Jl+223

与抛物线方程可得x=3,此时直线4A，与0M的位置关系为相切，

当A，A,,A都不是坐标原点时，即彳产犬2Hw,直线A4的方程为x-（y+y?）y+*%=。，

此时有，92+）\%1=］,即（£一］）$+2必必+3—4=0,

力+（乂+%）2

同理，由对称性可得，（y：-l）y；+2%%+3-y；=0，

所以丫2，为是方程（4-1）/+2乂1+3-才=0的两根，

依题意有，直线A2A3的方程为x-（%+为）y+y2y3=。，

(2+^L-

(2+%为y犬-1

令M到直线&A3的距离为d,则有d2=