2021届高考数学三轮复习：仿真模拟卷8

数学仿真模拟卷(八)

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若集合A={x[—l<x<2},B={x|l<x<3},则AfW=()

A.(-1,2)B.[1,2)C.[1,3]D.(-1,3]

B[由题意，集合A={x[—l<r<2},8={x|l-3},根据集合的交集的概念

及运算,可得"18={却玄<2}=[1,2).

故选B.]

2.设复数z满足(l+i)z=2i,则|z|=()

A.|B.芈C.啦D.2

C[由题意，z=[>.=/[')•、=I+i，所以|z|=-\/^.故选C.]

1+1i)

3.2019年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，

为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的4名

专家对石柱县的A、B、C、D,4乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，

则甲安排在A乡镇，乙不在3乡镇的概率为()

A-8B-12C-4D-6

D[由已知得，包括甲、乙两名专家在内的四名专家对四个乡镇进行调研，

要求每个乡镇安排一名专家，共有24种情况，

如果甲安排在A乡镇，乙不在8乡镇，共有4种情况，

41

所以甲安排在A乡镇，乙不在B乡镇的概率为。=二=不故选D.]

4.已知向量a=(l，2),b=(2,A—2),且a_L),则2等于()

A.4B.3C.2D.1

D[因为。=(1,2),6=(2,2-2),且

所以a仍=2+2(2—2)=0,

则41.故选D.]

_1

已知a=log//?=logf|,c=33,则a,。，c的大小关系是（

5.)

A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

1171

D[a=log^>log_i^=1,Z?=log12<logil=0,

c=3—1<3°=1,则0<c<l,所以*c<a.

故选D.]

6.函数八》）=普2的大致图象为（

B

CD

C[Ehe'-e'VO,解得中0,所以函数/(x)的定义域为(-8,0)U(0,+oo),

故排除B项.

f、/,”、cos[n(-x)]COS(TLT)

因为/(一x)_e-.v_e-(-.v)=-(ex-e-x)所以函数/（x）为奇函数,

又川）=/=皆&＜。，故排除A项.

设ga）=e“一片”，显然该函数单调递增，故当心＞o时，ga）＞g（o）=o,

则当x£（0,；）时，y=cos（M＞0,故/（冗）＞0,当当时，y=cos（7Lr）＜0,

故/（x）＜0,所以排除D项.故选C.]

7.设抛物线产=2%的焦点为产，过点M（小,0）的直线与抛物线相交于A,

B两点，与抛物线的准线相交于点C,由同=2,则△5CF与△ACF的面积之

比卡等于（）

、自ACF

4241

A.§B.§C.'D.2

A[如图过A、8作准线/：》=一3的垂线，垂足分别为4,Bi,

.,SABCF\BC\

,SAACF|AC|'

.|ggi/?z?ii

••“nw

由抛物线定义般=周二焉.

由|明=|B5i|=2知XB=2>用=一小,

/.AB：0='qX(x-小).

小-2

2

把x=]代入上式，求得珈=2,X4=2,|>4F|=|A4i|=|.

,,5AfiCf=|BF|=2=4

AS^CF~\AF\~5~5-

2

故选A.]

(\—X>

8.已知函数/(x)={]+尤’应0,函数g(x)=/(l—x)一日+&—g恰

2

lx+2x+1,x<0

有三个不同的零点，则Z的取值范围是（）

A.（-2-隹0]uj||B.（-2+72,0]u1|J

C.（一2一啦,0]U*D.（-2+^2,0]U^|

D「.工㈤亍。一x）一丘十女一3恰有3个不同零点，，方程"1—x）=Z（x—

l)+g恰有3个不同实根，令1一％=3则方程/«)=一灯十3恰有三个不同实根,

即函数y=/(x)与y=一丘+g的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如图：

当一人=0即k=0时有三个交点，当y=一依+］与/(九)=f+2x+l(x<0)相切

11——Y1

时可求得&=—2+也，当y=—依+］与/(x)=Rp后0相切时可求得

故由图可得一2+啦〈后0或&=g时函数y=/(%)与的图象恰有3个不

同交点，即函数g(x)=/(l—x)—丘+攵一g恰有3个不同零点，故选D.］

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3

分)

9.居民消费价格指数(ConsumerPriceIndex,简称CPI),是度量居民生活消

费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和

服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3

月至2020年3月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图:

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2,

2019年4月5月6月7月8J]9J]10月11月12月2020年2月3月

3月1月

(注：同比=/犒1,同比涨跌幅=本月C黑源T%。。%,环

本月CPI环比涨跌幅=加皆高产XI。。％)，

比一上月CPI'则下列说法正确的是

A.2019年12月与2018年12月CPI相等

B.2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%

C.2019年7月至2019年11月CPI持续增长

D.2020年1月至2020年3月CPI持续下降

BC[由图可知，2019年12月比2018年12月CPI上涨4.5%,故A不正

确；

2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%,故B正确；

2019年7月至2019年11月的环比均为正数，所以CPI持续增长，故C正

确；

2020年1月至2020年3月的环比有正有负，所以CPI有升有降，故D不正

确.

故选BC.]

10.下列说法中正确的有（）

A.正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零

B.若三角形的两内角a,4满足sinavos尸<0,则此三角形必为钝角三角形

C.对任意的角a,都有|sina+cosa|=|sina|+|cosa|

D.对任意角丹，攵ez）,都有tana+_7-=|tana|+工上

BD[对于A,正角和负角的正弦值都可正、可负，故A错误；

对于B,Vsina-cos^<0,a,4e（0，无），sina>0>cos/kO,即尸6俘兀）,

三角形必为钝角三角形，故B正确；

对于C,当sina,cosa异号时，等式不成立，故C错误；

对于D,tana,的符号相同，,tana+^^=|tana|+~^―,故

ldllCZldllU.ldll（A,

D正确.

因此正确的有B,D.

故选BD.]

11.设正项等差数列｛。“｝满足（0+00）2=20209+20,则（）

A.a2ag的最大值为10

B.412+（29的最大值为2\[W

c.5+*的最大值为!

aiagJ

D.晶+/的最小值为200

ABD［因为正项等差数列｛%｝满足(ai+aio)2=2a2a9+20,

所以(02+09)2=2a2a9+20,

即ai+a^=20.

①a2a9』笥的=苧=10，当且仅当。2=的=，而时成立，故A选项正确.

2

②由于”")二竺答=10,所以竺爱自何，z+aW2®,当且仅当“2

=。9=\/正时成立，故B选项正确.

,1晶+届2020201—

及+益=赤"=须新产子=不=亍当且仅当。2=诙=①时成”，

所以3+W的最小值为与故C选项错误.

Cl2Cl9J

④结合①的结论，有。3+/=(。3+而)2—2a%a3=400—2次°於400—2xl()2=

200,

当且仅当"2=49=41^时成立，故D选项正确.

故选ABD.］

12.若存在〃?，使得/。心机对任意xGO恒成立，则函数/(x)在。上有下

界，其中〃2为函数/㈤的一个下界；若存在M，使得/(x)WM对任意xeo恒成

立，则函数/(x)在。上有上界，其中M为函数/(x)的一个上界.如果一个函数

既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是()

A.1不是函数/(x)=x+%x>0)的一个下界

B.函数/(x)=xlnx有下界，无上界

C.函数/(*)=亳有上界，无下界

D.函数/(》)=岑有界

BD［对于A,当x>0时，尤+：22(当且仅当x=\时取等号)，。)>1恒

成立，是7Q)的一个下界，A错误；

对于B,f(x)=lnx+l(x>0),

/.xe(O,晨1)时，1(x)<0；xG(e-1,+s)时，f'(x)>0,

.•./(x)在(0,e7)上单调递减，在(e2+s)上单调递增，

(e।)=—3.♦./(x)有下界，

又x—+oo时，/(x)—+oo,(x)无上界，

综上所述：/(x)=xlnx有下界，无上界，B正确；

对于C,•••x2>0,e'〉0,...§>(),.寸⑺有下界，C错误；

对于D,・smxe[—1,1]，••4齐7斗不p

—11cinV

又不F—1,百yw,•••一新w,.•./a)既有上界又有下界，

即/(X)有界，D正确.

故选BD.]

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知函数/(x)=；o?+g(a—2*—2x+l(。和)，若/(x)在x=3处取得

极小值，则实数”的值为.

2

|[由题意知，f\x)=ax2+(a-2)x-2,则/'(3)=9。+3(。-2)—2=0,解

得a=1.

222

经检验，当时，函数/(工尸产3—^2—2x+l在x=3处取得极小值.]

14.为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进

行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛1场，目前(一)班已赛了4场，(二)班

已赛了3场，(三)班已赛了2场，(四)班已赛了1场.则目前(五)班已经参加比赛

的场次为.

2[画图所示，可知目前(五)班已经赛了2场.

15.椭圆与双曲线有相同的焦点FK-c,0),巳(c,0),椭圆的一个短轴端

点为8,直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为

e\,ez，则3e?+曷的最小值为.

2s[由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，设椭圆的长轴为2a,短轴为

2b,双曲线的实轴为2优，虚轴为2"，•.•椭圆的一个短轴端点为8,直线与

b'hb'b'2b1

双曲线的一条渐近线平行，...女尸出=5,即£=?，平方可得崇=§，由此得到

C2—优2〃2一/3__^_.(cX_(a\_c_c_._・・

-族-=-33-,即涓=*'j'由约=7。2=},・・ei・e2=l'•e\,

____L、八

e2都是正数，.•.3e，+e任2小碎急=2小，当且仅当3e?=及，即e2=小e”er=J

小时，等号成立，.•.3舒+a的最小值为2小，故答案为2小.]

16.如图，在四棱锥C-A8DE中，四边形ABDE为矩形，EA=CA=CB=2,

AC±CB,F,G分别为AB,AE的中点，平面A8DE,平面ABC,则四面体CFDG

的体积为,若四面体CFDG的各个顶点均在球。的表面上，则球。的

体积为.(本题第一空2分，第二空3分)

1驾五兀［因为F为AB的中点，CA=CB,所以CF_LAB.因为平面

ABDEL^-^ABC,

所以C/J_平面A8OE,则CF1FG.

易知在矩形ABOE中，FG2=AF2+AG2=3,FD2=FB2+BD2=6,DG2=GE2

+ED2=9,

所以DG2=G产+F。2,则GF1FD,

所以四面体CFDG的体积V=|CF-5AGFD=|CF^GF-FD=|X72X^X^3XV6=

因为点F,C,D,G均在球。上，

所以以尸为顶点，FC,FD,尸G为相邻棱的长方体的所有顶点均在球。上,

则球0的直径2R=y]FC?+FD2+FG?=5,即火=手，

则球。的体积V=*tR3=*vp^)3=*gL：.]

J32。

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤)

17.(本小题满分10分)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的

边，且满足"\/§acosC=(2Z?一4c)cosA.

(1)求A的大小；

(2)现给出三个条件：①。=2；②8=45。；③c=Y§尻

试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求

△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

[解]⑴由正弦定理可得小sinAcosC=2sinBcosA一小sinCeosA,

即小sin(A+C)=2sin3cosA,小sinB=2sinBcosA,

,x/371

VsinB#：0,cosA=29又A£(0，兀)，**.A=^.

(2)方案一：选择①②

由正弦定理嘉=磊，得匕=喘中=2也・

"."A+B+C—71,

^72+^6

•.sinC=sin(A+B)=sinAcos5+cosAsinB=2L~4丫，

・\S=16z/?sinC_2^x2x2,^21.

方案二：选择①③

由余弦定理〃+才一26ejsA=42,又。=2,c=y[3b,由⑴得A=季，

所以勿+3〃­3/=4,解得b=2,c=2小，

.,.S=gbcsinA=gx2x2小乂；=小.

说明：若选择②③，由。=小万得，sinC=/sin8=乎>1不成立，这样的

三角形不存在.

18.(本小题满分12分)已知数列｛斯｝的首项ai=l,且an=an+\-an-

i(〃WN*,n>2),其前〃项和当中，S3,S4,S2成等差数列.

(1)求数列｛&”｝的通项公式；

⑵设/?„=21ogiN+1,数列｛仇｝的前n项和为T„,求满足(1一省)

11一丹.(1一卦罪的最大正整数〃的值.

［解］(1)因为居=a〃+is-i(〃eN*,n>2),

所以｛如｝成等比数列，设公比为名

若<7=1,则S3=3,S4=4,S2=2,显然5，S4,S2不构成等差数歹iJ,

所以qWl,故由S3,S4,8成等差数列得

0(Lq4)0(1-力।©(I—/)

2,\1~~q-1T—q十1Lq，

所以2q4=/+q2=2q2一1=0=(2q+l)(q—1)=0.

因为分1，所以4=一/

所以3〃("厂忆£所以

22-132-142—1n2—1

22-32,42

Ix3x2x4x3x5x...x(«—i)x(n+1)〃+1

=22X32X42X...X^=丁

所以空M舞.所以〃<144.

故正整数n的最大值为143.

19.(本小题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ZADC=

ZDCB=9Q°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC底面ABC。，E为AB的中点.

(1)求异面直线PA与8C所成角的余弦值；

(2)设F是棱PA上的一点，当CfU平面PDE时，求直线DF与平面PDE

所成角的正弦值.

［解］(1)以点C为坐标原点，以直线CD,CB,CP为x,y,z轴建立空间

直角坐标系C-xyz.

则C(0,0,0),A(2,1,0),8(0,3,0),P(0,0,2),D(2,0,0),

E(J，2,0).

PA=(2,1,-2),CB=(Q,3,0).

则cos(,PA,BC)

.•.异面直线PA与BC所成角的余弦值为

(2)当CTJ_平面POE时，i^AF=XAP.,：DE=(-1,2,0),CA=(2,1,0),

：.CADE=0,：.DE±AC,，。后，面ACP要使CF,平面POE,只需不_L访即

可.

VCF=CA+AF=(.2,1,0)+2(-2,-1,2)=(2—2九1-2,2/1),PD=(2,

0,-2),

.•.才•访=2(2—2Q—2x22=0=H=W.即尸为4尸的中点,即小，；，11

：.DF=(~\,1),平面PDE的法向量为铮=(1,1),则cos(CF,DF)

1

-

41

-

33夕

-X-

22

...直线。尸与平面POE所成角的正弦值为今

20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：、+$=

1（。>/»0）的离心率为半，且过点心，孝

（1）求椭圆。的方程；

⑵设点P（4,2）,点M在x轴上，过点M的直线交椭圆C交于A,B两点.

①若直线AB的斜率为一/且A8=微,求点M的坐标；

②设直线PA,PB,PM的斜率分别为k\,k2,k3,是否存在定点M,使得

防+依=2饱恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

［解］⑴，.•椭圆c：提+*=1（»>0）的离心率为当且过点（啦，乎）.

rcy[3

a2

•<?1

"U+方=1,后=I,〃2=4,

<a2=b2+c1

椭圆。的方程为。+V=1.

（2）设A（xi,yi）,Bg>2）,

①设直线AB的方程为x=-2y+m.

{x=-2y+mx2+4y2=4=>Sy2—4/My+m2—4=0.

A=16评—32（/w2—4）>0=>/«2<8.

m机2-4

y\+yi=^yi-y2=—^~.

AB=yll+4-\l（y\+y2）2—4y\y2=^^^mXA/5=|,解得〃z=±V§.

.\M（±V3,0）.

②当直线AB的斜率为0时，4（-2,0）,8（2,0）,0）.

222

由Zi+女2=2次可得力―z=2x--解得，=1,即M（l,0）.

4十24一24~t

当直线A3的斜率不为0时，设直线A3的方程为工=机厂H.

'=my+'

由=（机2+4）产+2机/>+»—4=0.

A乂"+4广=4

-2mt尸一4

"+”=而，»”=亦.

由心+依=2依可得黑+矢=含、2,

2”》1丫2+0~~4~-2=）®+”）-4，+164

62yly2+（mL4M（yi+>2）+/2—8f+164—f

产—4—

2,"•赤+（'一4-2机）•赤一4/+16

即一------------二-----------

汴加一4W）.^^+尸一8f+16

4

化简得加（5L4―产）+〃於（2—2f）=0,

...当f=l时，上式恒成立，

存在定点M。，0）,使得肌+依=2治恒成立.

21.（本小题满分12分）某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水

果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差.某

超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8

元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只

能卖到5元.根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系.如果

气温不低于30度,需求量为5000公斤；如果气温位于［25,30）,需求量为3500

公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计

划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表：

气温

[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

范围

天数414362115

以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.

（1）求今年9月份这种水果一天需求量X（单位：公斤）的分布列和数学期望;

（2）设9月份一天销售特产水果的利润为丫（单位：元），当9月份这种水果一

天的进货量〃（单位：公斤）为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？

［解1（1）今年9月份这种水果一天的需求量X的可能取值为2000、3500、

5000公斤，

4+1436

P（X=2000）=-^-=0.2,P（X=3500）=常=0.4,

P（X=5000）=2415=04

于是X的分布列为：

X200035005000

P0.20.40.4

X的数学期望为：E(X)=2000x0.2+3500x0.4+5000x0.4=3800.

(2)由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤,

因此只需要考虑20009S5000,

当3500<n<5000时，

若气温不低于30度，则丫=4〃；

若气温位于［25,30),则y=3500x4—(〃-3500)x3=24500—3〃；

若气温彳氐于25度，贝I丫=2000x4一("-2000)x3=14000-3"；

2?z1、1

止匕时£(1")=^x4/7+^x(24500—3»)+-(14000—3»)=12600—^«<11900.

当2000S〃<3500时，

若气温不低于25度，则Y=4n；

若气温低于25度，则丫=2000x4—(〃一2000)x3=14000-3〃；

4113

止匕时E(y)=§x4〃+g(140