中考数学复习满分突破（全国通用）：专题34 锐角三角函数（原卷版）

专题34锐角三角函数【考查题型】【知识要点】知识点一锐角三角函数锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(选)(∠A为锐角)【正弦和余弦注意事项】1)sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2)sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3)sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。【0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1锐角三角函数的关系：1）sinA=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。cosA=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的正切值。3)tanA=cot(90°-A),即一个锐角的正切值等于它余角的余切值。4)cotA=tan(90°-A),即一个锐角的余切值等于它余角的正切值。正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tanα随α的增大而增大，cot随的增大而减小。知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1)勾股定理（a22)∠A+∠B=90°3)sinA=∠A所对的边斜边=4)cosA=∠A所邻的边斜边5)tanA=∠A所对的边邻边=与解直角三角形有关的实际问题：1）仰角：视线在水平线上方的角2）俯角：视线在水平线下方的角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如i=1:3等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。4)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图，AP的方向角分别是：45°PB的方向角分别是：135°PC的方向角分别是：225°5)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图,OA的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）OB的方向角分别是：南偏东45°（东南方向）OC的方向角分别是：南偏西60°（西南方向）OD的方向角分别是：北偏西60°（西北方向）考查题型一正弦典例1．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．变式1-1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（

）A． B． C． D．变式1-2．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________．变式1-3．（2022·江苏扬州·统考中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为__________．变式1-4．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则______．变式1-5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．变式1-6．（2022·山东济宁·统考中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵，∴，∴(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．考查题型二余弦典例2．（2022·云南·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（

）A． B． C． D．变式2-1．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．变式2-2．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（

）A． B． C． D．变式2-3．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．变式2-4．（2022·青海西宁·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________．变式2-5．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；(3)在（2）的条件下，求的值．变式2-6．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的值．考查题型三正切典例3．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（

）A． B． C． D．变式3-1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（

）A．2 B． C． D．变式3-2．（2022·福建·统考中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（

）（参考数据：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm变式3-3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（

）A． B． C． D．3变式3-4．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．变式3-5．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．变式3-6．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是___________．变式3-7．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当，时，求的长．变式3-8．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．考查题型四与特殊角三角函数值有关的计算题典例4．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）计算：4°．变式4-1．（2022·四川德阳·统考中考真题）计算：．变式4-2．（2022·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中变式4-3．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．考查题型五解直角三角形典例5．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（

）A． B．C． D．变式5-1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．变式5-2．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．变式5-3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．变式5-4．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．(1)求证：；(2)若，，求及的长．变式5-5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，考查题型六与解直角三角形有关的计算题典例6．（2022·广西·统考中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米变式6-1．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（

）A． B． C． D．变式6-2．（2022·浙江金华·统考中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（

）A． B．C． D．变式6-3．（2022·山东济南·统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（

）（精确到1m．参考数据：，，，）A．28m B．34m C．37m D．46m变式6-4．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（

）A． B． C． D．变式6-5（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(

)A． B． C． D．变式6-6．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为______（结果精确到）．变式6-7．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________．（结果精确到．参考数据：）变式6-8．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为____m．变式6-9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_____nmile．（参考数据：，）变式6-10．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）变式6-11．（2022·天津·统考中考真题）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．变式6-12．（2022·河北·统考中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．(1)求∠C的大小及AB的长；(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）变式6-13．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：___________度，___________度；(2)求楼的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面的高度．变式6-14．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）(1)连结，求线段的长．(2)求点A，B之间的距离．变式6-15．（2022·浙江宁波·统考中考真题）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）变式6-16．（2022·河南·统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一