新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第51讲概率与统计综合问题教师版

第51讲概率与统计综合问题一、解答题1．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，由己知得，，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，.（2）个芯片中恰有个不合格的概率.因此，令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）开机速度满意度芯片批次合计IJ不满意12315满意285785合计4060100根据列联表得.因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.【点睛】求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.2．（2021·广西·模拟预测（理））十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】（1）；（2）至少要进行19轮竞赛．【分析】（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.【详解】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲答对1次，乙答对2次的概率②甲答对2次，乙答对1次的概率；③甲答对2次，乙答对2次的概率故所求的概率（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：因为，，，所以，，所以利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，，令，则，所以当时，，他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.【点睛】关键点点睛：本题考查独立事件概率，二项分布，最值的综合应用，重点考查读懂题意，抽象与概括能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求出每次获得“优秀小组”的概率的最大值，并能抽象概括他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足.3．（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.【详解】（1）平均每组人，设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，所以，所以该组试验只需第一轮注射的概率为．（2）由（1）得，，所以，设，则，又，所以，因为，所以，又，因为，所以，所以．【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得.4．（2021·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值【答案】（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.【分析】（1）由已知，，；的所有可能取值为1，，，根据解得即可得解；（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用数学归纳法证明，再根据等比数列的定义可证结论；（ii）求出，根据得到，再构造函数（），利用导数可求得结果.【详解】（1）由已知，，，得，的所有可能取值为1，，∴，.∴.若，则，所以，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.①当，2时，显然成立；②假设对任意的时，，下面证明时，；由题意，得，∴，∴，，∴，所以.∴或（负值舍去）.∴成立.∴由①②可知，对任意的正整数n，，所以，所以为等比数列.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.设（），，∴当时，，则在上单调递减；又，，所以，，，所以，，，∴；，.∴.∴k的最大值为4.【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.5．（2021·河南南阳·高三期末（理））某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.参考数据：，，，，【答案】（1）分布列见解析，；（2）①答案见解析；②11.【分析】（1）依据题意写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列，然后计算期望即可.（2）①设方案总费用为Y，，计算数学期望，然后与方案一的总费用为，作差比较即可.②根据，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.【详解】（1）X的可能值为1和，，，所以随机变量X的分布列为：X1P所以.（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，所以方案二总费用的数学期望为：，又，所以，又方案一的总费用为，所以，当时，，，又，所以，所以该单位选择方案二合理.②由①知方案二总费用的数学期望，当时，，又方案一的总费用为，令得：，所以，即，即，所以，设，所以，令得，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，，，，，所以k的最大值为11.【点睛】本题考查概率与导数的综合，本题考查阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导数算是近几年热点内容，属难题.6．（2021·全国·高三期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数（）；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第（，，，，）位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？【答案】（1）（2）50【分析】（1）设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，求出连续两次卡片的方法数，再计算出第二次取出的是白色卡片的取法数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（2）设选出的是第k个同学，计算连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1）以及第二次取出的是白色卡片的种数，计算得出参加表演的概率，即求.（1）n=3时，设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，连续两次卡片的方法数为3×2=6，第二次取出的是白色卡片的两次抽取卡片的颜色有如下两种情形：（白，白）,取法数为（3－k）（2－k），（红，白），取法数为k（3一k），从而第二次取出的是白色卡片的种数为：（3-k）（2-k）十k（3-k）=6-2k，则在第k个同学手中第二次取出的是白色卡片的概率，而选到第k个同学的概率为号，故所求概率为：（2）设选出的是第k个同学，连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1），第二次取出的是白色卡片的两次卡片颜色有如下两种情形：（白，白）,取法数为（n—k）（n—k－1），（红，白），取法数为k（n一k），从而第二次取出的是白色卡片的种数为：（n－k)（n－k－1)＋k(n－k)=(n－k)(n－1),则在第k个同学中第二次取出的是白球的概率，而选到第k个同学的概率为，故所求概率为：又，可知n越大，张老师参加文艺表演的可能性最大，因此，班长应该邀请班上的50名同学全部参与游戏，可使获胜的概率最大.7．（2021·山东·广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.①求出的最大值点；②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即得；（2）由题可求，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得.【详解】（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；（2）①由题可知，，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.所以的最大值点，②的可能取值为0，1，2，3.；；；.所以的分布列为0123的期望为.8．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析.【分析】（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列．（2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比．（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解．【详解】（1）的可能取值为4，5，6，7的分布列为4567（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为，甲获得奖金金额为（元）（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4.;设乙赢得全部奖金为事件，则设，则，由在单调递减，认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.9．（2021·全国·高三课时练习）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.（1）求该系统正常工作的概率的表达式；（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低；当，系统可靠性提高.【分析】（1）结合独立重复试验概率计算公式，求得的表达式.（2）通过对“前个元件中正常工作的元件数量”进行分类讨论，求得增加个元件后系统的可靠性，利用差比较法对系统可靠性的变化进行探讨.【详解】（1）个元件中，恰好有个正常工作的概率为，恰好有个元件正常工作的概率为，恰好有个元件正常工作的概率为，故，（2）若增加2个元件，此时共有个元件.为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.分三种情况讨论：①前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为；②前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为；③前个元件中至少有个元件正常工作的概率为，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作.所以当有个元件时，系统正常工作的概率为.所以.故当时，，系统可靠性不变；当，，系统可靠性降低；当，，系统可靠性提高.10．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.40000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件A，B，C发生的概率分别为，，，则，，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii）由题意，知随机变量，（）.因为最大，所以，解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.①当接种人数为99时，；②当接种人数为100时，.11．（2021·辽宁·高三月考）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括:①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除;③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:旧个税税率表(个税起征点元)新个税税率表(个税起征点元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点税率/%每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除税率/%1不超过元不超过元2部分超过元至元部分部分超过元至元部分3超过元至元的部分超过元至元的部分4超过元至元的部分超过元至元的部分5超过元至元部分超过元至元部分············随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视?【答案】（1）分布列见解析，3150；（2）12个月.【分析】（1）先求出的可能值为，再求其对应的概率即得解；（2）先求出该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元，再解不等式即得解.【详解】解:既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，月缴个税元;只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，月缴个税元;只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为元，月缴个税元;既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额元，月缴个税元.所以的可能值为，依题意，上述四类人群的人数之比是，所以，，，所以的分布列为所以在旧政策下该收入层级的互联网从业者2022年每月应纳税所得额为元，其月缴个税为元，由知在新政策下该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，所以该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元.设经过个月，该收入层级的互联网从业者少缴的个税的总和就超过则因为所以所以经过个月﹐该收入层级的互联网从业者就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视.12．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．附：若，则，，．【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.【分析】（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．【详解】（Ⅰ）由，易知，则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，∴的分布列为∴．（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，∴．【点睛】方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.13．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）分甲乙交换的均是红球，甲乙交换的均是白球，两种情况讨论即可得解；（2）写出随机变量X的所有可能取值，先分别求出一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球，乙袋中有1个白球3个红球，乙袋中有3个白球1个红球的概率，从而可求得对于随机变量的概率，写出分布列，根据期望公式即可求出数学期望.【详解】解：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，甲乙交换的均是白球，则概率为，所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，乙袋中有1个白球3个红球的概率为，乙袋中有3个白球1个红球的概率为，则，，，，，所以随机变量X的分布列为X01234P所以数学期望.14．（2021·福建·模拟预测）班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．（1）求班级里朋友圈个数的最大值．（2）求班级里朋友圈个数的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用组合数可求；（2）利用容斥原理可求.【详解】（1）当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班级里朋友圈个数的最大，此时.（2）当时，，当时，，，中的每个人都至少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故，当时，记为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，因为余下人数为，由容斥原理可得，所以，即，故此时，考虑一种特殊情况：，此时朋友圈个数为，故.若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，因为余下人数为，由容斥原理可得，所以，即，故此时，考虑一种特殊情况：，此时朋友圈个数为，故.综上，.15．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．【分析】（1）设赌博再继续进行X局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲赢的概率，由此能求出甲应分得的赌注．（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当时，乙以贏，，当时，乙以贏，，求出甲赢得全部赌注的概率对其求导，利用导数分析单调性，求出该函数的最小值，从而判断出“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是小概率事件.【详解】（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以；当时，甲以赢，所以．所以，甲赢的概率为．所以，甲应分得的赌注为元（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，当时，乙以贏，；当时，乙以贏，；所以，乙赢得全部赌注的概率为于是甲赢得全部赌注的概率求导，．因为所以所以在上单调递增，于是．故乙赢的概率最大为故是小概率事件．16．（2021·湖南师大附中高三月考）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．【答案】（1）；（2）；证明见解析．【分析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；（2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明.【详解】解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，所以，所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．（2）由已知得，的所有可能取值为1，．所以，，所以，若，则，所以，，所以，即，所以p关于k的函数关系式为（且）证明：令（且）所以，令，，所以得，所以，，单调递减，，，单调递增所以，所以，因为且，所以，即，所以，即，所以．【点睛】本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式.17．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．[Failedtodownloadimage:/dksih/QBM/2021/7/10/2761416923308032/2776847444451328/STEM/98da53a0dc174d8faf0b102e862ddbb3.png]（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：；若，则，，．【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．【分析】(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知：，故估计位农民的年平均收入为千元．（2）由题意知，①因为，时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；②由，每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，其中，于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．从而由，得，而，所以当时，，当时，由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．18．（2021·重庆八中高三月考）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；；（2）①；②分布列见解析，.【分析】（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．【详解】（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，分别是，，，，，因为，由，，所以.每个小区间的频率值分别是由，解得.（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，.我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则.②学生A最终获得一等奖的概率是，学生B最终获得一等奖的概率是，，，.所以的分布列为：012P.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查互斥事件与独立事件的概率公式，条件概率的计算，随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键难点有两个，一是用用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，这样所求概率事件可表示若干互斥事件的和，从而求得概率；二是认识到最终获得一等奖这个事件是在第一轮获奖的条件下才能发生，因此需要用条件概率来理解计算．19．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.【答案】（1）；；（2）①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：

①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，故；若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，故；（2）①由题可知：，当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.所以，即；②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为，所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.【点睛】本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.20．（2021·全国·高三专题练习）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．参考数据与公式：．若，则，，.【答案】（1），；（2）分布列见解析，【分析】（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）由题意得：，∴，∵，，（2）由题意知，.获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，，，，，，.∴的分布列为：

20

40

50

70

100

∴.【点睛】方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.21．（2021·全国·高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）.（2）设，因为，故，若，则，故.，因为，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.【分析】（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率，并化简为关于的二次函数，利用不等式的基本性质和基本不等式求得的取值范围，进而求得的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式求得他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时，的值.【详解】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:.（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:，因为，所以，因为，，，所以，，又，所以，令，以，则，当时，，他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.此时，，.【点睛】本题考查二项分布的应用，涉及利用基本不等式求最值，属中档题，关键是熟练掌握独立事件及独立重复事件概率公式，利用基本不等式和二次函数的性质求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率的最大值，熟练掌握二项分布的期望值公式.23．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？参考数据：，，，.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，随机变量可能的取值为0，1，2.又，，，则的分布列为：012.（2）.，，每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.由，得.所以当时，，当时，由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.24．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验次．方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．（1）若，试求关于的函数关系式；（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．①求证：数列是等比数列；②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．参考数据：，．【答案】（1）；（2）①证明见详解；②.【分析】（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，即可得出结果；（2）①当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；②由①的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，，，得；的可能取值为，，由题意，，所以；又，即，则，所以，即关于的函数关系式为；（2）①证明：当时，，所以，令，则；因为，所以下面证明对任意的正整数，；（i）当时，显然成立；（ii）假设时，成立；当时，由，所以，则，即，所以，因此，解得或（负值舍去），所以；由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；②由①知，，因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，所以，则，所以，即；设，，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以；又，，所以使的最大整数的取值为，即时，的最大值为；综上，的最大值为.【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于先由题中条件，得到，猜想数列的通项公式；再由数学归纳法的一般步骤进行证明即可.25．（2021·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析，；

（2）；

（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.【分析】（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；（2）由可得结果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.，的分布列为0123故.（2）依题意，，即.（3）由（2）知，则当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列.，即.，所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.26．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，，，，．∴X的分布列为：X3456PE（X）＝＝5．（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴，∴，，•••，，各式相加，得：，∴，（i＝1，2，•••，19），∴活动参与者得到纪念品的概率为：．【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．27．（2021·重庆一中模拟预测）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．（1）用p表示；（2）当时，证明：；（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】由题设可得，（1）将代入上式即可求；（2）由题意，由易知，进而可证明结论.（3）讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，进而求，根据即可求的范围.【详解】由题意知：要使5G传输设备可以正常工作，则至少有根光导纤维能正常传输信号，∴，（1）由上知：；（2）当时，有，而，∴，故，得证；（3）由题意，，新增两根光导纤维后，两根都能正常工作、一根正常工作、两根都不能正常工作，对应该设备能正常工作的概率分别为，∴，，，∴，∴使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率，则，∴，故时新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．【点睛】关键点点睛：第三问，讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，根据题意得到即可求概率的范围.28．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？【答案】（1）；（2）15【分析】（1）根据可求得；（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.【详解】（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，故所求概率，所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；（2）由（1）得，整理得，因为且，所以，所以，当且仅当时等号成立，即，令，则，所以，则，当时，，则当时，，甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，所以由，即解得，因为为正整数，所以至少为15，所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是先求得获得一个积分的，且根据求得其最大值，再由甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数服从二项分布求解.29．（2021·全国·模拟预测）某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.（1）求乙未能参与面试的概率；（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.【分析】（1）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.【详解】（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，.则的分布列为012345故.（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，乙成为在职教师的概率.因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.【点睛】本题考查相互独立事件的概率､离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.30．（2021·山东泰安·模拟预测）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.【详解】解：（1）进入第二轮的概率为，与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，其概率为，故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．，，，．的分布列为：0123．【点睛】关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键31．（2021·山东济南·二模）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若每个元件正常工作的概率．（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；（ii）计算．（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．【答案】（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．【分析】（1）（i）由题意可知，利用二项分布求解即可；（ii）根据互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）求出设备升级后单位时间内的利润，分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可.【详解】（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，所以，，，所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为0123控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；（ii）由题意知：；（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量0设备运行概率所以升级改造后单位时间内产量的期望为；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为，即；因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为；所以，即，所以当时，，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当时，，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键，属于较难题.32．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.参考数据：，，，，.【答案】（1）答案见解析；（2）且k∈N*．【分析】（1）依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，由此求得随机变量的分布列；（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，求得其期望，由已知得lnk＞k．设，运用导函数，研究函数的单调性和特殊点的函数值的符号可求得范围.【详解】（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，从而，i＝0，1，2，3．随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的均值为．（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，且，，∴，又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．设，则，所以时，，时，，所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，故k的取值范围为且k∈N*．【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量分布列的步骤是：1.首先确定随机变量的所有可能取值；2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；3.进行列表，画出分布列的表格；4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．33．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地､藏粮于技战略.要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设.要尊重科学､严格监管，有序推进生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子颗进行种植，若种子的出芽数超过半数，则可认为种植成功().（1）当，时，求种植成功的概率及的数学期望；（2）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？【答案】（1）概率为，；（2）答案见解析.【分析】（1）利用服从二项分布，即求出种植成功的概率和数学期望；（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，然后分三种情况分别求解种植成功的概率，利用作差法比较即可.【详解】（1）由题意可知，服从二项分布，故，故种植成功的概率为，；（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，当种植颗种子时，考虑前颗种子出芽数，为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，①前颗种子中恰有颗出芽，它的概率为，此时后两颗种子必须都要出芽，所以这种情况下种植成功的概率为；②前颗种子恰有颗出芽，它的概率为，此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，所以这种情况下种植成功的概率为；③前颗种子至少有颗出芽，它的概率为，此时种植一定成功.所以，故，