2021届高考数学考前热身仿真模拟卷4（含答案解析）

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（新高考）（五）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

2则的元素个数为(

1.集合A={(x,y)|y=e/?}B={(x,y)|x+/=2},Ac8)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.复数。=匕卫的虚部是（）

1+z

A.1B.iC.—1D.2

3.在12x+-］的展开式中，含/项的系数为（

)

A.160B.192C.184D.186

,12019,,120202021

4.已知a=In----+----,b=In一+---c=ln+，则a,〃，c的大小关系是（)

202020202021202120222022

A.a>b>cB.a>c>hC.c>h>aD.c>a>h

UULUUUUluuuUUUUUU1UUU1uuuuuu

5.已知向量OM,ON,OP的模长均为2,且满足2OM+2QN+30P=0,则PATPN的值为()

19-2321

AA.—B.—C.—D.5

222

6.已知直线ar+by+c=0过点A/(cosa,sina),则()

A.a2+b2<1B.a2+h2>IC.a2+b2<c2D,a2+b2>c2

7.若x,yeR,x>0,求（x-yj+（41nx-%2-2丁一1『的最小值为（）

A.75B.叵C.3D.迪

555

8.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速

滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率

为（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分。有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列说法正确的是()

A.若3〃=4"=12,则。+6>4

B.“。=1”是“直线ax+y—l=O与直线公+(a—2)y+5=0垂直”的充分条件

C.已知回归直线方程y=2x+4,且亍=5,歹=20,则4=15

71

D.函数/(x)=|cos4.的图象向左平移一个单位，所得函数图象关于原点对称

8

10.已知函数〃x)=sinMsinx-cosx),下列叙述不正确的是()

37r7T

A./(x)的最小正周期是2兀B.“X)在-二苫上单调递增

_88_

C.“X)图象关于直线x=:对称D.“X)的图象关于点对称

11.已知抛物线M：丁=4*,圆N：(x-l)2+y2=r2(r>0),过点(1,0)的直线/与圆N交于C,D

两点，交抛物线M于A,8两点，则满足|AC|=|即的直线/有三条的r的值有()

A.1B.2C.3D.4

12.如图，直角梯形ABC。，ABHCD,ABA.BC,BC=CD=-AB=4,E为AB中点，以£>£为折

2

痕把△AOE折起，使点A到达点P的位置，则()

A.平面

B.若时，棱锥P-BCO的外接球体积为326兀

C.PC的最大值为46

D.二面角C—PE—3的最小值为四

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列{4},，〃eN+，满足Wq=a：75,则〃？的值为

14.目前，全国已经有八省市确定实行选考模式，除语文、数学、英语必考外，还需要从物理、化学、生物、

政治、历史、地理这六科中再选三科，某校甲、乙、丙、丁四位同学分别从化学、生物、历史、地理四门课

程中各选一门课程，且所选课程互不相同，下面是关于他们选课的些信息：

①甲和丙均不选地理，也不选生物：

②乙不选生物，也不选历史：

③如果甲不选历史，那么丁就不选生物，

若以上信息都是正确的，则依据以上信息可推断丙同学所选的课程是.

15.已知在△ABC中，AB=4,BC=S,8。是AC边上的中线，且NCBO=30°,则8。的长为.

16.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.在鳖膈A-BCD中，AB1.

平面BCD,BDLCD,A3=BD=CE>=2,点尸在棱AC上运动.则△PBD面积的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）｛4｝为正项等差数列，S3=21,4a2%=280.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝满足：心24=气匚,求｛风。｝的前〃项和.

18.（12分）锐角ZSABC内角A,B,C的对边分别为。，b,c.己知2Z?-a=2c-cosA.

（1）求角C；

（2）若a+h=4,求边c的取值范围.

19.（12分）在平面图形S4BC。中，四边形A8C。是边长为2的正方形，SA=SD,将△SAD沿直线

折起，使得平面5A。垂直于平面ABC。，G是△SAD的重心，。是。C的中点，直线G。与平面

ABCO所成角的正切值为理.

6

（1）求棱锥S-ABC。的体积；

（2）求平面&LB与平面SCO所成的角.

D

D

20.(12分)△ABC中，已知3(—拒,0),C(0,O),AOLBC交BC于点。，“为AO中点，满足

B/7J.AC,点〃的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程：

(2)过点作直线/交曲线。于P,Q两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点，

21.(12分)

某零件加工工厂生产某种型号的零件，每盒10个，每批生产若干盒，每个零件的成本为1元，每盒零件需

要检验合格后方可出厂.检验方案是从每盒零件中随机取出2个零件检验，若发现次品，就要把该盒10个

零件全部检验，然后用合格品替换掉次品，方可出厂；若无次品，则认定该盒零件合格，不再检验，可出厂.

(1)若某盒零件有8个合格品，2个次品，求该盒零件一次检验即可出厂的概率；

(2)若每个零件售价10元，每个零件检验费用是1元.次品到达组装工厂被发现后，每个零件须由加工工

厂退赔10元，并补偿1个经检验合格的零件给组装工厂.设每个零件是次品的概率是〃(0<〃<1),且相

互独立.

①若某盒10个零件中恰有3个次品的概率是/(〃),求/(〃)的最大值点Po;

②若以①中的P。作为p的值，由于质检员的失误，有一盒零件未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂,

求这盒零件最终利润X(单位：元)的期望.

22.(12分)函数/(x)=sinx-or+l,

(1)求”X)的单调区间；

(2)若/(x"cosx在XG[0,可上恒成立，求实数a的取值范围；

(3)令函数g(x)=/(x)+<zr-1,

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（新高考）（五）

一、单选题

1-8BABACDCB

二、多选题

9.AB10.ABC11.BCD12.BD

三、填空题

13.202114.化学15.16.A/2

1.答案B：直线y=Ax+l恒过定点“（0,1）,点M（0,l）在圆/+丁=2内，所以直线丁=丘+1与圆

f+y2=2有两个交点.集合AcB有两个元素.

2.答案：A

l+3i_(l+3i)(l-i)_l-i+3i-3『_4+2i_.

1+z-(l+z)(l-z)-2-2-1'虚部是1.

3.答案：B

=禺26-产2"厂=0,1,2,3,4,5,6

\x)

当厂=1时，7；=C：25/=192/.

4.答案：A

11—Y

构造函数/(x)=lnx+l—x,/'(x)=--1=——，当0<x<l时，/'(x)>0，/(x)单增，所以

XX

1I1

,a>h>c.

202020212022

5.答案：C

,uuiruum、UUDUUUT2uum2uuiruunuuiruuin

,/2\OM+ON\=-3OP,：.4OM+ON+2OM-ON=9x4,OMON=-

2

uuuruuinuuirUlin、/uuuruunuuuruuinumuuur

PM•PN=OM-OP\-\ON-OP\OM-ON-OP[OM++

1uun/3uunAi321

=——OP-\——OP+4=-+-x4+4=—.

2I2J222

6.答案：D

点"是单位圆f+y2=l的点，所以直线OX+分=1和圆％2+y2=i有公共点.口|⑸,即得到

a2+b2>c2.

7.答案：C

问题可以转化为：4(乂4111》一》2)是函数丫=4111》一炉图象上的点，B(y,2y+1)是函数y=2x+l上的

点，|4肝=(%一»+(411一/一2丫一1)2.当直线y=2x+l的平行直线与/(x)的图象相切时，切点到

直线y=2x+l的距离为恒邳的最小值.

f'(x}=i-2x=4-2/=2(&+x)(—r)

XXX

可得到/(x)在仅,单增，("+00)单减，4)ax(x)=/(5^)=21n2-2<0,从而可以得到/(x)的

图象.设斜率为2的直线与“X)的图象相切，切点为〃«,/(/)),由/'⑺=2,得到t=l,/。)=一1，

M(l,-1)到直线y=2x+l的距离即为的最小值.

巴=白，\ABf.16

IIminT

8.答案：B

C2C2

所有的安排方法C；A；+C；f2A；=10x6+5x3x6=150,若只有1人去冰球项目做志愿者，有

4

C\[c\&=4x(4+3)x2=56；若恰有2人去冰球项目做志愿者，有C：C；A；=6x3x2=36；

若有3人去冰球项目做志愿者，有C；用=4x2=8,所以共有56+36+8=100种安排法，所以学生甲不

会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为图=2.

1503

9.答案：AB

A.a-log12,—=log3,-=log4,—+—=1,Q>0,Z?>0,a丰b,

3a12b1-2ab

八baA

(a+〃)=2H----1—>4

ah

B.两直线垂直，可得。2+(。-2)=0,解得a=l或。=一2；

C.回归直线一定过样本中心点，y-2x4-a,a=20—2x5=10；

D.f(x)=|cos4x|y=cos4x+—=cos4x+—=|sin4x|,偶函数.

10、答案：ABC

.1-cos2xsin2x15/2sinf2x+-l

/(x)=sinx(sinx-cosx)=sin2x-sinxcosx=--------

2222I4j

T=生=兀,

所以A不对;

2

3兀兀c兀71兀

令XG/=2x+—€sinf单调递增,“X)单减.B不对;

T'842,2

x=；时，/(x)不是最大值或最小值，所以C不对;

函数》=_*sin(2x+：］关于点(―50)对称，/(x)的图象关于点(一11)对称，D正确.

11.答案BCD

当直线/斜率不存在时，直线方程为：x=l与抛物线交于点(1,±2),与圆交于点(1,土r),显然满足条件；

当直线斜率存在时，设直线方程为％=利+1(加工0),

由《2得y-4m>，一4=0,设A(5，x),台优,%)，y<%，有韦达定理可得X+K=4m，

y=4x

=T,(乂一%『=(乂+%丫一町%T6(>+1)

x=fny+iI~^2-

(x-l)2/=r2,y=±dl

1+

24r2

设。(七,%),O(x4,y4),%<))4,(％一

"t+1

有gq=|叫，帆-乂|=|%-必1，

当为—>1=—(%—%)时，即>3+>4=X+>2=°，又因为乂+必=4相，所以加=°(舍)

当为一乂=”一%时，即当一%=%—%，

因为（乂一%）一=（乂+%）一一4yly2=16（/犷+1），（％一%）=^~7

'/m+1

由此,呻〃刊=葛,解得r=2（m2+1〉

显然，当r>2,机有两解，对应直线有两条.厂=2,加=0,此时直线斜率不存在，即为第一种情况，所

以当r22时，对应直线/有三条.

12.答案：BD

EBLED,£»与「七不一定垂直，所以A不对；

若则可证明PEL平面。E8C,DEBC为正方形,棱锥尸-3CD可以补成边长为4的正方体，

外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R=4g,R=2y/3,V=1K（2V3）3=32^71,B正确;

若PE上EB,则可证明PEJ_平面。EBC,此时PC=4豆，若NPEC为钝角，由余弦定理可得

PC>4石，C不正确；

由。石_LPE,DEA.EB,PEcEB=E,所以DEL平面PEB,从而C5_L平面PEB,CBLPE作

SQLPE,交PE于点。，可证P£J_平面CQ6,则CQ_LPE,所以二面角C—PE—8的平面角是

CB4

ZCQB,tanZCQB=——=——，满足BQ_LPE的3Q的最大长度为4,所以tanZCQB的最小值为1,

即二面角C一PE-B的最小值为-.

4

13.答案:2021

设首项q,公比是q,则a“=qq"T,

所以9/1=（4/4丫，qi+m=q23,加=2021.

14.答案：化学

由信息①可知甲丙选的是化学和历史；由信息②可知，乙选择化学或地理.

当甲选化学，丙选历史时，乙选地理，丁选生物，此时与③矛盾；

当甲选历史，丙选化学时，乙选地理，丁选生物，符合.

15.答案：26

延长BO至E,使得BD=ED,得到平行四边形ABCE.在三角形BCE中，BC=8,EC=4,

NCBD=30°,由正弦定理可得NB£C=90°.

BE=2BD=46,BD=26

16.答案：72

答案：如图，作PQ_L8C于点。，作Q例，6。，交于点连接.得到PQ〃A8,QM//CD,

PQJ•平面88,PQLBD,QMA.BD,所以PM_L3£>.

设CQ=x,CB=26,由丝=空=丝=：,得到「。=喂,04x42企，

ABCB22,2yJ2

.r»/^r\u-,BQQM2^2-xQM/日云।八a/2,x/2-x

在△3C£>中，=厂一^—，得到，QM=l,

BCCD2722母

PM=^PQ2+QM2=g1）=6_2岳+4=小—可+2>72,

当且仅当]=应时，等号成立.

SAPBD=；BDPM』X2X6=母.

17.答案：（1）:邑=4+%+%=21,，。2=7

设数列｛为｝的公差是d,可得7（7—d）（7+d）=280,d>0,d=3

/.an=4+3（〃一2）=3〃+1.

/、ii〃”+23〃+l+2〃+]

（2）log2d=^—==n+l,b„=2,

设c”=《,也,设｛c.｝的前〃项和为T“，c„=（3n+l）2n+,

234,,+]

7；（=4-2+7-2+10-2+--+（3n+l）2

27；=4-23+7-24+---+（3n-2）2,,+1+（3n+l）n+2,

两式子作差，得到

-7；=16+303+24+…+2"+i）-（3〃+1）2"2

=16+3-2,,+2-24-（3n+1）2,,+2

7；,=（3«-2）2,,+2+8

18.答案：（1）因为28一a=2c-cosA,由正弦定理可得

2sinB-sinA=2sinCeosA，

2sin［兀-（A+C）］-sinA=2sinCcosA,

2sin（A+C）-sinA=2sinCcosA

展开可得：2sinAcosC+2sinCcosA-sinA=2sinCcosA

得到：2sinAcosC-sinA=（）

1兀

因为sinA/O,所以cosC=—,。是锐角，所以C=—,

23

（2）由正弦定理

abcc2上.2布.

------=-------=-------=—=------c,可得a=------c-sinA,b=------c-sinB

sinAsin8sinC6333

T

273..2逐.―,且2G

所以----c・sinA+-----c-sinB=4,得。=--------；----

33sinA+sinB

27r7TTV7T7T

因为锐角△ABC,所以0<C=——4<^,0<A<-,得到,<A<!,

32262

sinA+sin5=sinA+sin（--A=-sinA+—cosA

I322

=氐抽'+总

因为工<A<工，所以工<A+工<无，sinfA+——,1

62363（6八2

rrr|2y/3「c4⑻

所以c=-------------e2,」一.

sinA+sinB3

19.答案：延长SG与AO相交于点0,则。一定是A。的中点.易得SO_L4),GOVAD.因为平面

垂直于平面ABCO,两个平面的交线是A£>,所以得到S。，平面ABC。，G。在平面A8CO的射

影是0Q,所以直线GQ与平面ABC。所成的角是NGQO在直角三角形GQO中，OQ=(AC=J5,

tanZGQO^—=—,解得OG=@,SO=3OG=6，SA=2,

OQ63

=x

VS-ABCD=]SO-SABCD2x2=-

UUUUUIUuu

(2)法一：取BC的中点M,连接OM,以点。为原点，以。M,OD,OS的正方向为x轴，y轴,

z轴的正方向建立空间直角坐标系。-肛z,

则A（0,-l,0）,B（2,-l,0）,C（2,l,0）,£＞（0,1,0）,5仅,0,石），

AB=DC=（2,0,0）,SA=（0,-l,-V3）,SD=g「⑻,

设平面SAB与平面SCD的法向量分别是右=（x,Xz）,与=（x',y',z'）,

2x=0fx=O

则《L，4L，令Z=12=（0,_6,1）,

_y_j3z=0[y=-j3z

2x'=0xf=0

令z'=l,n=（0,5/3,lj.

y'—yj3z'—0y=生

\m-n\所以

设平面SAB与平面SCD所成的角为a,易知a是锐角，所以cosa|cos（/n,n^|==L

陶,向2

TTTT

a=—,即平面SAB与平面SCO所成的角为二.

33

(2)法二:

过点5作20〃。。，SM=DC,将原几何体补成三棱柱&LD—MBC,

SM//DC//AB,因为平面S4D垂直于平面ABC。，两个平面的交线是AD,AB±AD,所以AB平面

SAD,SM//AB,所以SM_L平面S4D.

因S4,S£>u平面S4。，所以S4_LSW,SD1SM,

IT

SAu平面SAB,SOu平面S43,所以NASD即为平面S45与平面SCO所成的角，大小为一.

3

UUU

20、答案：（1）设H（x,y）,A（x,2y）,BH=（x+&,y）,。=（尤_0,2））,

UUIIUU/L\/L\

因为5//LAC,所以8”-CA=0,即（x+虎）卜一加）+29=0,

Y2

整理得：V+2y2=2,即彳+y2=l.

△ABC中，三顶点不可能共线，所以y#0,

故曲线。的方程为]+y2=l（y#0）.

（2）若直线/斜率不存在，可得圆：x2+y2=l,

/[、2]6

若直线/斜率为0,可得圆：/+_l=U.

Iy3j9

两个圆的公共点为N（0,—1）,

若直线/斜率存在且不为0时，设其方程为丁=丘+；伏#0）,

,1

y=Ax+一

<,3,可得（2左2+1卜2+9区一3=0,

xO.3

△>0恒成立，设点P（X],y）,。（马,力），

4k

+X

玉2~6k2+3

可得韦达定理:

16

玉々=

18公+9

umiuum

NP-NQ=&y\+1＞（工2，乂+1）=中2+（凹+1）（%+1）

=（公+1）玉龙2+§左（七+%2）+瓦

一16伙2+1）（刈-4。16

-侬2+9+6炉+3+~9

-16k2-16-16jt2+3（18/+9）

=-----------------------------------------------=0

18-2+9

即NPLNQ,以PQ为直径的圆经过定点N（O,-1）.

综上所述，以PQ为直径的圆经过定点N（O,-1）.

21.答案：（1）设“该盒零件一次检验即可出厂”为事件A,

8x7

p"）=♦=2x]=28

（bC:吆一45

2x1

①某盒10个零件恰好有3个次品的概率

/（P）=CQ3（1-P）\

/'（p）=c；°p2（l-P『（3-10p）

33

当0＜p（历，r（p）＞o,当正＜，＜1，r（p）＜。

33

所以当p=6时，/（p）取到最大值，故/（〃）的最大值点为Po=J^.

3

②由题意可知〃=〃0=*，这盒零件中次品的个数为N,

则N:8（10,宗），E（N）=10x\

E(X)=10x10-10x1-3x10-3x2=54,

所以这盒零件最终利润的期望为54元.

22.答案：

(1)/(x)=sinxx+1,r(x)=cosx-；