2021届呼市段考（理科）试卷+答案解析

2021届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试

理科数学

注意事项：

i.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、

座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合4={幻/一4犬+3,,0},B={x|2<x<4},则AUB=（)

A.{x|2<%,3}B.{x|2麴k3}C.{x|l,,x<4}D.{x|l<x<4}

2.设。为第四象限角，且sin6+cos6=g,则tan（0+?）的值为（

)

434

A.--B.--C.-D.-

3434

3.在复平面内，己知平行四边形。4BC顶点O,A,C分别表示0,3+2/,-2+5/,则点3对应的复数

的共规复数为（）

A.1—7iB.1—6iC.—1—6iD.—1—7z

4.设函数/（1）=/+（。_1）/+依，若/（幻为奇函数，则曲线y=在点（1J⑴）处的切线方程为（）

A.y=4x+lB.y=2x-4C.y=4x—2D.y=2x-6

5.为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做到物尽其用，国家向全民发出了关于垃圾分类的号召.为

了响应国家号召，各地区采取多种措施，积极推行此项活动.一商家为某市无偿设计制作了一批新式分类

垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高为0.45米，长和宽之和为2.4米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体

计算，则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗，不考虑桶盖），需耗费的铁皮的面积为（）平方米

A.3.84B.3.6C.6.28D.4.8

6.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下图是由“杨

辉三角”拓展而成的三角形数阵，记％为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{〃“}的第〃项，

贝的值为（）

12\

13yl

isiosi

A.210B.150C.120D.118

7.己知角a、/顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴.甲：“角a、尸的终边关于y轴对称“；乙:

“sin(a+4)=0则条件甲是条件乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知等差数列｛«„｝的前n项和为S“，且4=10,S5..",下列四个命题:①公差d的最大值为-2；②S,<()；

③记5“的最大值为何，则M的最大值为30；@a20l9>a2020,其真命题的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

9.已知函数/(x)=3cos3x+e)+23>0,|例,其图象与直线y=5相邻两个交点的距离为］,若

Vx6,/(x)>2恒成立，则夕的取值范围为()

1216

A”狞c♦埼D.呻

10.下列4个命题

Pi:€(0,+oo),(；)*><(；)&;

P2■-3.^()e(0,1),log,%>log)xu；

23

vr

p3：VxG(0,4-co),(-)>log)X；〃4：Dx£(0,-),(-)<log1x.

325

其中的真命题是()

A.P1,P3B.P|,p4C.p2,p3D.p2,p4

11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均

)

A.32B.28C.26D.24

12.已知定义在R上的可导函数/(幻，对于任意实数x都有/(-x)=/(x)-2x成立,且当X£(YO,0］时，都

有/”(x)v2x+l成立，若/(2加)—3加2</(加—1)+3相，则实数机的取值范围为(

A.(-00,-1)B.(」,+oo)C.(-1,-)D.(-1,0)

33

第n卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23

题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

九一y..0

13.已知实数x,y满足约束条件「+?-4,,0,则2=2》7的最小值为—.

>1•-1

14..

15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的3处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即

前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30。，相距io海里c处的乙船，乙船立即朝北偏东e角的方向

沿直线前往B处救援，贝IJsin。的值等于—.

北

16.已知集合4=k+1/+2,……,k+n},k,〃为正整数，若集合A中所有元素之和为2019,则当"取最

大值时，集合A=.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)设函数/(x)=sinx+cosx,xwR.

(1)已知。€[0,2加,函数.f(x+6)是奇函数，求8的值；

(2)^/(«+-)=—,且。€(0,万)，求/(2a)的值.

45

18.(12分)下面是2020年全国新高考卷17题：在①改=6，②csinA=3,③C=A/0这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AA3C,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin4=Gsin8,C=~,?

6

已知某同学选择条件②解答此题，最后得到的结论是：这样的三角形存在且只有唯一一个.请你通过计算

推理，判断该同学的结论是否正确.

19.（12分）已知某厂以，小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1<4,1）,且每小时可获得

的利润是60（-3，+3+1）元.

t

（1）若厂家以生产该产品2小时获得利润至少为1800元的速度进行生产，记1天（按8小时计算）生产

该产品的数量为机千克，求出，”的取值范围；

（2）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.

20.(12分)已知等比数列｛a“｝(〃eN*)满足：a2a3=a4,2a｝+=3a2.

(1)定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”，证明：数列｛4｝是数列”；

(2)记等差数列｛"｝的前项和为S,，已知仇=9,Sg=64,求数列电的前项和7；.

21.(12分)已知函数/(幻="2一”一出工.

(1)求证：f(x)..0；

(2)函数g(x)=/(x)—x2+(〃+1)](〃>0)有两个不同的零点内,x2,求证：lnX|+I11X2+21navO.

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

t

x----

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为，为

i/+1

参数），曲线C,的参数方程为F=2+2cosa（a为参数），以坐标原点为极点.》轴正半轴为极轴建立极坐

［y=2sine?

标系.

（1）求曲线G的普通方程和曲线G的极坐标方程；

（2）射线q=以0<£<］）与曲线G交于O,P两点，射线a=］+/与曲线C1交于点Q,若AOPQ的面

积为1,求|OP|的值.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）（1）己知a,b>0,求证：a3+b3..a2b+ab2.

(2)已知h,c为正数，且a+Z?+c=l,求证：ab+bc+ca^,—.

2021届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查调研考试

理科数学

参考答案及评分标准

要求的.

1.已知集合4=*|/-4*+3,,0},8={x|2<x<4},则AU〃=()

A.{x\2<x,,3}B.{x|2^ijv3}C.{x[L,x<4}D.{x|l<x<4}

【第析】由题意知，集合A={x|x2—4x+3轰9}={x|(x-l)(x-3)0}={x]啜k3},B={x|2<x<4},

，AUB={x|L,x<4},故选：C.

【点评】此题考查简单的集合的运算（并集运算），集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复

习中我们应从基础出发.

2.设6为第四象限角，且sine+cose='，则tan（9+二）的值为（）

52

ABD.-

-4-44

・n3

smJ=一—

sin0+cos0=—5

【解析】法―：・.・夕为第四象限角「.singvO,cos^>0,又<5解得，

4

sin20+cos20=1cos0=—

5

八sin。3八乃、14....

二.tan0=------=—,二.tan(eH—)=---------=一,古攵:C・

cos。42tan。3

ii12

法二：・.W为第四象限角，.\sinevO,cos^>0,•/sin6+cos6=—,l+2sin6cos6=—，.二sin6cos8=-----

52525

/.sin0-cos0--J(sin^-cos^)2=-V1-2sin^cos^=--,sin0=--,cos^=—,tan0=~^n—=,

555cos®4

4

二.tan(8H•一)=------故选：C.

2tan。3

法三：为第四象限角，/.tan^<0,sin0+cos^=—,/.sin<0,cos^>0,且tan夕>一1,

5

sin?，+cos?，+2sin8cos8tan?8+1+2tan8_1

(sin0+cos0)2=sin20+cos2，+2sin8cose=

sin20+cos20tan24-1-25

34

/.24tan26+50tan6+24=0,即(3tang+4)(8tang+6)=0,解得tan0=--或tan0=(舍去),

tan(^+—)=---!—=—,故选：C.

2tan。3

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，要求学生能灵活地应用这些公式进行

计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查.解题方法规范、典型；

考查利用诱导公式化简求值，本题是选择题，判定象限三角函数的符号，以及夕为第四象限角，且

144451?

sin9+cos，=—,容易知道sin〃=一二，cos0=—,求出tan9=-二，此外还有一、一一组数据关系，都是

55541313

满足勾股定理.灵活记忆，在解选择题，填空题是省时省力.

3.在复平面内，已知平行四边形。43C顶点O,A,。分别表示0,3+2z,-2+5/,则点3对应的复数

的共枕复数为()

A.l-7zB.l-6zC.-1-6ZD.-1-7/

【解析】法一：由已知，得。4=(3,2),OC=(-2,5),则0Q=o4+0d=(3,2)+(—2,5)=(L7).

.•.点8对应的复数为1+7L其共朝复数为1-7L故选：A.

17

法二：因为四边形04BC为平行四边形，且0(0,0),4(3,2),C(-2,5),连接08,OC，交于点M,则,

22

所以8(1,7),所以点8对应的复数为l+7i.其共机复数为l-7i.故选：A.

法三：设8(〃,。)，则点3对应的复数为z=a+bi.其共轲复数为』="一万.因为四边形为平行四边

形，且0(0,0),4(3,2),C(-2,5),所以。4=围(平行四边形对边平行且相等)，所以。4=(3,2),

C力=(a+2,b-5),所以［"+2=3,解得,所以点5对应的复数为z=1+71.其共掘复数为』=1-7，.故

\b-5=2\b=l

选：A.

【点评】本题考查复数的几何意义，复数对应的点的坐标与向量的对应关系，是基础题.

4.设函数/(幻=*3+(.-1)*2+如，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,7•⑴)处的切线方程为()

A.y=4x+lB.y=2x—4C.y=4x—2D.y=2x-6

【解析】由题意，得了(%)定义域为A,因为/(x)是奇函数，所以

f(-x)=-x3+(a-l)x2-ax=-f(x)=-x3-(a-i)x2-cue,(a-l)x2=0,所以a-1=0,则々=1,所以

f（x）=xy+x,所以/'⑴=4,又/⑴=2,所以切线方程是y-2=4（x-l）,即y=4x—2,故选：C.

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力，属于基础题.

5.为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做到物尽其用，国家向全民发出了关于垃圾分类的号召.为

了响应国家号召，各地区采取多种措施，积极推行此项活动.一商家为某市无偿设计制作了一批新式分类

垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高为0.45米，长和宽之和为2.4米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体

计算，则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗，不考虑桶盖），需耗费的铁皮的面积为（）平方米

A.3.84B.3.6C.6.28D.4.8

【了析】法一：设长为x米，则宽为（2.4-尤）米，体积为V立方米，由题意知，V=0.45x（24-x）=0.45（2.4%-x2）

=0.45[-（x-1.2）2+1.44]（0<x<2.4）,当x=1.2时，=0.45x1.44=0.648（立方米），即长为1.2米，宽为

1.2米时，容量最大，此时铁皮面积为L2xl.2+0.45*1.2x2+0.45*L2*2=3.6（平方米），故选：B.

法二：设长为x米，则宽为y米（0<x,y<2.4）,体积为1/立方米，由题意知，x+y=2.4,

V=0.450,0.45x（g2>=045x1.2?=0.648（立方米），当且仅当x=y=1.2时，等号成立，即长为1.2米，

宽为1.2米时，容量最大，此时铁皮面积为1.2x1.2+0.45x1.2x2+0.45x1.2x2=3.6（平方米），故选：B.

法三：要使垃圾桶的容量最大，则底面积最大，所以底面为正方形，边长为24+2=1.2（米），不考虑桶盖，

此时铁皮面积为1.2x1.2+0.45x1.2x4=3.6（平方米），故选：B.

【点评】本题考查了二次函数最值的应用（均值不等式的应用）.

6.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下图是由“杨

辉三角”拓展而成的三角形数阵，记/为图中虚线上的数1,3,6,10,…，构成的数列｛〃“｝的第〃项，

则阳的值为（）

1

11

12/

13yl

145,41

1S10S1

A.210B.150C.120D.118

【解析】法—：设第〃个数为an,

则q=l,

a2-q=2,

a3-a2=3,

%一%=4,

an-an-\=n，

叠加可得，4—4=2+3+4+...+〃，;.可=1+2+3+...+〃="'"：",.•.《5=120,故选：C.

法二:设第〃个数为局，由“杨辉三角”的性质得，4=戏+1=丝弛，；.阳=120,故选：C.

【点评】本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，属于基础题.

7.已知角“、△顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴.甲：“角/7的终边关于y轴对称”；乙：

“sin(0+4)=0”.则条件甲是条件乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】若角a、£的终边关于y轴对称，则p=7i:-a+1k7i,则c+力=万+2&万，则

sin(a+/?)=sin("+2上万)=sin万=0,

若sin(a+A)=0,则a+£=br,则角a、/7的终边关于y轴不一定对称，故条件甲是条件乙的充分不必

要条件，故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数角的对称关系是解决本题的关键.

8.已知等差数列｛a,｝的前n项和为，，且q=10,Ss-M，下列四个命题:①公差d的最大值为-2；@S7<0；

③记S”的最大值为M,则M的最大值为30；@a20l9>a2U20,其真命题的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解析】设公差为“，由已知q=10,S5..56,得5X10+104..6X10+154,所以4，一2,①正确；

所以§7=7x10+214,70—2x21=28,②错误；

a”=q+(〃—l)d=10+(〃—l)d..0,解得72,,----F1,a“+i=q+=10+/以,,0,解得n...---,

dd

gih-—+1【-W为/,所以d越大，"越大】，当d=—2时，5黜6,

ddd

当”=5时，有最大值，此时M=5X10+10X(-2)=30,

当”=6时，有最大值，此时M=6xl0+15x(—2)=30,③正确；

又该数列为递减数列，所以％)19>『020,④正确.故选：B.

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

9.己知函数f(x)=3cos3x+s)+2(o>0,其图象与直线y=5相邻两个交点的距离为若

,/(x)>2恒成立，则夕的取值范围为()

I3由题意可得函数/(x)=3cos(〃)x+e)+2的最大值为5,・.・/(x)图象与直线y=5相邻两个交点的距

离为工，.•./(%)的周期T=工,-=-,^(o=4,,-./(x)=3cos(4x+<p)+2,­.•/U)>2^Vxe[--,—]

22co21216

恒成立，.,.3cos(4x+0)+2>2,即cos(4_r+°)>0对VxEf-3,微]恒成立，:+cp..2k九一%且

—+2kjv-l--,keZ,解得22万一代羽步2k7r+—(keZ).又|。|<工，所以当攵=0时，0的取值范围为

42642

故选：A.

64

注：对于Vxe[-—,—],区间跨0,故k=0,cos(4x+*)>0对Vxe[--,—]恒成立，

12161216

效J-g+e4犬+滋£+9p得一.聚如?，故选：A.

【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和恒成立，利用函数最值求出函数的周

期是解决本题的关键，属中档题.

10.下列4个命题

Pi:3x()e(0,+℃),(；户<($&；

P2:t0€(0,1),logIx0>logIx0;

23

x

p3:Vx€(0,+oo),(g),>log।x；0：Vx€(0,-),(^-)<log,X.

325

其中的真命题是()

A.Pi，p、B.A，p4C.p2,p,D.p2,P4

【解析】对于下列四个命题

p,:3x0e(0,+oo),(g)“<(；)*:根据指数函数的性质可知A错误，

p2：3x0€(0,1),log1x0>logtx0;根据对数函数的单调性可知p2正确，

23

V

/73：VxG(0,+co),(―)>logJX；当X=L时，就不正确，故〃3错误，

252

p4：Vx€(0,-),(—/<logjX.根据指数函数和对数函数的性质可知，(！)“<1,而log]X>1,P4正确.故选：

32325

D.

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题.

II.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均

为1,且相邻的圆都相切，A,B,C,/)是其中四个圆的圆心，则4瓦包=()

【裨析】法一：如图所示，建立以d石为一组基底的基向量，其中|0=出|=1,且&/；的夹角为60。，

AB=24+46,CD=4d+2b,

?./A^.CD=(2a+4/?)<(4tz+2b)=8«2+8&2+20^=8+8+20x1x1x1=26.故选：C.

2

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

可得4一2,2百)，伙2,0),。(3,百)，0(8,0),A月=(4,一26)，CD=(5,-73),A瓦C方=20+6=26,

故选C.

【点评】本题考查平面向量的混合运算，观察图形特征，建立基向量是解题的关键，考查学生的分析能力

和运算能力，属于中档题.

12.已知定义在R上的可导函数/,(X),对于任意实数x都有/(-x)=/(x)-2x成立，且当x£(-oo,0］时，都

有尸。)<2工+1成立，film)-3m2<f(m-1)+3AH,则实数机的取值范围为()

A.(—oo,—l)B.(—―,4-oo)C.(―1,—)D.(—1,0)

【悻析】令g(x)=f(x)-x2-x,则g(—x)—g(x)=f(-x)-x2+x-/(x)+X24-X=0,g(—x)=g(x),，函数

g(x)为R上的偶函数.・・•当Xt(-oo,0］时,都有2x+l成立，,\gf(x)=ff(x)-2x-l<0,

函数g(x)在太£(一8,0］上单调递减，在［0,+8)上单调递增./(2加)一3M</(〃2-1)+3〃7,即

f(2in)-4加2-2m<f(m-1)-(m-1)2-(w-l),/.g(26)<g(m-1),因此g(|2m\)<g(|m-11),.\|2/n|<|/n-11,

化为：3〃+2加-1vO,解得一1＜相＜一.故选：C.

3

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、方程与不等式的解法、构造法，考查了

推理能力与计算能力，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-y..O

13.已知实数x,y满足约束条件r+y-4,,0,则z=2x-y的最小值为1.

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立卜',解得4(1,1),z=2x-y,化为y=2x-z,由图可知，当直线y=2x-z过A时，直线在y轴

[x-y=O

上的截距最大，z有最小值为1.故答案为：1.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

14.「加公=2e—2.

J-1———

【解析】因为函数/(x)=*i为偶函数，位「卢必故答案为：2e-2.

【点评】本题考查定积分的运算性质，考查学生的运算能力，属于基础题.

15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的8处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即

前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30。，相距io海里c处的乙船，乙船立即朝北偏东e角的方向

沿直线前往8处救援，贝bin。的值等于_侦_.

北

【解析】连接8C,在A4BC中，AC=10海里，45=20海里，ZC4B=120°,

根据余弦定理得：BC1=AC2+AB2-2AC.ABvosZC4B=100+400+2(X)=700,

4。斤海里，根据正弦定理得忐即等=也

2

sinZACB=—,•.•NACB为锐角，，cos44cB=毡，

77

.­.sin0=sin(3O°+ZACB)=-x^+^x—=—.故答案为：殛.

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的

关键.

16.已知集合4=伙+1次+2,……,k+n],%,〃为正整数，若集合A中所有元素之和为2019,则当〃取最

大值时，集合A=[334,335,336,337,338,339).

[1,・,集合?4=伙+1,上+2,...,k+n],k,〃为正整数，二.A中共有〃个正整数，且这〃个正整数从小

到大排列，构成以攵+1为首项，以1位公差的等差数列.

若集合A中所有元素之和为〃(%+1)+""1)=2"”1.〃=2019=3X673,

22

2k+n+\,”,其中一个为奇数，则另一个为偶数，

当”为偶数时，设"=2机，，"为正整数，(2%+2加+1)•加=3x673,

:.，"=3,Ik+2m+1=673,即帆=3,n=6,k=333.

当”为奇数时，设〃=2〃?—1,，〃为正整数，(发+加)・(2加—1)=3x673,

.,.2/n—l=3,k+m=673,即，〃=2,n=3,k=67\.

故〃的最大值为6,此时，A={334,335,336,337,338,339}.

【点评】本题主要考查等差数列的前"项和公式的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)设函数/(x)=sinx+cosx,xwR.

(1)已知0e[0,2加，函数/(x+6)是奇函数，求6的值；

(2)若于(a+土)=晅,且0€(0,万)，求/'(2a)的值.

45

(](1)函数f(x)=sinx+cosx=V2sin(x+—),......................................................................................(2分)

4

由于/（x+9）=后sin（x+〃+2）为奇函数，所以夕+匹=br（ZwZ）,整理得。=Z乃一工（左wZ）,……（4分）

444

77T

由于。£[0,2%],所以当Z=0或1时,或8=—:............................................................................（6分）

44

（2）由题意得/（a+（）=>/2sin（cr+y）=\f2cosa=,所以cosa=,故sina=',.....................（9分）

所以/（2a）=\/5sin（2a+?）=sin2cr+cos2a=2sinacosa+2cos2a-l=W.....................................（12分）

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能

力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

18.（12分）下面是2020年全国新高考卷17题：在①ac=G，②csinA=3,③。=收这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=Gsin8,C=~,?

6

己知某同学选择条件②解答此题，最后得到的结论是：这样的三角形存在且只有唯一一个.请你通过计算

推理，判断该同学的结论是否正确.

【解析】法一：结论正确，理由如下：

AABC中，sinA=gsinB,a=Eb,........................................................................................................（2分）

又。=匹，由余弦定理得c2=a2+〃-2abcosC=（屏了+炉-2屉2・走="，..................（5分）

62

故。=人，则C=B，A=—......................................................................................................................（8分）

6'3

又csinA=3,..C=26................................................................................................................................（10分）

:.b=c=2y/3,而A=」，由余弦定理可求得a=6.与由csinA=asinC=3求得的结论是一致的.（11分）

3

故满足条件的三角形存在且唯一...........................................................（12分）

法二：结论正确，理由如下：

,/csinA=3,.*.27?sinCsinA=3,.......................................................................................................................（2分）

/.«sinC=3,.........................................................................................................................................................（4分）

・・,（7=—,/.a=6,..............................................................................................................................................（6分）

6

•/sinA=\/3sinBa=\[?)b,.............................................................................................................................(8分)

/.b=2y[3..............................................................................................................................................................(9分)

由a=6,b=2g,C=~,利用余弦定理可求得c=2b,....................................................................(10分)

6

可以验证求得的结果与所有条件相吻合，...................................................（11分）

故满足条件的三角形存在且唯一...........................................................（12分）

【点评】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关

键.

19.（12分）已知某厂以，小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1且每小时可获得

的利润是60（—3/+1）元.

t

（1）若厂家以生产该产品2小时获得利润至少为1800元的速度进行生产，记1天（按8小时计算）生产

该产品的数量为，"千克，求出加的取值范围；

（2）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.

【解由题意可知，生产该产品每小时获得利润至少为900元，8小时生产该产品的数量为加千克，

故生产速度为当小时/千克，..............................................................（1分）

m

根据题意，60（-3x-+—+1）..900,.................................................................................................................（3分）

m8

Q

又O.lv工,1,.........................................................................................................................................................（5分）

m

.•.24“m<80;..........................................................................................................................................................（6分）

（2）设生产速度为，小时/千克，故生产680千克该产品需要680,小时，获得的利润为

y=680/x60（-3/+-+1）=680x60（-3r2+r+5）,.............................................................................................（10分）

t

.•/=■!■时，取得最大利润为207400元，........................................（11分）

6

故甲厂应以■!■小时/千克的速度生产，可获得最大利润为207400元...........................（12分）

6

【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键.此题为2020

年呼和浩特市中考试题第24题.

20.（12分）已知等比数歹U｛a“｝（"eN*）满足：a2a3=a4,2at+a3=3a2