2021届高考数学（人教A版）二轮复习 集合的概念、交并补运算 学案

知识梳理

1.元素与集合

(1)集合：称为集合。

(2)元素：称为集合中的元素。

(3)集合中元素具有三个特性：_______________________

(4)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：(用符号"c"表示)和(用

符号"走”表示).

(5)常用数集及其符号表示：

名称非负整数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号

(6)集合的表示法：

2.集合间的基本关系

(1)两个集合A、8之间的关系

<A-B]A^B^>A^BSA^B

、*

A(ZB

(2)空集(0)

规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集。

(3)子集的个数

若A是有限集合，cardA)=eN*),则①A的子集个数是______；②A的真子集个

数是_______:③A的非空子集个数是____________A的非空真子集个数是_____________.

3.集合的基本运算

(1)集合运算的含义

并集：AU3={x|xeA或xeB\,

交集：ACl3={x|xeAUxe£?);

补集:C°A={x|xeU且x任A};

(2)集合中常用的运算性质

并集的性质：

A\J0=A;A\JA=A;A\JB=B\JA-AU8=AoBqA

交集的性质：

An0=0；AAA=AMnB=BAA;AC]B=A<^A^B

补集的性质：

AU(CM=U；An(QA)=0;Q(QA)=A;

Cu(An3)=QAUG产；

G(AUB)=QAnG/8;

解题大突破

题型一、利用集合元素的三性解决元素与集合之间的关系问题

1.下列说法正确的是（）

A.世界上的所有高山可以形成一个集合

B.集合{1,2}和集合{2,1}不相等

C.一元二次方程/—2%+1=0的解构成的集合为{1,1}

D.集合A={（x,＞）|3x+）=2,无£N}是有限集

2.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={%|%=a+。,awA,b£同,贝1加

中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

3.设A=,,3,/_3a,a+[+7},B={a—4,2},已知4eA且4史B,则a的取值的集

合为________

题型二、集合与集合之间的关系

4.已知集合A={0,1},集合B={0},则以下说法正确的是（）

A.AUBB.BUAC.AeBD.BeA

¥W

5.已知集合A={x|y=x2},集合B=,以下论述正确的是（）

A.AUBB.BUAC.AeBD.SeA

二w

6.已知集合A={1,2},集合B={x|xqA},以下论述正确的是（）

A.AUBB.BUAC.AeBO.BeA

7.设集合4=卜|》2_4》+3＜（）},3=卜|2%—3＞0},贝必门3=（）

A{-35~1X_3,I}B・13,1）C.（qD.0）

8.已知均为集合U={1,357,9}的子集，且

4门8={3},(。心)口4={9},则4=()

A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}

题型五、集合的交并补运算

9.已知集合M={X[T<X<2},N={X|X2—X—6<O},则〃nN=（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}

题型六：含参数的集合交并补运算问题

10.已知集合A={xIx<a},B={xIf_3x+2<o},若AnB=B,贝（]实数a的取

值范围是（）

A.a<1B.a<1C.a>2D.a>2

11.已知全集。={xeZ|O<尤<8},集^4={xeZ|2<x<加}（2<加<8），若QA

的元素的个数为4,则m的取值范围为（）

A.（6,7]B.[6,7）C.[6,7]D.（6,7）

解析版：

知识梳理

1.元素与集合

(1)集合：具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的整体称为集合。

(2)元素：构成集合的这些对象称为集合中的元素。

(3)集合中元素具有三个特性：确定性、无序性、互异性。

(4)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：盟(用符号"e"表示)和不属于(用符

号"电'表示).

(5)常用数集及其符号表示：

名称非负整数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号NN*,N.ZQRC

(6)集合的表示法：列举法；描述法；地〃〃图法。

2.集合间的基本关系

(1)两个集合A、8之间的关系

,A-B]A^B^>A^BSA^B

、*

A<ZB

(2)空集(0)

规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集。

(3)子集的个数

若A是有限集合，ca"A)=〃(〃eN*),则①A的子集个数是_2";②A的真子

集个数是—2"-1;(3)A的非空子集个数是—2"-1;(4)A的非空真子集个

数是2"-2.

3.集合的基本运算

（1）集合运算的含义

并集：AU3={x|xeeB\,

交集：ACl3={x|xeAJlxeB）;

*卜集：CaA={x|xet/JLrA};

（2）集合中常用的运算性质

并集的性质：

A\J0=A;A\JA=A;A\JB=B\JA;AUB=A=B±A

交集的性质：

An0=0；AnA=A;AnB=8nA;AC\B=A^A^B

补集的性质：

AU（CuA）=U;An（CuA）=0;Cu（QA）=A;

Cu（An3）=QAUG用；

Cu（AU3）=QAnG产；

解题大突破

题型一、利用集合元素的三性解决元素与集合之间的关系问题

1.下列说法正确的是（）

A.世界上的所有高山可以形成一个集合

B.集合｛1,2｝和集合｛2,1｝不相等

C.一元二次方程/—2%+1=0的解构成的集合为｛1,1｝

D.集合A=｛（%,>）13x+>=2,x£N｝是有限集

解析：集合中元素必须是确定的，世界上的高山并没有具体的评定标

准，比如高于8000米的山属于高山等，故A不正确；集合中元素具

有无序性，故集合*2｝和集合｛2,1｝是相等的，B错误；集合中元素

具有互异性，即集合中元素互不相同，C错误，选项D正确。

答案：D

2.设集合A=｛1,2,3｝,B=｛4,5｝,M=｛x\x=a+b,a&A,h&B｝,贝（jAf

中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

解析：当。=1时，匕可以取值4,5,此时a+h可以取5,6；

当。=2时，力可以取值4,5,此时。+人可以取6,7;

当。=3时，%可以取值4,5,止匕时。+〃可以取7,8;

由于集合中元素具有互异性所以M中是的元素为5,6,7,8，共4个,

选B

3.设A={2,3,/—3a,a+2+71,B={a—2|,2),已知4eA且4任B,贝必的取值的集

合为__________

4GA

解析:①.•./-3。=4,即a2-3〃-4=0,解得或4。

当。=-1时，"2+7=4=/_3。，与集合元素的互异性相违背，不合题

a

，居'、O

当a=4时卜-2|=2,与集合元素的互异性相违背，不合题意。

②当。+2+7=4时，即储+3。+2=0,解得a=T或-2。

a

当”-1时，不合题意；当a=-2时.7=4,此时4eB,与题意相违背,

不合题意。

综上可得：a的取值构成的集合为0

题型二、集合与集合之间的关系

4.已知集合A={0,1},集合人{0},则以下说法正确的是（）

X.AuBB.BUAC.A&BD.BeA

解析：集合与集合之间为关系为"包含于（之）"，"真包含于（U）",

*

"不包含于（a）"；元素与集合之间的关系为"属于（c）","不

属于（仁）"。

集合B中的元素0在集合A中集合A中含有元素1不在集合B中，

故B是A的真子集，选B。

答案：B

5.已知集合4=简灯巴集合3={加=阳，以下论述正确的是（）

A.AUBB.BUAC.AeBD.BeA

解析：集合A是函数y=f的定义域构成的集合，故A=R；

集合B是函数y=V的值域构成的的集合，故台二h+⑹。

集合B中所有元素都在集合A中集合A中存在元素不在集合B中,

故3uA,答案选B

6.已知集合A={1,2},集合B={x|x=A},以下论述正确的是（）

A.AU二BB.BUwAC.AeBD.SeA

解析：集合A是由元素1,2构成的集合，是一个数集；

集合B中元素的性质是集合，它是以集合A的子集构成的集合，是

一个集合集,如果用列举法来描述集合B的话，则B={{1},{2},{1,2},0）

注意：空集（0）是任^集合的子集，是任何非空集合的真子集。

题型三、集合交并补运算与一元二次不等式的综合

7.设集合4=卜|》2—4x+3<o},B={x|2x—3>0},贝必（）

解析：集合A是一元二次不等式工2—4x+3v。的解构成的集合，

该一元二次不等式的解集为（1,3）集合B是一元一次不等式2-3>0的

解构成的集合,该一元一次不等式的解集为仁,+",

lllliiIII

-5-4-3-2-10345

由上图可知恒3=悖3）,选D

注意：一元二次不等式求解步骤为：①化为标准的一元二次不等式的

形式（例如aW+H+c>0）；②二次项系数化为正数；③求解该一元

二次不等式对应一元二次方程的根（不々）；④写出最后答案（"大

于0取两边；小于0取中间"）；

题型四、巧用Venn图求解集合交并补运算

8.已知A8均为集合。={1,3,5,7,9}的子集，且

408={3},（。*24={9},则4=（）

B.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}

解析：Venn图如下图所示：

由图示可得，AC8部分为区域1,gB表示的为区域2与区域4的整

体，因为4口3={3},（。心）0/1={9},所以区域1的元素为3,区域2的元

素为9,故A={3,9},答案选D

题型五、集合的交并补运算

9.已知集合M={X[T<X<2},N={X|X2—X—6<O},则()

A.{x|-4<x<3}B.{x[T<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x12<x<3}

解析：集合的交并补运算借助函数图像，数轴，Venn图可以最大限

度的简化我们的计算。

集合B是一元二次不等式V-x-6<0的解构成的集合，不等号左边可

以看做二次函数y=x2—X—6,故该一元二次不等式的解等价于问当x

去何值时该二次函数的函数值小于零。根据二次函数图像(如下图)：

由上图可知：当-2<x<3时，该二次函数的函数值是负数，即该一元

二次不等式的解为一2<x<3,MAN的解集求解时使用数轴绘图会更

清晰，如下图所示：

-------4---A----6----i------------4----5----6

故答案选C

题型六：含参数的集合交并补运算问题

10.已知集合A={x|…},8={x|x2—3x+2<o},若AnB=B,则实数a的取

值范围是（）

B.〃<1B.t7<1C.a>2