2021届人教a版（文科数学） 计数原理 单元测试

2021届人教A版（文科数学）计数原理单元测试

[x--V

1、在1旧的二项展开式中，X?的系数为.

2、“2012”含有数字0,1,2,且有两个数字2,则含有数字0,1,2,且有两个相同

数字的四位数的个数为（）

A.18B.24C.27D.36

3、某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）

值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不

排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有

（A）504种（B）960种（C）1008种（D）

1056种

4、仅x+«『的展开式中/的系数是（）

A.18B.14C.10D.6

5、现有6名同学收听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的

一个讲座，不同选法的种数是（）

5X6X5X4X3X2

A.56B.65C.2D.6X5X4X3X2

6、设三位数〃=1004+10人+。，若以。,。,。6{1,2,3,4}为三条边的长可以构成一个

等腰（含等边）三角形,则这样的三位数〃有（）

A.12种B.24种C.28种D.36种

7、在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖,

将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻,那么不同的排法共有（）

A.6种B.36种C.72种D.120种

8、在二项式（五一二y。的展开式中，常数项等于（）

x

A.-45B.-10C.10D.45

9、在第五届“湘台会”上，某台商计划在四个候选城镇投资3个不同的项目，且在

同一个城市投资的项目不超过2个,则该台商不同的投资方案有

A.16种B.36种C.42种D.60种

10、在（x）的二项展开式中，第三项的系数与第二项的系数的差为20,则

\_

展开式中含x的项的系数为（）

A.8B.28C.56D.70

11、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不是第一个出场，也不是最后一个

出场，不同的安排方法总数为

A.60种B.72种C.80种D.120

种

12、四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10点中取4个不共面的点，则不

同的取法种数是（）

A.141B.144C.150D.155

13、现将10个参加2009年全国高中数学竞赛的名额分配给某区四个不同学校，要

求一个学校1名，一个学校2名，一个学校3名，一个学校4名，，则不同分配方

案种数共有___________

14、已知（五-金）"的展开式中，第6项为常数项，则/的系数为

15、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序1只能在第

一或最后一步实施，程序6和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有

—种.（用数字作答）

16、在卜+£|”的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的

中间一项可用组合数表示为

17、函数/（x）=—CYw-32）满足/"（%）］=乂求常数c.

2x+32

18、已知点A（T°）、8（1，°）,动点M满足加•瘀=0,求点M到点八（°'万）的

距离的最小值.

19、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十

位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时,十位上数字选0,千位、

百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（）

A.90个B.99个C.100个D.112个

20、用0,1,2,3,4,5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？

（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？

21、求（x+L—1）展开式中的常数项。

X

22、已知:4：=40。；,设/。）=（》—』=）".

（1）求”的值；

（2）/（x）的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）;

（3）求/（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

参考答案

1、答案90

写出通项公式，令x的指数等于2即可.

详解

10-3r

10-3r

由丁-2,得「=2.X?的系数为（T）2C；=90_

故答案为90.

名师点评

本题考查了二项式定理中的特定项的系数，写对通项公式是关键，属于基础题.

2、答案B

按所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0,则

r22_

满足题意的四位数的个数为。3力2=6；第二类，所含的两个相同数字不是0,则满足题

意的四位数的个数为C2c3c3=18,由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6

+18=24；故选B.

3、答案D

D

4、答案C

5、答案A

每名同学有5种选法，根据分步乘法原理，6名同学有56种选法.

6、答案C

7、答案C

8、答案D

9、答案D

10、答案B

先由题意写出二项展开式的通项公式，得到各项系数，根据题意求出〃，进而可求出结

果.

详解

［石+$“/呼_2k

2xk

因为（/1展开式的通项公式为4+1=C%''=C*三

所以第二项与第三项的系数分别为Cn,

又第三项的系数与第二项的系数的差为20,所以=20

即二一3〃-40=0,解得”=8,

8-5A

所以2,

8-5k_

令丁则4=2,

所以展开式中含X的项的系数为九|=以=28.

故选B

名师点评

本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.

11、答案B

分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有5种排法

（2）不最后一个出场的歌手不第一个出场，有60种排法

...根据分类计数原理共有5+60=78,

二故共有78种不同排法，

故答案为选B

12、答案A

取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点

种取法）减去4点共面的取法，取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个

面上的6点取出4点共面，有4C：种取法；第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共

面，有6种取法；第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法；根据分类计数原理

4点共面取法共有4C：+6+3=69,故取4个点不共面的不同取法有

品一（4C：+6+3）=141（种）.

13、答案24

14、答案_4上5

4

15、答案96

16、答案C急

17、答案C=-3

18、答案万

试题分析：设动点M的坐标为（x,y），利用平面向量数量积的坐标运算求出点M的轨

迹方程，可知点M的轨迹为圆，再由圆的几何性质可求得|MV|的最小值.

详解：设点M的坐标为（x,y），则荻=（-1-x,—y）,=

由题意，得必.砺=（一1一力（1一力+（-＞）2=%2+丁2-1=0,即x2+y2=i,

所以，点M的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，

所以，点M到点的距离的最小值1—二=工

I2）22

名师点评

本题考查动点的轨迹方程的求解，同时也考查了圆上一点到定点距离最值的求解，考查

计算能力，属于中等题.

[9、答案C

由于半位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可,千位、百

位各有10种选择,所以有10X10种=100种.故选C.

20、答案（1）144；（2）270.

试题分析：（1）先排个位数，方法数有4种，然后排千位数，方法数有C；种，剩下百位

和十位任意排，方法数有用种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数.（2）有三类，

第一类是千位是234,5中任意一个的、第二类是千位是1,且百位是45中的一个的、第

三类是千位是1,且百位是3和十位是3,4,5中的一个的.把这三种情况的种类数相加，即

可求得结果.

详解

⑴C；1A2；C；1=144个

（2）A：K+A；・A；+A；・A；=270个

名师点评

本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊

条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是

奇数，那么就先排个位.由于数字的首位不能为零，故第二考虑的是千位.本小题属于基

础题.

21、答案-51

22、答案（1）〃=7；（2）有理项分别是第1项，第4项，第7项；（3）系数最大的项

5

为：4=35/,系数最小的项为：7；=-35?.

思路点拨：（1）根据题意，得到关于〃的方程，解出〃的值；（2）当鹿=7时，得到多

7--r4

项式的通项公式：刀+|=3（-1）\3,要为有理项，须使（r=0,l,2,3,4,5,6,7）

为整数，可以找到有理项有哪些；

（3）多项式的通项公式为：

十）=&（—1）'『丁（「=0,1,2,3,4,5,6,7）,二项式系数

C；,C；,C；,…,C；中,最大的项为第四项和第五项的二项式系数，结合通项公式，知第

五项系数最大，第四项系数最小.

试题（1）由已知