函数的单调性和极值

3.4.1、函数单调性的判定法如图所示单调递增曲线上各点处的切线的斜率是非负的单调递减曲线上各点处的切线的斜率是非正的第一页第二页，共26页。若设函数(递减).证:

不妨设任取由拉格朗日中值定理得故定理3.4.1.第二页第三页，共26页。例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为返回第三页第四页，共26页。说明:单调区间的分界点除驻点外,也有可能是导数不存在的点.

例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则函数的单调性不改变.例如,第四页第五页，共26页。讨论函数的单调性可按下列步骤进行:(1)确定连续函数的定义域;(2)求出(3)判断在每个子区间内的符号,就可以确定出函数的单调区间.将定义域划分成若干子区间；第五页第六页，共26页。例2.证明时,成立不等式证:

令则第六页第七页，共26页。3.4.2、函数的极值及其求法定义3.4.1:在其中当时,(1)

称为函数的极大值;(2)

称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。第七页第八页，共26页。注意:为极大值点为极小值点不是极值点函数的极值是函数的局部性质.例如(例1)极大值点,

是极大值

是极小值

极小值点,第八页第九页，共26页。定理3.4.2(第一充分条件)

且在空心邻域内有导数．(1)如果处取得极大值。(2)如果处取得极小值。第九页第十页，共26页。(3)如果处没有极值。第十页第十一页，共26页。求极值的步骤:第十一页第十二页，共26页。例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为第十二页第十三页，共26页。定理3.4.3(第二充分条件)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一充分条件知(2)类似可证.返回第十三页第十四页，共26页。第十四页第十五页，共26页。例4.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;因故需用第一充分条件判别.第十五页第十六页，共26页。试问为何值时,在时取得极值,还是极小值。解:

由题意应有又所以为极大值例5.求出该极值,并指出它是极大第十六页第十七页，共26页。3.4.3、最大值与最小值问题则其最值只能在端点、导数不存在的点或驻点处取得.求函数最值的方法:(1)求在内的最值可疑点(各驻点或不可导点)(2)最大值最小值情形1:第十七页第十八页，共26页。例6.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然故函数在取最小值0;在及取最大值5.第十八页第十九页，共26页。

当在区间内可导且只有一个驻点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)情形2:情形3:在应用问题中,往往根据问题的性质就可以判断可导函数 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,

这时如果函数在区间内部只有一个驻点就可以判定是最大值或最小值.第十九页第二十页，共26页。例7.

把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高

h

和宽

b

应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?

解:由力学知识知矩形梁的抗弯截面模量为令得此时即由实际意义可知,所求最值存在且在区间内部取得,而在区间内部只有一个驻点,故时最大。第二十页第二十一页，共26页。内容小结2.函数的极值(1)极值可疑点:驻点和导数不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值在

I

上单调递增在

I

上单调递减1.可导函数单调性的判别第二十一页第二十二页，共26页。(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在端点、导数不存在的点和驻点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.3.连续函数的最值第二十二页第二十三页，共26页。思考与练习1.

设则在点

a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.第二十三页第二十四页，共26页。2.

设