第一章-仿射几何1解析

§1.1平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应ABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且,，≠≠

,点A,B,C,D……,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于……，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为T第一页第二页，共32页。ABCD原象点：A,B,C,D……

直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射O点O为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：……直线上的点记透视仿射T：………第二页第三页，共32页。2.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射（如图）………………第三页第四页，共32页。仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二.两平面的平行射影与仿射对应：1.平行射影：如图点A,B,C共线a，则共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴第四页第五页，共32页。平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链性质：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保留点与直线的结合性2仿射：第五页第六页，共32页。§1.2仿射不变性与不变量定义1

仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论平行四边形是仿射不变的图形.定义2简比：设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：当点C在线段AB上时，(ABC)<0第六页第七页，共32页。当点C在线段AB或BA的延长线上时，当点C与点A重合时，当点C与点B重合时，当点C为线段AB的中点时，(ABC)=-1则点C称为分点，A,B两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数例1经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解:设(ABC)

0(ABC)=0(ABC)不存在第七页第八页，共32页。定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射不变量.∴点P在直线x+3y-6=0上.ABC==要证:第八页第九页，共32页。ABCDE证明:如图,作DEAC,==∵简比是仿射不变量∴定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.定理5在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数第九页第十页，共32页。gABC证明:设T为到的一个透视仿射,如图并且则=若ABg,==g,则显然成立.若ABg,=g,=过A,,B,分别引轴g的垂线垂足分别为由相似三角形得:第十页第十一页，共32页。定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCg一般情形:如图第十一页第十二页，共32页。对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgXYZ由的证明可得:第十二页第十三页，共32页。推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量第十三页第十四页，共32页。§1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.则

gAB设

T将上的点A变换为其本身上的点

T将上的点B变换为其本身上的点a第十四页第十五页，共32页。

T将上的点变换为上的点,将上的直线a变换为上的直线,即T保留同素性和接合性.

T将上的相交直线a,b变换为上的相交直线.

T将上的平行直线

变换为上的平行直线.

和的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿射不变性与不变量，称T为平面到自身的透视仿射定理1平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定证明:设已知对应轴g与不在其上的一对对应点为平面上任一已知点第十五页第十六页，共32页。定理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形BAXg连直线AB,设与对应轴g相交于X,连X与,则AX与是一对对应直线过B引的平行直线,与B对应的点就只能是这直线与的交点.∴是唯一确定的.BAgAB=ggoABC第十六页第十七页，共32页。证明:把△ABC平移到使顶点A落在上,把平移看作透视仿射的特例.记为ABC∵对应轴不存在,对应边互相平行再以直线为透视轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射.最后以为对应轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射T为仿射变换第十七页第十八页，共32页。定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换.若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了.若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了.仿射等价图形:经过仿射变换可以互相转换的图形.任意三角形是仿射等价的.证明:存在性:设是平面内不共线的任意三点.也是不共线的任意三点.存在一个仿射变换T使在平面内任意取一点P,设交于Q.由定理2知.第十八页第十九页，共32页。QP唯一性:设存在另一个仿射,在平面内任意取一点P,设于Q为仿射.∴保持接合性且简比不变都在直线上.且有:第十九页第二十页，共32页。∴对于平面上任意一点P,都有作业:第二十页第二十一页，共32页。§1.4仿射变换的代数表示设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，求P的坐标（x,y）和的坐标之间的关系。仿射变换T由三对对应点唯一确定.设的坐标为X轴上的单位点的映象的坐标为y轴上的单位点的映象的坐标为设P在坐标轴上的正射影，且，则T将平行四边形及分别变换为平行四边形及.由于T保留简比.则第二十一页第二十二页，共32页。xyOP(x,y)

第二十二页第二十三页，共32页。或者写为且因为三点不共线，三点不共线所以行列式不为O(1)(2)第二十三页第二十四页，共32页。定义1把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系，叫点的仿射坐标，记为对于斜交笛氏坐标系，仿射坐标系，上面的代数式（1），（2）都成立。例1求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。将点解:分别代入仿射变换的代数表示式得:第二十四页第二十五页，共32页。∴仿射变换式为:例2求仿射变换的不变直线。解:设所求的不变直线为:ax+by+c=0第二十五页第二十六页，共32页。第二十六页第二十七页，共32页。仿射变换的特例:(3)(4)第二十七页第二十八页，共