2021届贵州省毕节市高三年级上册诊断性考试数学（理）试题及答案

2021届贵州省毕节市高三上学期诊断性考试数学(理)试题(一)

一、单选题

1.已知集合4={。/)|*2+/43,*《2,丫62},8={(苍刈，=*},则人013中的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案：B

先解出集合A,然后求AA8.

解：因为

A={(x,y)|x2+/<3,xeZ,>'eZ}={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)),

B={(x,y)|y=x},

所以4「8={(0,0),(1,1),(-1,-1)},

故ACIB中的元素个数为3.

故选：B.

2.设复数z满足(K-i)z=2i(i为虚数单位)，则|z|=()

A.4B.2C.72D.1

答案：D

由条件等式，应用复数的除法运算求z,进而求模即可.

2i2i(G+i)-2+2s/3i-1+A/3Z

解：由题意,

Q-i—库-I)电+i)4-—2-

故选：D.

3.设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中错误的是()

A.若m//n,n_La,a〃B,则m_LP

B.l^mLp.nLp.nLa,则m±a

C.若m±a,m//n,n//B,则aJ_B

D.若机_L/v%ua,〃u",贝lja_LB

答案：D

对于每一个选项从定义或判定上分析，另外这类题也可以通过画图来判断.

解：解：对于A,若ml/n,n>a,a//p,则且根」用，所以A正确；

对于B,若〃则m〃〃且m_La,所以B正确；

对于C,若〃?La,〃〃/〃,“〃/，则由面面垂直的判定定理可得a_L夕，所以C正确:

对于D,若，尸，则a,4可能相交或垂直，所以D错误.

故选：D.

3x-y+l>0

4.若x,y满足约束条件,x+2y-240,则z=x+y的最大值为（）

4x+y-8<0

A.1B.2C.5D.6

答案：B

作出可行域，然后数形结合即可求解.

因为z=x+y,所以y=-x+z,结合图形以及直线y=-x+z的几何意义可知：

当直线y=-x+z经过点（2,0）时，取得最大值，此时z=2+0=2.

故选：B.

5.袋子中装有大小相同的2个红球和2个白球，不放回地依次从袋中取出两球，则取出的两球同

色的概率为（）

A.-B.1C.-D.-

3234

答案：A

把基本事件的所有情况列举出来，然后把所求事件包含的基本事件个数列举出来，即可求所求事件

的概率.

解：把2个红球记为“力，2个白球记为c,d,则不放回地依次从袋中取出两球包含的基本事件有

ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种，记“取出的两球同色”为事件A,事件A包含的基本事件有血以，

71

2种情况，所以「(/1)=工=不

o3

故选：A.

6.函数/(x)=e*+x2-2x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为()

A.x+y-l=0B.x+y+l=0

C.2x+y+l=0D.2x+y-l=0

答案：A

求出原函数的导函数，求出在x=0处的切线斜率，再求出八0),即可得到切线方程.

解：因为/(x)=e*+x2-2x,

所以尸(x)=e*+2x-2,

・••/'(())=T，

又八0)=1,

所以所求切线方程为y-i=0),

即x+y-l=0.

故选：A

7.在矩形ABCD中，A8=&,BC=2,点F在CD边上，若A瓦/=&，则(而+前)・丽=()

A.0B.2C.272D.4

答案：C

可分别以直线BC,BA为x,＞轴，建立平面直角坐标系，然后可得出A(O,0),8(O,O),C(2,O),并设

尸(2,y),根据通.通=正即可求出点尸的坐标，进而可得出向量而和福+/的坐标，从而可

求出(而+元).丽的值.

解：分别以边BC,84所在的直线为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:

A(0,72),B(0,0),C(2,0),设尸(2,y),

则AB=(0,-72),AF=(2,y-y/2),AC=(2,-扬，

AAB-AF=2--j2y=>/2,解得y=

F(2,5/2-1),通+而=(2,-2&),而=(2,近—1),

A(AB+AC)BF=4-4+2y/2=2s/2.

故选：C.

8.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的''垛积术"，其中"落一形"就是以下所描

述的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是

10个球，...，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为()

A.91B.105C.120D.210

答案：C

归纳可得“三角形数”的通项公式为：=1+2+3+……+〃=里空2,从而求出第15层球的个数.

解：：“三角形数”可写为：1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,I+2+3+4+5,…，

“三角形数”的通项公式为：q,=1+2+3+……+”=四罗，

•••则这个三角锥垛的第十五层球的个数为/==120,

故选：C.

9.已知圆G：?+/一履-2丫=0和圆642+9-2切-2=0相交,则圆G和圆C2的公共弦所在的直线

恒过的定点为()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

答案：B

根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案.

解：根据题意,圆C：x2+y2-fcv-2y=0和圆。2*+丫2-2g-2=0相交，

则卜、丁"2k°,

[x2+y2-2ky-2=0

则圆G和圆G的公共弦所在的直线为h-26+2丁-2=0,变形可得屹-2y)=2(y-1),

则有尸一?：°,则有H即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为(2,1),

[y-l=0[y=\

故选：B.

10.已知圆G：—+y2-京-2y=0和圆C2：f+y2-2.-2=0相交，则圆G和圆的公共弦所在的直

线恒过的定点为()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

答案：B

根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案.

解：根据题意,圆G：》、/-丘-2y=0和圆C2：f+y2-2切-2=0相交，

则卜—2y=0,

[x24-y2-2ky-2=0

则圆G和圆G的公共弦所在的直线为依-2@+2y-2=0,变形可得％(x-2y)=2(y-l),

[x-2y=0fx=2,

则有/A，则有「即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为(2,1),

[y-1=0[>,=1

故选:B.

11.设人脑分别为双曲线c：J=ig>()"))的左，右焦点，过点E的直线1与C的一条渐近

线交于点P,若尸鸟_Lx轴，且点入到1的距离为2a,则C的离心率为()

A.72B.石C.45D.272

答案：B

根据题意，先表示出求出直线1的方程，利用尸2到1的距离为2a,到关于a、b、c的

齐次式，消去b,求出离心率.

解:设居(—0),瓦(c,0),

因为过点尸।的直线1与C的一条渐近线交于点P,若轴，所以可设尸

所以直线1：y=3(x+c),

2a

be

因为点K到1的距离为2a,所以|一7TT=2"，

百

整理化简，得：b2=2a2,

消去〃，得：c2=3a2,所以离心率为：e=£=6.

a

故选：B

12.若e"+lna=eG+gln(助)(e为自然对数的底数)，则()

A.a2>bB.2a>bC.a2<bD.2a<b

答案：A

依题意得j+hw=e的+ln扬+g,又/(x)=，+Inx,(x>0)为增函数，则〃〉扬，即可判断结果.

解：由e"+Ina=e®+；In(eh)得ea+Ino=e"+In\[b+g

设〃x)=e"+lnx,(x>0),则/z(x)=ev+—>0

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，则"q)=/(折)+；>/(〃)

所以a>扬，则。2>6

故选:A

二、填空题

13.若一组数据3为-1,3当-1,…,3%-1的平均数为8,则另一组数据%,多，…%的平均数为

答案：3

设数据与声，…%的平均数为"根据平均数的线性关系列方程，求出「

解：设数据士,々，…%的平均数为1则数据网-1,3f-1,…,3内-1的平均数为公-1，

即3x-l=9，解得：x=3

故答案为：3.

14.已知圆锥的底面直径为2,侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为.

答案：与

3

根据题意由圆锥侧面积的两种计算方法找到等量关系，从而求得母线长，进而求得圆锥高，最终求

得圆锥体积.

解：解：设底面圆半径为，母线长/,圆锥高为

r=1,

•0•圆锥侧面积S=7irl=7rl,

而根据题意，半圆面积S=

•：n\=—KI2

2

:.l=2

/.r=--S/?=-x^-xl2x73=—

333

故答案为立*

3

15.已知抛物线/=4），上一点A到x轴的距离为m,到直线x+2y+8=0的距离为n,则m+n的最小

值为

答案：2逐-1

利用抛物线的定义，转化距离，"=|河|-1,再利用数形结合求，的最小值.

解：根据抛物线的定义可知，点A到准线的距离和到焦点的距离相等，即

如图，|AH=〃，则〃?+〃=|A目+IM-1,而|AF|+|AP|的最小值是点尸（0,1）到直线x+2y+8=0的

距离〃二胃;26

Ay

所以机+〃的最小值是2百-1.

故答案为：2必1

16.已知函数关于x的方程"(x)『+"(x)+从-i=o恰有5个不同实数解，则实数

b=____.

答案：—1

首先画出函数“X)的图象，根据题设条件和函数的图象，令f=F(x),转化为关于，的方程

产+"+廿-1=0有一个根为1,另外一个根为0或大于I,分类讨论，即可求解.

解：由题意，函数〃X)=F-2],画出函数的图象，如图所示，

当”0时，方程“力=/有2个实数根；

当，=1时，方程”司=£有3个实数根；

当f>l时,方程〃x)=，有2个实数根；

当0<r<l时，方程/(%)=£有4个实数根,

令f=/(x),则关于X的方程"(x)F+"(x)+U-l=0,

转化为关于t的方程产+初+〃7=0有一个根为1,另外一个根为0或大于1,

令f=l,可得1+力+〃-1=0,解得6=0或b=-l；

当6=0时，方程即为/-]=o,此时f=l或f=-l,不合题意；

当。=—1时，方程即为产-1=0,此时，=0或/=1,满足题意,

综上可得：6=-L

故答案为：—1

17.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知（bc-a）sinA=csinCsin8.

（1）求角B的大小；

（2）求cosC+sinB+GeosA的取值范围.

答案：（1）8=9；（2）•

6I2_

（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cos3,进而求得B.

（2）结合（1）,利用两角和差角公式及辅助角公式进行化简，再利用正弦函数的性质即可求解.

解：（1）由已知（Gc-a）sinA=csinC-Z＞sinB

利用正弦定理得：y/3ac-a2=c2-b2,即a2+c2-b2=43ac

由余弦定理得：cosB=H=好

2ac2

又3e（0,;r）,：.B=^

6

（2）由（1）知8=f,^A+C=—

66

二.cosC+sin8+6cosA=cos|--A|+cosA+-

l6）2

=-^-cosA+—sinA+73cosA+—=—+—sin71+—cosA

222222

=sin（A+q）+g

由0cA＜2,知工＜A+2＜卫，

6336

利用正弦函数性质知-；＜sin（A+g）41

故原式的取值范围为1-o，T

点评：方法点睛：在解三角形题目中，若己知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余

弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

(1)若式子含有Sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”：

(2)若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

(3)代数变形或者三角恒等变换前置；

(4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时;要用到A+B+C=乃.

18.毕节市2020届高三年级第一次诊考结束后，随机抽取参加考试的500名学生的数学成绩制成

(1)根据频率分布直方图，求x的值并估计全市数学成绩的中位数；

(2)从成绩在［70,80)和［120,130)的学生中根据分层抽样抽取3人，再从这3人中随机抽取两

人作某项调查，求这两人中恰好有1人的成绩在［70,80)内的概率.

2

答案：(1)x=0.014；中位数是98；(2)P=§

(1)根据频率分布直方图，利用频率和为1,计算x,再根据中位数的定义，求中位数；

(2)首先计算这两个组分别抽取的人数，再利用古典概型公式求概率.

解：(1)由条件可知，(0.012+0.018+0.025+0.020+x+0.006+0.005)x10=1,

解得：x=0.014,

0.012x1()+().018x10+(x-90)x().025=0.5,解得：x=98,

所以中位数是98；

(2)成绩在［70,80)和［120,130)的频率之比是2:1,

所以抽取的3人中，［70,80)的有2人，记为a,b,

［120,130)的有1人，记为c,

从这3名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：

(a,b),(a,c),(b,c)共3种情况，

其中恰好有1人的成绩在［70,80)内有(a,c),S,c),共2种,

2

所以这两人中恰好有1人的成绩在［70,80)内的概率尸=§.

19.如图，D是以AB为直径的半圆0上异于A,B的点，^ABC所在的平面垂直于半圆0所在的平

面，且AC=A5,AB=2BC=2.

(1)证明：AD±DC；

(2)若=，求二面角。一AC-3的余弦值.

答案：(1)证明见解析：(2)显

4

(1)先证明BCVBD,再根据直线与平面垂直判定定理证明线面垂直，进而可得答案;

(2)取8。中点E,过E作EF_L4C于F,连接OE、EF、DF,可证明NEFD为二面角O-AC—B

的平面角，，把问题转化为解直角三角形求解.

解：(1)证明：A8为半圆。的直径，所以AD_LZ)B,

因为AC=6，AB=2BC=2,所以AC2=A82+8C2,

所以8C_LTW,

又因为AABC所在的平面垂直于半圆。所在的平面，

所以BCL平面所以3CLA。，BCLBD,

所以AL>_L平面BOC,OCu平面8£>C,

所以ADLOC.

(2)由(1)知3C_L3£),CD=母,BC=1,

所以BD=J(向2+J,所以A3。。为正三角形，

取30中点E,过E作印，4c于F,连接DE、EF、DF,

DELAB,因为平面ASC_L平面所以DE_L平面A8C,

所以£)E_LEF,DEIAC,所以AC_L平面。£尸，

所以AC_LF£),所以NE/月为二面角。-AC-3的平面角,

1.3

设其大小为。，贝3。=登=—七厂屋，所以COS8=',粤.

EF+V3s!\+tan2O4

2亚

故二面角。-AC-3的余弦值为也.

4

20.已知椭圆C:£+£(a>b>0)的离心率为业，经过点P(0,1)与椭圆C的右顶点的直线斜率为

ab'3

_V3

6,

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P且与x轴不垂直的直线1与椭圆C交于A,B两点，在y轴上是否存在定点N,使得

丽.而=0恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

22

答案：(1)工+21=1；(2)存在定点(0,-2).

124

(1)由经过点P(0,1)与椭圆C的右顶点的直线斜率为-且，可求出。的值，然后根据离心率求

6

出c,进一步求出6,从而求出椭圆方程；

(2)设直线/：>=履+1,设N(0,y。)，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系，表示两交点的坐

标关系，再由丽.丽=0建立方程，从而求出点N的坐标.

解：(1)由经过点P(O，D与椭圆C的右顶点的直线斜率为-立,

6

得1±=一立，即a=2百,e=£=远，

0-〃6a3

得c=2\/2,则b1=a2—c2=4,

所以椭圆C的方程为上+$=1；

124

(2)设直线/：y="+l,设N(0,y0),

y=kx+\

联立直线与椭圆方程住+£

=1

U24

消去》得，（3/+1）%2+6履一9=0,

6k9

设A(x,必),3(%,%)，则%+々—TTo7，$/=_&心27

SK+13k+1

1

而为+%=kE+x2)+l,yxy2=kxxx2+k(xt+x2)+l,

NA=a，y「%）,NB=（X2,y2-%）,

则丽•丽=卬^+（%一%）也一%）

=中2+弘%-%（乂+）3）+¥

=（%2+1）XW+（一）'1）k（玉+七）+中+=1,

代换为我的表达式即（35+l）y；-2%-4（3/+2）=0,

即[（3二+1）%-2（3公+2）]（%+2）=0,%为常数时，%=-2,

故存在满足条件的点N,点N的坐标为（0,-2）.

点评：过定点问题的处理方法：（1）先设出定点坐标，根据已知条件推导出定点坐标；（2）由特殊

条件先求出定点坐标，再证明一般情况也满足.

21.己知函数/（*）=/+以2+c（b,ceR）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）是否存在b,c,使得f（x）在区间[T,0]上的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出b,c

的所有值；若不存在，请说明理由.

答案：（1）当〃=0时，/㈤在R上为增函数；

当。<0时，在（-8,0）,（-日,心）上为增函数，/（x）在（0,-弓）上为减函数；

当b>0时，/（X）在（-8,-日）,（0,+8）上为增函数，〃x）在（-m,0）上为减函数.

[b=-l.[h=3

⑵।或.

[c=1[c=-l

⑴求出导函数/（X）,令尸（幻=0得、=0或许-弓，通过比较两根的大小分类讨论，导函数在

不同情况下的正负，从而确定函数〃x）的单调性.

（2）在（1）的基础上，比较-弓和区间端点-1,0的大小，来确定在上的单调性，分别

求出最大最小值，令最大值为1,最小值为-1,判断满足要求的b,C是否存在.

解：(1)因为/(x)=]3+加+c(O,c£R),所以尸(x)=3炉+2"=x(3x+2/?),

令尸(x)=0得》=0曲=-弓，

当6=0时，/0)20且不恒为0,所以"X)在R上为增函数，

当分<0时，/'(x)>0^x<0^x>-y,/'(x)<0得0<x<-g,

所以/(x)在(-8,0),(-g,+oo)上为增函数，Ax)在(0,-,)上为减函数，

当6>0时，f'M>0^x<-^x>0,/,(x)<0^-y<x<0,

所以/(x)在(-8,-胃),(0,+8)上为增函数，/(x)在(_弓,0)上为减函数.

(2)设存在满足条件的，由(1)可得，

当640时，/(X)在[-1,0]上为增函数，

X

/()min=/(-l)=-l+^+C=-l,f(X)max=/(0)=C=1,解得。=-l,C=l；

当b＞0时，若-,4-1,即匹g时，

f(x)在［-1,0］上为减函数，/(x)mas=f(-1)=-l+b+c=\,/U)mi„=/(O)=c=-l,

解得b=3,c=-l

若0＜匕＜|时，在(-1,-与)上为增函数，在(-弓,0)上为减函数,

3

=./(-y)=(-)+bx(-^+c=1，

如果/(-I)2/(0),即时，f(x)疝-f(O)=c=T,

3

解得6=荻,c=T，(不满足条件)

如果〃-1)＜/(0),即0＜。＜1时，fMmin=f(-l)=-l+b+c=-l,

(--)3+/?x(--)2+c=14Z?3

由3，3,化简得：—=b+\,

-l+b+c=-i27

4Z?2

因为0</?vl,所以——<1,Z?+1>1,此时〃无解，

27

^=~l_p.fb=3

综上所述।或।.

[c=\[c=-l

点评：求函数的单调区间需判断导函数的正负，本题(1)中须比较两个根-弓和0的大小来分

类讨论，第(2)问中需比较-石和区间端点-1,0的大小来确定导函数在区间上的正负,

判断单调性，确定最值，求解〃,。.

.1

x=-3——t

2

22.在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为＜(t为参数).以坐标原点为极点,X轴

0

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C